Calculer un taux d'evolution

En mathématiques, et particulièrement en économie ou en statistique, il est fréquent d'analyser comment une grandeur évolue. Pour cela, nous utilisons la notion de variation.

Imaginez que vous avez une certaine quantité au début d'une période et une autre quantité à la fin de cette période. La variation est simplement la différence entre ces deux quantités.

• La valeur initiale ($V_i$) est la quantité que l'on observe au début de la période.
• La valeur finale ($V_f$) est la quantité que l'on observe à la fin de la période.
• La variation absolue est la différence $V_f - V_i$. Elle exprime de combien la valeur a changé en termes absolus (par exemple, en euros, en kilos, en nombre d'habitants).

Un article coûtait 50 € ($V_i$). Son prix est maintenant de 60 € ($V_f$). La variation absolue est $60 € - 50 € = 10 €$. L'article a augmenté de 10 €.

Un autre article coûtait 120 € ($V_i$). Son prix est maintenant de 100 € ($V_f$). La variation absolue est $100 € - 120 € = -20 €$. L'article a diminué de 20 €.

La variation absolue nous donne non seulement l'ampleur du changement, mais aussi son sens.

• Si $V_f > V_i$, alors la variation absolue est positive. On parle d'augmentation.
  • Vocabulaire associé : hausse, croissance, progression, gain.
• Si $V_f < V_i$, alors la variation absolue est négative. On parle de diminution.
  • Vocabulaire associé : baisse, décroissance, régression, perte.
• Si $V_f = V_i$, alors la variation absolue est nulle. Il n'y a pas de variation.

1. Augmentation : Le nombre d'abonnés à une chaîne YouTube passe de 10 000 à 12 000. C'est une augmentation de 2 000 abonnés.
2. Diminution : Le stock de marchandises d'un magasin passe de 500 unités à 450 unités. C'est une diminution de 50 unités.

La variation absolue est utile, mais elle a une limite majeure : elle ne permet pas toujours de comparer facilement des situations différentes.

• Le prix d'un smartphone passe de 1000 € à 1050 €. Variation absolue : +50 €.
• Le prix d'une baguette de pain passe de 1 € à 1,50 €. Variation absolue : +0,50 €.

Dans le premier cas, l'augmentation de 50 € semble importante. Dans le second, 0,50 € semble faible. Pourtant, si on regarde proportionnellement, la baguette a augmenté de 50% de son prix initial, tandis que le smartphone n'a augmenté que de 5%.

C'est là qu'interviennent les taux d'évolution. Un taux d'évolution exprime la variation en pourcentage par rapport à la valeur initiale. Il permet :

• La comparaison de grandeurs de natures différentes ou d'ordres de grandeur très variés.
• Une indépendance des unités : que la valeur soit en euros, en kilogrammes ou en nombre d'habitants, le taux sera toujours un pourcentage, facilitant les comparaisons.
• Une pertinence économique et statistique car il donne une idée de l'importance relative du changement. Un taux d'évolution est une mesure relative du changement.

Le taux d'évolution (souvent noté $t$) est la variation relative d'une grandeur. Il se calcule en divisant la variation absolue par la valeur initiale, puis en multipliant par 100 pour l'exprimer en pourcentage.

La formule est la suivante : $t = \frac{V_f - V_i}{V_i}$

où :

• $V_f$ est la valeur finale
• $V_i$ est la valeur initiale

Pour exprimer ce taux en pourcentage, on multiplie le résultat par 100 : $t_{\%} = \left( \frac{V_f - V_i}{V_i} \right) \times 100$

Un loyer passe de 700 € à 735 €. $V_i = 700 €$ $V_f = 735 €$ $t = \frac{735 - 700}{700} = \frac{35}{700} = 0,05$ En pourcentage : $0,05 \times 100 = 5\%$ Le loyer a augmenté de 5%.

Les taux d'évolution sont omniprésents dans la vie courante et professionnelle.

• Prix : Un article coûte 80 €. Son prix baisse à 64 €. $t = \frac{64 - 80}{80} = \frac{-16}{80} = -0,2$ Le prix a diminué de $20\%$.
• Population : La population d'une ville était de 25 000 habitants en 2010 et de 27 500 habitants en 2020. $t = \frac{27500 - 25000}{25000} = \frac{2500}{25000} = 0,1$ La population a augmenté de $10\%$.
• Quantité : Une production passe de 1200 unités à 1500 unités. $t = \frac{1500 - 1200}{1200} = \frac{300}{1200} = 0,25$ La production a augmenté de $25\%$.

Le signe du taux d'évolution est crucial pour son interprétation :

• Si $t > 0$ (ou $t_{\%} > 0\%$), cela indique une augmentation. La valeur finale est supérieure à la valeur initiale.
• Si $t < 0$ (ou $t_{\%} < 0\%$), cela indique une diminution. La valeur finale est inférieure à la valeur initiale.
• Si $t = 0$ (ou $t_{\%} = 0\%$), cela signifie qu'il n'y a pas de variation. La valeur finale est égale à la valeur initiale.

Un taux d'évolution est toujours calculé par rapport à la valeur initiale.

1. Confusion avec la variation absolue : Ne pas confondre la variation absolue ($V_f - V_i$) avec le taux d'évolution. L'un est une quantité, l'autre est un pourcentage relatif.
2. Erreurs de calcul :
   • Oublier de diviser par la valeur initiale.
   • Inverser $V_f$ et $V_i$ dans la formule.
   • Ne pas multiplier par 100 pour obtenir un pourcentage (si demandé).
3. Arrondis : Effectuer les arrondis uniquement à la fin du calcul pour préserver la précision. Si un taux est 0,049, il s'agit de 4,9%, et non de 5% par arrondi prématuré.

Le coefficient multiplicateur (noté $Cm$) est un outil très pratique qui permet de passer directement de la valeur initiale à la valeur finale, ou inversement, en une seule multiplication.

Il est directement lié au taux d'évolution $t$ par la formule : $Cm = 1 + t$ où $t$ est le taux d'évolution exprimé sous forme décimale (par exemple, 5% devient 0,05).

• Passage de $t$ à $Cm$ :
  • Si une augmentation de 10% ($t = 0,10$), alors $Cm = 1 + 0,10 = 1,10$.
  • Si une diminution de 20% ($t = -0,20$), alors $Cm = 1 - 0,20 = 0,80$.
• Passage de $Cm$ à $t$ :
  • Si $Cm = 1,15$, alors $t = 1,15 - 1 = 0,15$, soit une augmentation de 15%.
  • Si $Cm = 0,92$, alors $t = 0,92 - 1 = -0,08$, soit une diminution de 8%.

L'intérêt principal du coefficient multiplicateur est de simplifier les calculs :

• Pour trouver la valeur finale ($V_f$) à partir de la valeur initiale ($V_i$) et du coefficient multiplicateur ($Cm$) : $V_f = V_i \times Cm$

• Pour trouver la valeur initiale ($V_i$) à partir de la valeur finale ($V_f$) et du coefficient multiplicateur ($Cm$) : $V_i = \frac{V_f}{Cm}$

1. Un salaire de 2000 € augmente de 3%. $t = 0,03 \implies Cm = 1 + 0,03 = 1,03$ $V_f = 2000 \times 1,03 = 2060 €$.
2. Le prix d'un article, après une réduction de 15%, est de 85 €. Quel était son prix initial ? $t = -0,15 \implies Cm = 1 - 0,15 = 0,85$ $V_i = \frac{85}{0,85} = 100 €$. Le prix initial était de 100 €.

• Calcul rapide : Le $Cm$ permet des calculs directs sans passer par des étapes intermédiaires.
• Enchaînement d'évolutions : C'est un outil indispensable pour calculer l'effet de plusieurs évolutions successives (voir section suivante).
• Facteur d'échelle : Il représente le facteur par lequel la valeur initiale est multipliée pour obtenir la valeur finale. Le coefficient multiplicateur est toujours positif.

Lorsque une grandeur subit plusieurs évolutions successives (par exemple, une augmentation suivie d'une diminution), il est tentant d'additionner les taux, mais c'est une erreur ! Il faut utiliser les coefficients multiplicateurs.

Le coefficient multiplicateur global ($Cm_{global}$) est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

Si une grandeur subit une première évolution de $t_1$ (avec $Cm_1 = 1 + t_1$), puis une seconde évolution de $t_2$ (avec $Cm_2 = 1 + t_2$), etc., jusqu'à $t_n$ (avec $Cm_n = 1 + t_n$), alors : $Cm_{global} = Cm_1 \times Cm_2 \times \dots \times Cm_n$

L'ordre des évolutions n'a pas d'importance pour le calcul du coefficient multiplicateur global, car la multiplication est commutative.

Un article coûte 100 €. Il subit une augmentation de 10%, puis une diminution de 5%. $t_1 = 0,10 \implies Cm_1 = 1 + 0,10 = 1,10$ $t_2 = -0,05 \implies Cm_2 = 1 - 0,05 = 0,95$ $Cm_{global} = 1,10 \times 0,95 = 1,045$

La nouvelle valeur de l'article sera : $V_f = 100 \times 1,045 = 104,50 €$.

Une fois le $Cm_{global}$ calculé, il est facile d'en déduire le taux d'évolution global ($t_{global}$) : $t_{global} = Cm_{global} - 1$

CRITICAL : Il ne faut jamais additionner les taux d'évolution pour obtenir le taux global. C'est une erreur fréquente et grave. Si on avait additionné les taux de l'exemple précédent : $10\% - 5\% = 5\%$. Cela donnerait un prix final de 105 €, ce qui est faux.

Reprenons l'exemple précédent avec $Cm_{global} = 1,045$. $t_{global} = 1,045 - 1 = 0,045$ Soit une augmentation globale de $4,5\%$.

• Augmentations/diminutions identiques : Si une valeur augmente de $x\%$ puis diminue de $x\%$, elle ne revient pas à sa valeur initiale.

$Cm_{global} = 1,10 \times 0,90 = 0,99$.
Le prix final est $100 \times 0,99 = 99 €$. Il a donc diminué de 1%. <mark>Une augmentation suivie d'une diminution du même pourcentage ne ramène pas à la valeur initiale.</mark>

• Retour à la valeur initiale : Pour qu'une valeur revienne à sa valeur initiale après plusieurs évolutions, il faut que le $Cm_{global} = 1$.
• Interprétation des résultats : Toujours bien analyser le signe du $t_{global}$ pour savoir s'il s'agit d'une augmentation ou d'une diminution globale.

Le taux d'évolution réciproque (ou taux de compensation) est le taux qu'il faut appliquer à une valeur finale pour retrouver la valeur initiale. Son objectif est d'annuler une évolution pour revenir à la situation de départ.

Imaginez qu'un prix a augmenté. Le taux réciproque est la diminution en pourcentage qu'il faudrait appliquer à ce nouveau prix pour le ramener à son prix d'origine.

Soit $t$ le taux d'évolution initial et $Cm = 1 + t$ le coefficient multiplicateur associé. Le coefficient multiplicateur réciproque ($Cm_{rec}$) est l'inverse du coefficient multiplicateur initial : $Cm_{rec} = \frac{1}{Cm} = \frac{1}{1 + t}$

Une fois $Cm_{rec}$ calculé, le taux d'évolution réciproque ($t_{rec}$) est donné par : $t_{rec} = Cm_{rec} - 1$

On peut aussi l'exprimer directement en fonction de $t$ : $t_{rec} = \frac{1}{1 + t} - 1 = \frac{1 - (1 + t)}{1 + t} = \frac{-t}{1 + t}$

Attention : Le taux réciproque n'est pas l'opposé du taux initial. Si un prix augmente de 10%, il ne faut pas le diminuer de 10% pour revenir à la valeur initiale.

Un prix augmente de 10% ($t = 0,10$). $Cm = 1 + 0,10 = 1,10$ $Cm_{rec} = \frac{1}{1,10} \approx 0,90909$ $t_{rec} = 0,90909 - 1 \approx -0,090909$ Soit une diminution d'environ $9,09\%$. Cela signifie que pour annuler une augmentation de 10%, il faut appliquer une diminution d'environ 9,09%.

• Rétablissement d'un prix : Un produit coûte 50 €. Son prix augmente de 20%. Quel taux de réduction faut-il appliquer au nouveau prix pour revenir à 50 € ? Initial : $V_i = 50 €$. Augmentation de $t = 0,20$. $Cm = 1 + 0,20 = 1,20$. Nouveau prix : $V_f = 50 \times 1,20 = 60 €$. Taux réciproque : $t_{rec} = \frac{-0,20}{1 + 0,20} = \frac{-0,20}{1,20} \approx -0,1667$. Il faut appliquer une réduction d'environ $16,67\%$ au prix de 60 € pour revenir à 50 €. Vérification : $60 \times (1 - 0,1667) \approx 60 \times 0,8333 \approx 50$.

• Correction d'une erreur : Un calcul a été affecté par une erreur de 5% par excès. Quel ajustement en pourcentage doit être appliqué pour corriger cette erreur ? L'erreur signifie une multiplication par $1,05$. Pour la corriger, il faut multiplier par $Cm_{rec} = \frac{1}{1,05} \approx 0,95238$. Le taux de correction est $0,95238 - 1 \approx -0,04762$, soit une diminution d'environ $4,76\%$.

• Exercices pratiques :

  1. Après une baisse de 25%, un article coûte 75 €. Quel est le taux d'augmentation à appliquer pour qu'il retrouve son prix initial ? Baisse de $t = -0,25$. $Cm = 1 - 0,25 = 0,75$. $t_{rec} = \frac{-(-0,25)}{1 - 0,25} = \frac{0,25}{0,75} \approx 0,3333$. Il faut une augmentation d'environ $33,33\%$. Vérification : $75 / 0,75 = 100$ (prix initial). $75 \times (1 + 0,3333) \approx 75 \times 1,3333 \approx 100$.

Le taux réciproque est essentiel pour "défaire" une évolution.