Mesures et incertitudes

En physique et en chimie, nous cherchons souvent à décrire le monde qui nous entoure. Pour cela, nous utilisons des grandeurs physiques. Une grandeur physique est une propriété quantifiable d'un phénomène, d'un corps ou d'une substance, qui peut être mesurée ou calculée. C'est une caractéristique qui peut être exprimée par un nombre et une unité.

Par exemple :

• La masse d'un objet (quantité de matière qu'il contient)
• La longueur d'une table (distance entre deux points)
• Le temps qu'il fait dans la course (durée d'un événement)
• La température de l'eau (degré d'agitation thermique)
• La vitesse d'une voiture (distance parcourue par unité de temps)

L'importance des unités est capitale : un nombre sans unité n'a souvent pas de sens en physique. Dire qu'une table mesure "2" ne signifie rien. Dire qu'elle mesure "2 mètres" donne une information précise. Les unités permettent de donner du sens aux valeurs numériques et d'éviter les confusions.

Pour que les scientifiques du monde entier puissent se comprendre et partager leurs résultats, un système d'unités commun a été établi : le Système International d'Unités (SI). C'est le système de mesure le plus largement utilisé au monde.

Le SI repose sur sept unités de base, indépendantes les unes des autres :

À partir de ces unités de base, on peut dériver des unités dérivées pour d'autres grandeurs. Par exemple :

• La vitesse est en mètres par seconde (m/s)
• Le volume est en mètres cubes ($m^3$)
• La force est en newtons (N), où $1 N = 1 kg \cdot m \cdot s^{-2}$

Pour exprimer des valeurs très grandes ou très petites, le SI utilise des préfixes. Ces préfixes sont des multiplicateurs de l'unité de base :

Exemples :

• 1 kilomètre (km) = $10^3$ mètres = 1000 m
• 1 milliseconde (ms) = $10^{-3}$ seconde = 0,001 s
• 1 microgramme ($\mu$g) = $10^{-6}$ gramme = 0,000001 g

Pour obtenir la valeur d'une grandeur physique, on utilise des instruments de mesure. Chaque instrument est conçu pour mesurer une grandeur spécifique et possède ses propres caractéristiques.

Quelques exemples d'instruments courants :

• Balance : mesure la masse (en grammes, kilogrammes).
• Éprouvette graduée, bécher, fiole jaugée : mesurent des volumes de liquides (en millilitres, litres).
• Règle, mètre ruban, pied à coulisse : mesurent des longueurs (en millimètres, centimètres, mètres).
• Chronomètre : mesure des durées (en secondes, minutes).
• Thermomètre : mesure la température (en degrés Celsius, Kelvin).

La lecture d'une graduation est une étape cruciale. Il faut toujours regarder la graduation perpendiculairement pour éviter l'erreur de parallaxe. Sur une éprouvette graduée, on lit généralement la valeur au bas du ménisque (la surface incurvée du liquide).

La précision des instruments est une caractéristique importante. Un instrument plus précis permet d'obtenir une mesure plus proche de la "vraie valeur". Par exemple, un pied à coulisse est plus précis qu'une règle pour mesurer une petite longueur. La précision est souvent liée à la plus petite graduation de l'instrument.

Quand on effectue une mesure, on aimerait obtenir la "valeur vraie" de la grandeur. Cependant, il est impossible d'obtenir la valeur vraie d'une grandeur physique. Chaque mesure est entachée d'une certaine imprécision. Cette imprécision est appelée incertitude de mesure.

Pourquoi une mesure n'est-elle jamais exacte ? Plusieurs sources d'incertitudes peuvent exister :

• L'instrument de mesure : Chaque instrument a ses limites (précision, résolution de sa graduation). Par exemple, une règle ne peut pas mesurer au micromètre près.
• L'opérateur (celui qui mesure) : La façon dont on lit la mesure, notre temps de réaction, notre acuité visuelle peuvent introduire des erreurs. L'erreur de parallaxe est un exemple fréquent.
• Les conditions expérimentales : La température, la pression, l'humidité, les vibrations peuvent influencer le résultat (ex: dilatation des matériaux, évaporation).
• La grandeur elle-même : Certaines grandeurs peuvent varier légèrement dans le temps ou dans l'espace.

La notion de valeur vraie est une valeur idéale et inconnue. L'objectif d'une mesure est d'estimer cette valeur vraie en lui associant un intervalle de confiance.

Pour quantifier cette imprécision, on utilise le concept d'incertitude.

L'incertitude-type (notée $u(X)$ pour une grandeur $X$) est un paramètre qui caractérise la dispersion des valeurs qui pourraient être attribuées raisonnablement à une grandeur mesurée. C'est une estimation de l'écart-type de la mesure. Elle est exprimée avec la même unité que la grandeur mesurée.

Souvent, on ne s'intéresse pas seulement à l'incertitude-type, mais à une incertitude élargie (notée $U(X)$). L'incertitude élargie est obtenue en multipliant l'incertitude-type par un facteur d'élargissement $k$. $U(X) = k \times u(X)$ Le facteur d'élargissement $k$ est choisi en fonction du niveau de confiance souhaité.

• Pour un niveau de confiance d'environ 68% (ce qui signifie que la "vraie valeur" a 68% de chances de se trouver dans l'intervalle), $k=1$. Dans ce cas, $U(X) = u(X)$.
• Pour un niveau de confiance d'environ 95% (le plus courant en laboratoire), $k=2$. C'est le facteur le plus souvent utilisé en Seconde.
• Pour un niveau de confiance d'environ 99%, $k=3$.

Le niveau de confiance indique la probabilité que la valeur vraie de la grandeur mesurée se trouve dans l'intervalle défini par la mesure et son incertitude élargie.

Le résultat d'une mesure doit toujours être exprimé sous une forme standard pour être compris par tous. La forme générale est : $\text{Mesure} = (\text{valeur mesurée} \pm \text{incertitude élargie}) \text{ unité}$ Soit, pour une grandeur $X$ : $X = (x \pm U(x)) \text{ unité}$ Où $x$ est la valeur mesurée (ou la moyenne des mesures) et $U(x)$ est l'incertitude élargie.

Exemple : Une longueur mesurée peut être exprimée comme $L = (2,45 \pm 0,02)$ m. Cela signifie que la valeur de la longueur est estimée à 2,45 mètres, avec une incertitude de 0,02 mètre.

Les chiffres significatifs sont importants pour exprimer correctement un résultat. Ils représentent les chiffres dont on est certain, plus le premier chiffre incertain. Règles d'écriture :

1. L'incertitude élargie $U(x)$ est généralement exprimée avec un seul chiffre significatif (parfois deux si le premier est un 1 ou 2).
2. La valeur mesurée $x$ doit être arrondie de manière à ce que son dernier chiffre ait le même ordre de grandeur (la même position décimale) que le chiffre significatif de l'incertitude.

Exemple d'arrondi de l'incertitude et de la mesure : Si on a $x = 12,3456$ g et $U(x) = 0,123$ g.

1. On arrondit $U(x)$ à un seul chiffre significatif : $U(x) = 0,1$ g.
2. Le chiffre significatif de $U(x)$ (le 1) est au dixième. On arrondit donc $x$ au dixième : $x = 12,3$ g.
3. Le résultat final est : $m = (12,3 \pm 0,1)$ g.

Si $U(x) = 0,00056$ m. On arrondit à $U(x) = 0,0006$ m. Si $U(x) = 0,00012$ m. On peut arrondir à $U(x) = 0,0001$ m ou $0,00012$ m (deux chiffres si le premier est 1 ou 2).

L'incertitude liée à l'instrument est souvent la principale source d'incertitude pour une mesure directe unique.

1. Lecture d'une graduation : Pour un instrument à lecture directe (règle, éprouvette), l'incertitude-type liée à la lecture est souvent estimée à : $u_{lect} = \frac{\text{plus petite graduation}}{2 \sqrt{3}}$ Ou, plus simplement pour des mesures de Seconde, on prend souvent : $u_{lect} = \frac{\text{plus petite graduation}}{2}$ ou même la plus petite graduation (approche majorante). Exemple : si une règle est graduée tous les millimètres, la plus petite graduation est 1 mm. L'incertitude de lecture pourrait être $u_{lect} = 0,5$ mm.

2. Classe de l'instrument : Certains instruments numériques ou plus complexes (voltmètre, ampèremètre) ont une incertitude donnée par le fabricant sous forme de "classe" ou de pourcentage. Si un instrument a une classe de 0,5% pour une mesure de 100 V, l'incertitude est $0,5\% \times 100 V = 0,5 V$. Pour ces instruments, l'incertitude-type est souvent donnée par : $u_{inst} = \frac{\text{incertitude maximale donnée par le fabricant}}{\sqrt{3}}$

3. Incertitude de justesse ou de justesse : Elle est liée à la capacité de l'instrument à donner une valeur proche de la vraie valeur. Elle peut être donnée par le fabricant.

Lorsqu'on répète plusieurs fois la même mesure dans les mêmes conditions, on constate souvent de légères variations des résultats. Ces variations sont dues à des facteurs aléatoires.

Si on effectue $N$ mesures consécutives d'une grandeur $X$ ($x_1, x_2, ..., x_N$) :

1. On calcule la moyenne des mesures $\bar{x}$ : $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_N}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i$ C'est cette moyenne qui sera notre meilleure estimation de la valeur de la grandeur.

2. On calcule l'écart-type expérimental $s_x$ : Il quantifie la dispersion des mesures autour de la moyenne. $s_x = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2}$ Plus l'écart-type est faible, plus les mesures sont regroupées et reproductibles.

3. L'incertitude-type associée à la moyenne des mesures (incertitude de répétabilité) est donnée par : $u_{rep} = \frac{s_x}{\sqrt{N}}$ Plus on fait de mesures ($N$ élevé), plus l'incertitude sur la moyenne diminue.

Dans la plupart des cas, l'incertitude totale sur une mesure directe provient de plusieurs sources (instrument, répétabilité, conditions...). On parle alors d'incertitude-type composée $u_c(X)$. Pour la calculer, on combine les différentes incertitudes-types qui contribuent à la mesure.

La méthode la plus courante pour combiner des incertitudes-types indépendantes est la somme quadratique : $u_c(X) = \sqrt{u_1(X)^2 + u_2(X)^2 + ... + u_n(X)^2}$ Où $u_1(X), u_2(X), ...$ sont les incertitudes-types liées à chaque source.

On prend une seule mesure $L_1$.

• Incertitude liée à la lecture sur la règle : $u_{lect}$ (par exemple 0,5 mm si graduation de 1 mm).
• Incertitude liée à la justesse de la règle (souvent négligeable si on n'a pas d'information, ou incluse dans $u_{lect}$).

Si l'on estime que la principale source est la lecture, alors $u_c(L) = u_{lect}$. Si on répète la mesure N fois, on aura une incertitude de répétabilité $u_{rep}$. Alors $u_c(L) = \sqrt{u_{lect}^2 + u_{rep}^2}$.

Une fois $u_c(X)$ calculée, on peut déterminer l'incertitude élargie $U(X)$ en multipliant par le facteur d'élargissement $k$ (généralement $k=2$ pour un niveau de confiance de 95%).

Souvent, la grandeur qui nous intéresse n'est pas mesurée directement, mais calculée à partir de plusieurs mesures directes. C'est le cas par exemple pour le volume d'un cylindre (calculé à partir de son rayon et de sa hauteur), la masse volumique (calculée à partir de la masse et du volume), ou la concentration molaire (à partir de la quantité de matière et du volume).

Lorsque l'on calcule une grandeur $Y$ à partir de plusieurs grandeurs $X_1, X_2, \dots, X_n$ qui ont été mesurées directement (chacune avec son incertitude), il est essentiel de déterminer l'incertitude sur $Y$. C'est ce qu'on appelle la propagation des incertitudes.

L'influence de chaque grandeur mesurée sur l'incertitude finale dépend de la formule de calcul et de la valeur de son incertitude propre. Une petite incertitude sur une grandeur qui a un impact majeur dans la formule peut entraîner une incertitude importante sur le résultat final.

Les formules de propagation permettent d'estimer l'incertitude-type composée sur une grandeur calculée $Y$ en fonction des incertitudes-types des grandeurs mesurées $X_i$.

Soient $u(X_1), u(X_2), \dots$ les incertitudes-types des grandeurs mesurées.

1. Somme et différence : Si $Y = aX_1 + bX_2$ ou $Y = aX_1 - bX_2$ (où $a$ et $b$ sont des constantes sans incertitude), alors : $u(Y) = \sqrt{(a \cdot u(X_1))^2 + (b \cdot u(X_2))^2}$ Exemple : Calcul d'une longueur totale $L = L_1 + L_2$. Si $u(L_1)$ et $u(L_2)$ sont les incertitudes-types, alors $u(L) = \sqrt{u(L_1)^2 + u(L_2)^2}$.

2. Produit et quotient : Si $Y = \frac{X_1 \cdot X_2}{X_3}$ ou $Y = a \cdot X_1 \cdot X_2$ ou $Y = a \frac{X_1}{X_2}$, alors on utilise les incertitudes relatives : $\frac{u(Y)}{|Y|} = \sqrt{\left(\frac{u(X_1)}{|X_1|}\right)^2 + \left(\frac{u(X_2)}{|X_2|}\right)^2 + \left(\frac{u(X_3)}{|X_3|}\right)^2}$ Puis $u(Y) = |Y| \times \frac{u(Y)}{|Y|}$. L'incertitude relative $\frac{u(X)}{|X|}$ est une grandeur sans unité, souvent exprimée en pourcentage.

3. Puissance : Si $Y = X^n$ (où $n$ est une constante), alors : $\frac{u(Y)}{|Y|} = |n| \frac{u(X)}{|X|}$ Exemple : Volume d'une sphère $V = \frac{4}{3} \pi r^3$. Alors $\frac{u(V)}{V} = 3 \frac{u(r)}{r}$.

Pour des fonctions plus complexes, on utilise des formules de dérivation partielle, mais les cas ci-dessus couvrent la majorité des situations en Seconde.

Voyons comment appliquer ces formules à des exemples concrets.

Calcul d'incertitude sur une masse volumique $\rho$ : La masse volumique est définie par $\rho = \frac{m}{V}$. On mesure la masse $m$ et le volume $V$. On a les incertitudes-types $u(m)$ et $u(V)$. En utilisant la formule pour le quotient : $\frac{u(\rho)}{|\rho|} = \sqrt{\left(\frac{u(m)}{m}\right)^2 + \left(\frac{u(V)}{V}\right)^2}$ Puis $u(\rho) = |\rho| \times \sqrt{\left(\frac{u(m)}{m}\right)^2 + \left(\frac{u(V)}{V}\right)^2}$.

Calcul d'incertitude sur une concentration molaire $C$ : La concentration molaire est $C = \frac{n}{V}$, où $n$ est la quantité de matière (en moles) et $V$ est le volume de la solution. Si $n$ est calculée à partir de la masse $m$ et de la masse molaire $M$ ($n = \frac{m}{M}$), alors $C = \frac{m}{M \cdot V}$. On mesure $m$ et $V$. La masse molaire $M$ est souvent connue avec une très grande précision (son incertitude est négligeable). Donc, la formule de propagation sera similaire à celle de la masse volumique : $\frac{u(C)}{|C|} = \sqrt{\left(\frac{u(m)}{m}\right)^2 + \left(\frac{u(V)}{V}\right)^2}$ Puis $u(C) = |C| \times \sqrt{\left(\frac{u(m)}{m}\right)^2 + \left(\frac{u(V)}{V}\right)^2}$.

L'interprétation du résultat est essentielle. Une fois que vous avez la valeur calculée $Y$ et son incertitude élargie $U(Y)$ (en multipliant $u(Y)$ par $k=2$), vous pouvez exprimer le résultat sous la forme $(Y \pm U(Y))$ unité. Cela vous donne un intervalle de confiance pour la grandeur calculée.

