Inequations et signe dune expression

En mathématiques, on rencontre souvent des inégalités, qui sont des expressions comparant deux quantités à l'aide de symboles comme $<$, $>$, $\le$, ou $\ge$. Par exemple, $3 < 5$ est une inégalité vraie.

Une inéquation est une inégalité qui contient une ou plusieurs variables (souvent $x$). L'objectif est de trouver les valeurs de ces variables qui rendent l'inégalité vraie.

• Une solution d'une inéquation est une valeur de la variable qui, lorsqu'elle est substituée dans l'inéquation, rend l'inégalité vraie.
  • Pour $2x + 1 > 5$, si $x=3$, on a $2(3) + 1 = 7$, et $7 > 5$ est vrai. Donc $x=3$ est une solution.
  • Si $x=1$, on a $2(1) + 1 = 3$, et $3 > 5$ est faux. Donc $x=1$ n'est pas une solution.
• L'ensemble de solutions d'une inéquation est l'ensemble de toutes les valeurs de la variable qui sont des solutions. Cet ensemble est souvent représenté par un intervalle ou une union d'intervalles.

Les symboles d'inégalité sont :

• $<$ : strictement inférieur à
• $>$ : strictement supérieur à
• $\le$ : inférieur ou égal à
• $\ge$ : supérieur ou égal à

Pour résoudre des inéquations, il est crucial de connaître les propriétés des inégalités. Elles ressemblent à celles des égalités, mais avec une différence majeure pour la multiplication/division par un nombre négatif.

1. Addition et soustraction :

   • Si $a < b$, alors $a + c < b + c$ et $a - c < b - c$.
   • Règle : On peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres d'une inégalité sans changer le sens de l'inégalité.
   • Exemple : Si $x - 3 < 7$, alors $x - 3 + 3 < 7 + 3$, ce qui donne $x < 10$.

2. Multiplication et division par un nombre positif :

   • Si $a < b$ et $c > 0$, alors $ac < bc$ et $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.
   • Règle : On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre positif sans changer le sens de l'inégalité.
   • Exemple : Si $2x < 10$, alors $\frac{2x}{2} < \frac{10}{2}$, ce qui donne $x < 5$.

3. Multiplication et division par un nombre négatif :

   • Si $a < b$ et $c < 0$, alors $ac > bc$ et $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.
   • Règle FONDAMENTALE : Quand on multiplie ou divise les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif, il faut changer le sens de l'inégalité.
   • Exemple : Si $-3x < 12$, alors $\frac{-3x}{-3} > \frac{12}{-3}$, ce qui donne $x > -4$.

4. Passage à l'inverse :

   • Si $a$ et $b$ sont de même signe et $a < b$, alors $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.
   • Règle : Si deux nombres sont de même signe, prendre l'inverse change le sens de l'inégalité.
   • Exemple : Si $2 < 5$, alors $\frac{1}{2} > \frac{1}{5}$. Si $-5 < -2$, alors $-\frac{1}{5} > -\frac{1}{2}$.
   • Attention : Cette propriété ne s'applique pas si $a$ et $b$ sont de signes différents (par exemple, $-2 < 3$ mais $-\frac{1}{2} < \frac{1}{3}$). Et bien sûr, on ne peut pas diviser par zéro, donc $a \ne 0$ et $b \ne 0$.

L'ensemble des solutions d'une inéquation est souvent un intervalle ou une union d'intervalles.

1. Intervalle : Un intervalle est un sous-ensemble de nombres réels.

   • $x < a$ : $]-\infty; a[$ (ouvert, $a$ non inclus)
   • $x \le a$ : $]-\infty; a]$ (fermé, $a$ inclus)
   • $x > a$ : $]a; +\infty[$ (ouvert, $a$ non inclus)
   • $x \ge a$ : $[a; +\infty[$ (fermé, $a$ inclus)
   • $a < x < b$ : $]a; b[$ (ouvert, $a$ et $b$ non inclus)
   • $a \le x \le b$ : $[a; b]$ (fermé, $a$ et $b$ inclus)

2. Représentation graphique sur une droite numérique : Les solutions peuvent être visualisées sur une droite graduée.

   • On hachure la partie de la droite qui correspond aux solutions.
   • Un crochet tourné vers l'intérieur de l'intervalle (ou un point plein) indique que la borne est incluse ( $\le$ ou $\ge$).
   • Un crochet tourné vers l'extérieur de l'intervalle (ou un point vide) indique que la borne est exclue ( $<$ ou $>$).

```
-----|-----|-----|-----|----->
    0     1     2     3     4
                [========
```
Le crochet est tourné vers la droite (l'intérieur de l'intervalle).

```
-----|-----|-----|-----|----->
   -2    -1     0     1     2
========)
```
Le crochet est tourné vers la gauche (l'extérieur de l'intervalle).

3. Union et intersection d'intervalles : * L'union ($\cup$) de deux ensembles contient tous les éléments qui appartiennent à l'un OU à l'autre des ensembles. * L'intersection ($\cap$) de deux ensembles contient tous les éléments qui appartiennent à l'un ET à l'autre des ensembles.

Une expression du premier degré est de la forme $ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels et $a \ne 0$. C'est l'expression associée à une fonction affine $f(x) = ax + b$.

• Le nombre $a$ est la pente (ou coefficient directeur) de la droite représentative de la fonction. Il indique le sens de variation :
  • Si $a > 0$, la fonction est croissante.
  • Si $a < 0$, la fonction est décroissante.
• Le nombre $b$ est l'ordonnée à l'origine, c'est la valeur de $f(x)$ quand $x=0$ (le point où la droite coupe l'axe des ordonnées).
• La racine de l'expression (ou zéro de la fonction) est la valeur de $x$ pour laquelle $ax + b = 0$.
  • Pour trouver la racine, on résout $ax + b = 0 \implies ax = -b \implies x = -\frac{b}{a}$.
  • C'est le point où la droite coupe l'axe des abscisses.

Le signe de l'expression $ax+b$ change à la racine.

Un tableau de signes est un outil visuel très utile pour déterminer le signe d'une expression sur différents intervalles.

Pour $ax+b$:

1. Calculer la racine : Résoudre $ax + b = 0$ pour trouver $x_0 = -\frac{b}{a}$.
2. Construire le tableau :
   • La première ligne contient $x$ allant de $-\infty$ à $+\infty$, avec la racine $x_0$ placée au milieu.
   • La deuxième ligne contient le signe de l'expression $ax+b$.
3. Appliquer la règle du signe de 'a' :
   • Si $a > 0$ (fonction croissante) : l'expression est négative avant la racine $x_0$, nulle en $x_0$, et positive après la racine.

     x     | -∞           -b/a        +∞
     ------|---------------------------
     ax+b  |       -   0   +
     

   • Si $a < 0$ (fonction décroissante) : l'expression est positive avant la racine $x_0$, nulle en $x_0$, et négative après la racine.

     x     | -∞           -b/a        +∞
     ------|---------------------------
     ax+b  |       +   0   -
     

1. Racine : $3x - 6 = 0 \implies 3x = 6 \implies x = 2$.
2. $a=3$, qui est positif. Donc, l'expression est d'abord négative, puis positive.

   x     | -∞           2         +∞
   ------|-------------------------
   3x-6  |       -   0   +
   

1. Racine : $-2x + 4 = 0 \implies -2x = -4 \implies x = 2$.
2. $a=-2$, qui est négatif. Donc, l'expression est d'abord positive, puis négative.

   x     | -∞           2         +∞
   ------|-------------------------
   -2x+4 |       +   0   -
   

La résolution d'inéquations du premier degré combine la méthode algébrique et l'utilisation du tableau de signes.

1. Méthode algébrique :
   • Isoler la variable en utilisant les propriétés des inégalités.
   • ATTENTION au changement de sens de l'inégalité lors de la multiplication/division par un nombre négatif.

$5x - 3x < 1 + 7$
$2x < 8$
$x < \frac{8}{2}$
$x < 4$
L'ensemble solution est $]-\infty; 4[$.

2. Utilisation du tableau de signes (pour des cas plus complexes, mais applicable ici pour illustrer) : * