Circuitos de corriente alterna

Una señal senoidal se genera mediante la rotación de una espira dentro de un campo magnético uniforme. La expresión matemática del valor instantáneo de la tensión es:

$v(t) = V_{max} \cdot \sin(\omega t + \phi_0)$

Donde los parámetros fundamentales son:

• Valor máximo ($V_{max}$): La amplitud o pico de la señal.
• Frecuencia ($f$): Número de ciclos por segundo, medido en Hercios (Hz). En España, la red eléctrica funciona a 50 Hz.
• Periodo ($T$): Tiempo que tarda en completarse un ciclo completo. $T = 1/f$.
• Frecuencia angular ($\omega$): Velocidad de rotación, medida en rad/s. $\omega = 2\pi f$.
• Valor eficaz ($V_{ef}$ o $V_{rms}$): Es el valor de una corriente continua que produciría el mismo efecto térmico. Para señales senoidales: ==$V_{ef} = \frac{V_{max}}{\sqrt{2}}$==.
• Fase inicial ($\phi_0$): El ángulo de la señal en el instante $t=0$. El desfase ($\varphi$) es la diferencia angular entre dos señales (por ejemplo, entre tensión e intensidad).

Trabajar con funciones trigonométricas en el tiempo es complejo. Por ello, utilizamos la Transformada de Steinmetz, que convierte funciones temporales en fasores. Un fasor es un vector giratorio que representa la magnitud y la fase de la señal.

En un diagrama vectorial, los fasores se dibujan partiendo del origen. Si la corriente "atrasa" respecto a la tensión, el vector de intensidad se dibuja en sentido horario respecto al de tensión.

La herramienta matemática para manejar fasores son los números complejos.

• Forma Binómica: $Z = a + jb$ (donde $j = \sqrt{-1}$). La parte real $a$ representa la resistencia y la imaginaria $b$ la reactancia.
• Forma Polar: $Z = |Z|_{\phi}$. Muy útil para multiplicaciones y divisiones.

Para convertir de polar a binómica usamos: $a = |Z| \cos(\phi) \quad \text{y} \quad b = |Z| \sin(\phi)$

1. Resistencia pura (R): La tensión y la intensidad están en fase ($\varphi = 0^\circ$). No depende de la frecuencia.
2. Inductancia pura (L): La tensión adelanta $90^\circ$ a la intensidad. Presenta una reactancia inductiva: $X_L = \omega \cdot L$.
3. Capacitancia pura (C): La intensidad adelanta $90^\circ$ a la tensión. Presenta una reactancia capacitiva: $X_C = \frac{1}{\omega \cdot C}$.

La impedancia ($Z$) es la oposición total al paso de la corriente y se mide en Ohmios ($\Omega$). Se define como: $\mathbf{Z} = R + j(X_L - X_C)$

El triángulo de impedancias permite visualizar la relación entre la resistencia (eje real) y la reactancia neta (eje imaginario). La Ley de Ohm generalizada para C.A. se expresa como: $\mathbf{V} = \mathbf{I} \cdot \mathbf{Z}$

En un circuito serie, la intensidad es común para todos los elementos. La impedancia total es la suma vectorial de las impedancias individuales.

• Si $X_L > X_C$, el circuito es inductivo.
• Si $X_C > X_L$, el circuito es capacitivo.
• Resonancia serie: Ocurre cuando $X_L = X_C$. En este punto, la impedancia es mínima e igual a $R$, y la intensidad es máxima. La frecuencia de resonancia es $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.

En paralelo, la tensión es común. Es más sencillo trabajar con la admitancia ($Y$), que es la inversa de la impedancia ($Y = 1/Z$). Sus componentes son la conductancia ($G$) y la susceptancia ($B$). La resolución suele realizarse mediante el método de nudos o sumando las admitancias en paralelo: $Y_{total} = Y_1 + Y_2 + ... + Y_n$.

1. Potencia Activa (P): Es la que realmente se transforma en trabajo útil o calor. Se mide en Watios (W). $P = V \cdot I \cdot \cos(\varphi)$.
2. Potencia Reactiva (Q): Es la energía que intercambian las bobinas y condensadores con la red sin consumirse. Se mide en Voltio-Amperios Reactivos (VAR). $Q = V \cdot I \cdot \sin(\varphi)$.
3. Potencia Aparente (S): Es la suma geométrica de las anteriores. Representa la capacidad total que debe suministrar la red. Se mide en Voltio-Amperios (VA). ==$S = \sqrt{P^2 + Q^2}$==.

El factor de potencia se define como el coseno de phi ($\cos \varphi$). Indica la eficiencia con la que se aprovecha la energía eléctrica.

• Un $\cos \varphi$ próximo a 1 significa que casi toda la energía se aprovecha (circuito resistivo).
• Un $\cos \varphi$ bajo significa que circula mucha corriente "reactiva" que sobrecarga las líneas sin producir trabajo útil.

Las empresas eléctricas penalizan un factor de potencia bajo (generalmente inferior a 0.95). Para corregirlo, se instalan baterías de condensadores en paralelo con la carga inductiva. La potencia reactiva del condensador ($Q_C$) resta a la reactiva inductiva ($Q_L$), reduciendo la potencia aparente total y mejorando la eficiencia energética del sistema.

Las tensiones se denominan $U_1, U_2, U_3$. Existen dos tipos de tensiones:

• Tensión de fase ($V_P$): Entre un conductor de fase y el neutro (ej. 230V).
• Tensión de línea ($V_L$): Entre dos conductores de fase (ej. 400V). En una conexión en estrella: ==$V_L = \sqrt{3} \cdot V_P$==.

Una carga es equilibrada cuando las tres impedancias conectadas son idénticas.

• Conexión Estrella (Y): La corriente de línea es igual a la de fase ($I_L = I_F$). El neutro no transporta corriente.
• Conexión Triángulo ($\Delta$): La tensión de línea es igual a la de fase ($V_L = V_F$), pero $I_L = \sqrt{3} \cdot I_F$. La potencia total en cualquier sistema equilibrado es $P = \sqrt{3} \cdot V_L \cdot I_L \cdot \cos(\varphi)$.

Si las impedancias son distintas, el sistema está desequilibrado. En conexión estrella, esto provoca un desplazamiento del punto neutro, lo que significa que el neutro tendrá una tensión respecto a tierra y por él circulará corriente. Esto es peligroso para los equipos y requiere protecciones específicas.

Se construyen con resistencias, condensadores y bobinas.

• Paso Bajo RC: Deja pasar frecuencias bajas y atenúa las altas. La salida se toma en el condensador.
• Paso Alto RC: Deja pasar frecuencias altas y atenúa las bajas. La salida se toma en la resistencia. La frecuencia de corte ($f_c$) es aquella donde la potencia de salida cae a la mitad: $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$.

En circuitos RLC, la resonancia permite crear filtros de banda.

• Factor de calidad (Q): Mide la "agudeza" de la resonancia. $Q = \frac{\omega_0 L}{R}$.
• Ancho de banda (BW): Rango de frecuencias alrededor de la resonancia que el filtro deja pasar. A mayor $Q$, menor es el ancho de banda y más selectivo es el filtro.

Son representaciones gráficas de la respuesta en frecuencia de un sistema.

1. Gráfica de Magnitud: Representa la ganancia en decibelios ($dB = 20 \log \frac{V_{out}}{V_{in}}$) frente al logaritmo de la frecuencia.
2. Gráfica de Fase: Representa el desfase introducido por el filtro según la frecuencia. Estos diagramas son esenciales en ingeniería para analizar la estabilidad de sistemas y el comportamiento de amplificadores y equipos de comunicaciones.