Très souvent, on compare une valeur que l'on a mesurée ($x_{exp}$) à une valeur de référence ($x_{ref}$), qui est une valeur connue, théorique ou fournie par un fabricant (ex: densité de l'eau, valeur d'une résistance).

Pour savoir si notre mesure est "compatible" avec la valeur de référence, on regarde si la valeur de référence se trouve dans l'intervalle de confiance de notre mesure. L'intervalle de confiance de la mesure est $[x_{exp} - U(x_{exp}) ; x_{exp} + U(x_{exp})]$.

• Si $x_{ref}$ est dans l'intervalle $[x_{exp} - U(x_{exp}) ; x_{exp} + U(x_{exp})]$, alors la mesure est compatible avec la valeur de référence. Cela signifie que l'expérience a été réalisée correctement et que le résultat est en accord avec la théorie ou la valeur attendue.
• Si $x_{ref}$ n'est pas dans cet intervalle, alors la mesure n'est pas compatible. Il faut alors chercher la raison de cet écart : erreur systématique, instrument défectueux, mauvaise manipulation, ou même une hypothèse théorique erronée.

On peut aussi calculer l'écart relatif (ou incertitude relative) pour quantifier la différence : $\text{Écart relatif} = \frac{|x_{exp} - x_{ref}|}{x_{ref}} \times 100$ Cet écart est souvent exprimé en pourcentage. Un faible écart relatif est souhaitable.

Il arrive qu'on doive comparer deux valeurs mesurées (par exemple, deux groupes d'élèves mesurent la même grandeur, ou on teste deux méthodes de mesure différentes). Soient deux mesures $x_1$ et $x_2$, avec leurs incertitudes élargies respectives $U(x_1)$ et $U(x_2)$.

Pour conclure sur la compatibilité de ces deux valeurs, on regarde si leurs intervalles de confiance se chevauchent (se superposent) :

• Intervalle 1 : $[x_1 - U(x_1) ; x_1 + U(x_1)]$
• Intervalle 2 : $[x_2 - U(x_2) ; x_2 + U(x_2)]$

Si les deux intervalles se superposent, les deux mesures sont considérées comme compatibles. Cela signifie qu'elles sont toutes deux des estimations raisonnables de la même valeur vraie, compte tenu de leurs incertitudes. Si les intervalles ne se superposent pas, les deux mesures sont incompatibles. Il y a une différence significative entre les deux résultats, qui ne peut pas être expliquée par les seules incertitudes. Il faut alors rechercher les causes de cette différence (erreurs, différentes conditions expérimentales, etc.).

Réduire l'incertitude et obtenir des résultats plus fiables est un objectif constant en science. Plusieurs actions peuvent être mises en œuvre :

1. Choix de l'instrument : Utiliser des instruments plus précis et mieux adaptés à la grandeur à mesurer. Par exemple, préférer un pied à coulisse à une règle pour de petites longueurs, ou une balance de précision pour de faibles masses.

2. Amélioration de la méthode de mesure :

   • Réduire les erreurs systématiques : Calibrer les instruments, corriger les effets de la température, s'assurer que l'instrument est bien à zéro avant la mesure.
   • Réduire les erreurs aléatoires : Effectuer un grand nombre de mesures répétées ($N$ élevé) pour que l'incertitude de répétabilité $u_{rep} = \frac{s_x}{\sqrt{N}}$ diminue.
   • Respecter scrupuleusement le protocole : S'assurer que chaque étape est exécutée correctement pour éviter les erreurs de manipulation.
   • Optimiser les conditions expérimentales : Maintenir une température constante, éviter les courants d'air, les vibrations.

3. Formation de l'opérateur : Un opérateur expérimenté et rigoureux fera moins d'erreurs de lecture ou de manipulation.

En résumé, une bonne mesure est une mesure qui est non seulement proche de la valeur vraie, mais aussi dont l'incertitude est la plus faible possible, permettant ainsi une meilleure confiance dans le résultat.