Calculer le taux d'evolution equivalent a plusieurs evolutions successives

Une évolution décrit un changement entre une valeur de départ et une valeur d'arrivée. Le taux d'évolution (ou taux de variation) est une mesure de ce changement, exprimée en pourcentage.

• Valeur initiale ($V_i$): La valeur au début de la période.
• Valeur finale ($V_f$): La valeur à la fin de la période.

La formule pour calculer le taux d'évolution ($t$) est la suivante :

$t = \frac{V_f - V_i}{V_i}$

Le résultat est un nombre décimal. Pour l'exprimer en pourcentage, on multiplie par 100.

• Si $t > 0$, il s'agit d'une augmentation.
• Si $t < 0$, il s'agit d'une diminution (ou réduction).

Exemple 1 : Augmentation Un article coûte 50 € ($V_i$). Son prix passe à 60 € ($V_f$). $t = \frac{60 - 50}{50} = \frac{10}{50} = 0,2$. En pourcentage, cela représente $0,2 \times 100 = 20 \%$. C'est une augmentation de 20 %.

Exemple 2 : Diminution Le nombre d'adhérents d'un club passe de 200 ($V_i$) à 180 ($V_f$). $t = \frac{180 - 200}{200} = \frac{-20}{200} = -0,1$. En pourcentage, cela représente $-0,1 \times 100 = -10 \%$. C'est une diminution de 10 %. Un taux d'évolution est toujours calculé par rapport à la valeur initiale.

Le coefficient multiplicateur (CM) est un outil très pratique pour calculer directement la valeur finale à partir de la valeur initiale, ou inversement.

La relation entre le taux d'évolution ($t$) et le coefficient multiplicateur (CM) est :

$CM = 1 + t$

• Si $t$ est un taux d'augmentation, $t > 0$, donc $CM > 1$.
• Si $t$ est un taux de diminution, $t < 0$, donc $CM < 1$.

Pour calculer la valeur finale ($V_f$) à partir de la valeur initiale ($V_i$) et du coefficient multiplicateur :

$V_f = V_i \times CM$ ou encore $V_f = V_i \times (1 + t)$

Exemple 1 : Augmentation Un prix augmente de 20 %. Le taux est $t = 0,2$. Le coefficient multiplicateur est $CM = 1 + 0,2 = 1,2$. Si le prix initial est de 50 €, le prix final est $V_f = 50 \times 1,2 = 60 €$.

Exemple 2 : Diminution Une quantité diminue de 10 %. Le taux est $t = -0,1$. Le coefficient multiplicateur est $CM = 1 + (-0,1) = 1 - 0,1 = 0,9$. Si la quantité initiale est de 200, la quantité finale est $V_f = 200 \times 0,9 = 180$. Le coefficient multiplicateur simplifie les calculs d'évolutions.

Il est parfois nécessaire de retrouver la valeur initiale ($V_i$) connaissant la valeur finale ($V_f$) et le taux d'évolution ($t$). On utilise pour cela le coefficient multiplicateur.

Puisque $V_f = V_i \times CM$, on peut en déduire :

$V_i = \frac{V_f}{CM}$ ou $V_i = V_f \div (1 + t)$

Calculer la valeur initiale revient à appliquer le coefficient multiplicateur inverse au lieu de l'original. Le coefficient multiplicateur inverse est $\frac{1}{CM}$.

Après une augmentation de 25 %, un article coûte 75 €. Quel était son prix initial ? Le taux d'augmentation est $t = 0,25$. Le coefficient multiplicateur est $CM = 1 + 0,25 = 1,25$. La valeur initiale est $V_i = \frac{75}{1,25} = 60 €$. Le prix initial était de 60 €.

Vérification : Une augmentation de 25 % sur 60 € donne $60 \times (1+0,25) = 60 \times 1,25 = 75 €$. C'est correct. Retrouver la valeur initiale nécessite de diviser par le coefficient multiplicateur.

Lorsqu'une valeur subit deux évolutions successives, on applique les coefficients multiplicateurs l'un après l'autre.

Soit une valeur initiale $V_i$.

1. Elle subit une première évolution de taux $t_1$, ce qui donne un coefficient multiplicateur $CM_1 = 1 + t_1$. La valeur intermédiaire est $V_{intermédiaire} = V_i \times CM_1$.
2. La valeur intermédiaire subit une deuxième évolution de taux $t_2$, ce qui donne un coefficient multiplicateur $CM_2 = 1 + t_2$. La valeur finale $V_f$ est alors $V_f = V_{intermédiaire} \times CM_2$.

En combinant ces deux étapes, on obtient :

$V_f = (V_i \times CM_1) \times CM_2$ $V_f = V_i \times CM_1 \times CM_2$

L'ordre dans lequel on applique les évolutions n'a pas d'importance. Par exemple, augmenter de 10 % puis de 20 % revient au même que d'augmenter de 20 % puis de 10 %.

Un produit coûte 100 €. Son prix augmente de 10 %, puis subit une nouvelle augmentation de 20 %.

1. Première évolution : Augmentation de 10 %. $t_1 = 0,1$. $CM_1 = 1 + 0,1 = 1,1$. Prix après la 1ère augmentation : $100 \times 1,1 = 110 €$.
2. Deuxième évolution : Augmentation de 20 % sur le nouveau prix (110 €). $t_2 = 0,2$. $CM_2 = 1 + 0,2 = 1,2$. Prix final : $110 \times 1,2 = 132 €$.

En utilisant la formule directe : $V_f = 100 \times 1,1 \times 1,2 = 100 \times 1,32 = 132 €$. Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients multiplicateurs.

Le coefficient multiplicateur global ($CM_g$) est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution successive.

Pour deux évolutions de coefficients multiplicateurs $CM_1$ et $CM_2$ :

$CM_g = CM_1 \times CM_2$

Si l'on a $n$ évolutions successives de coefficients multiplicateurs $CM_1, CM_2, ..., CM_n$ :

$CM_g = CM_1 \times CM_2 \times ... \times CM_n$

Comme mentionné précédemment, l'ordre des multiplications n'affecte pas le résultat. Donc, l'ordre des évolutions n'a pas d'importance pour le calcul du coefficient multiplicateur global.

Un prix baisse de 20 % puis augmente de 10 %.

1. Baisse de 20 % : $t_1 = -0,2$. $CM_1 = 1 - 0,2 = 0,8$.
2. Augmentation de 10 % : $t_2 = 0,1$. $CM_2 = 1 + 0,1 = 1,1$.

Le coefficient multiplicateur global est $CM_g = 0,8 \times 1,1 = 0,88$.

Si le prix initial était de 100 €, le prix final serait $100 \times 0,88 = 88 €$.

Une fois que l'on a calculé le coefficient multiplicateur global ($CM_g$), il est facile d'en déduire le taux d'évolution global équivalent ($t_g$). Ce taux représente l'évolution unique qui aurait eu le même effet que toutes les évolutions successives.

La relation est la même que pour un taux d'évolution simple :

$t_g = CM_g - 1$

Si $t_g > 0$, il s'agit d'une augmentation globale. Si $t_g < 0$, il s'agit d'une diminution globale.

Reprenons l'exemple précédent : Un prix baisse de 20 % puis augmente de 10 %. Nous avons trouvé $CM_g = 0,88$. Le taux d'évolution global est $t_g = 0,88 - 1 = -0,12$. En pourcentage, cela représente $-0,12 \times 100 = -12 \%$. Donc, au final, le prix a diminué de 12 %.

Erreurs courantes (addition des taux) : Il est tentant d'additionner les taux, mais c'est FAUX ! Dans l'exemple ci-dessus, si on avait fait $-20 \% + 10 \% = -10 \%$, on aurait trouvé une diminution de 10 %, ce qui est incorrect (la vraie diminution est de 12 %). On ne peut jamais additionner les taux d'évolution successifs. Il faut passer par les coefficients multiplicateurs.

Tableau récapitulatif pour deux évolutions :

Si une grandeur subit $n$ évolutions successives, chacune avec son propre taux $t_i$ et son coefficient multiplicateur $CM_i = 1 + t_i$, alors le coefficient multiplicateur global $CM_g$ est le produit de tous ces coefficients multiplicateurs individuels :

$CM_g = CM_1 \times CM_2 \times CM_3 \times \dots \times CM_n$ On peut aussi l'écrire avec la notation produit ($\Pi$) : $CM_g = \prod_{i=1}^{n} CM_i$

Exemple avec plus de deux évolutions : Un salaire de 2000 € subit les évolutions suivantes :

1. Augmentation de 5 %
2. Diminution de 2 %
3. Augmentation de 3 %

Calculons les coefficients multiplicateurs :

1. $CM_1 = 1 + 0,05 = 1,05$
2. $CM_2 = 1 - 0,02 = 0,98$
3. $CM_3 = 1 + 0,03 = 1,03$

Le coefficient multiplicateur global est $CM_g = 1,05 \times 0,98 \times 1,03 \approx 1,05963$.

Le salaire final sera $2000 \times 1,05963 = 2119,26 €$.

Une fois le $CM_g$ calculé, le taux d'évolution global équivalent ($t_g$) est toujours :

$t_g = CM_g - 1$

Reprenons l'exemple précédent où $CM_g \approx 1,05963$. $t_g = 1,05963 - 1 = 0,05963$. En pourcentage, cela représente $0,05963 \times 100 = 5,963 \%$. Le salaire a donc augmenté globalement d'environ 5,963 %.

Arrondis et précision : Il est important de conserver le maximum de décimales pour les coefficients multiplicateurs intermédiaires afin de garantir la précision du résultat final pour le taux global. N'arrondissez qu'à la toute fin, pour l'affichage du taux en pourcentage.

Si une grandeur subit la même évolution ($n$ fois de suite, avec le même taux $t$), alors le coefficient multiplicateur est le même pour chaque étape ($CM = 1 + t$).

Dans ce cas, le coefficient multiplicateur global est :

$CM_g = CM \times CM \times \dots \times CM \text{ (n fois)}$ $CM_g = (CM)^n$ $CM_g = (1 + t)^n$

Ceci est particulièrement utile pour calculer un taux annuel moyen ou l'évolution d'un capital placé à intérêts composés.

Un capital de 1000 € est placé à un taux d'intérêt annuel de 3 % pendant 5 ans. Le taux annuel est $t = 0,03$. Le CM annuel est $1,03$. Le nombre d'années (évolutions) est $n = 5$. Le coefficient multiplicateur global est $CM_g = (1,03)^5 \approx 1,15927$. Le capital final sera $1000 \times 1,15927 = 1159,27 €$. Le taux d'évolution global est $t_g = 1,15927 - 1 = 0,15927$, soit $15,927 \%$.

Ces problèmes sont les plus courants et permettent de bien visualiser l'impact des évolutions.

Exemple 1 : Augmentations et réductions successives Un pantalon coûte 80 €. Pendant les soldes, son prix est réduit de 30 %. Après les soldes, le commerçant augmente le prix de 20 % par rapport au prix soldé. Quel est le prix final ?

1. Réduction de 30 % : $t_1 = -0,3$. $CM_1 = 1 - 0,3 = 0,7$.
2. Augmentation de 20 % : $t_2 = 0,2$. $CM_2 = 1 + 0,2 = 1,2$.

Coefficient multiplicateur global : $CM_g = 0,7 \times 1,2 = 0,84$. Prix final : $80 \times 0,84 = 67,20 €$.

Le taux d'évolution global est $t_g = 0,84 - 1 = -0,16$, soit une diminution de 16 %.

Exemple 2 : Retrouver un taux manquant Un produit a vu son prix augmenter de 10 % en 2022. En 2023, son prix a encore augmenté. Globalement, sur ces deux ans, le prix a augmenté de 15,5 %. Quel a été le taux d'augmentation en 2023 ?

Soit $t_1 = 0,10$ le taux de 2022, et $t_2$ le taux de 2023. Le taux global $t_g = 0,155$. On sait que $CM_g = 1 + t_g = 1 + 0,155 = 1,155$. On sait aussi que $CM_g = CM_1 \times CM_2$. $CM_1 = 1 + t_1 = 1 + 0,10 = 1,1$. Donc, $1,155 = 1,1 \times CM_2$. $CM_2 = \frac{1,155}{1,1} = 1,05$. Le taux $t_2 = CM_2 - 1 = 1,05 - 1 = 0,05$. En 2023, le prix a augmenté de 5 %.

• Inflation et pouvoir d'achat : L'inflation est une augmentation des prix. Si votre salaire augmente de 2 % mais l'inflation est de 3 %, votre pouvoir d'achat diminue.

  • Augmentation salaire : $CM_{salaire} = 1 + t_{salaire}$.
  • Augmentation des prix (inflation) : $CM_{prix} = 1 + t_{inflation}$.
  • L'évolution du pouvoir d'achat est donnée par le coefficient multiplicateur global (qui est en fait une division) : $CM_{pouvoir d'achat} = \frac{CM_{salaire}}{CM_{prix}}$. Si ce $CM < 1$, le pouvoir d'achat a diminué.

• Placements financiers : Les intérêts composés sont un excellent exemple d'évolutions identiques et répétées. Un capital de 10000 € est placé à 4 % par an. Au bout de 10 ans, le capital sera $10000 \times (1 + 0,04)^{10} \approx 10000 \times 1,48024 = 14802,4 €$.

• Évolution de populations : La démographie utilise ces calculs pour modéliser la croissance ou la décroissance d'une population sur plusieurs périodes.

• Calculatrice scientifique : Indispensable pour les calculs de puissances et les multiplications de décimaux. La touche $x^y$ ou $\wedge$ est utile pour les évolutions répétées.
• Tableurs (Excel, Google Sheets) : Pour des calculs plus complexes ou de grandes séries de données, les tableurs sont très efficaces.
  • Vous pouvez entrer les taux dans une colonne, calculer les CM dans une autre, puis utiliser la fonction PRODUIT() pour le CM global.
  • Pour les puissances, utilisez PUISSANCE(base; exposant) ou base^exposant.
  • Les tableurs permettent aussi de visualiser l'évolution avec des graphiques.

Il est crucial de toujours vérifier la cohérence de vos résultats.

• Sens du taux global : Si vous avez eu plusieurs augmentations, le taux global doit être une augmentation. Si c'est une diminution suivie d'une augmentation, le résultat peut être une augmentation ou une diminution selon l'ampleur de chaque évolution.
• Ordre de grandeur : Un taux global de 200 % signifie que la valeur a triplé. Est-ce logique au vu des évolutions initiales ?
• Erreur d'addition des taux : C'est l'erreur la plus fréquente. Une augmentation de 10 % suivie d'une augmentation de 10 % NE FAIT PAS 20 % ! $CM_g = 1,1 \times 1,1 = 1,21$, soit une augmentation de 21 %. Toujours passer par les coefficients multiplicateurs pour les évolutions successives.
• Interprétation dans le contexte : Un chiffre seul n'a pas de sens. $t_g = -12\%$ est une diminution de 12 %. C'est important de le formuler correctement.

Ces compétences sont fondamentales pour l'analyse économique et la compréhension de nombreux phénomènes quantitatifs.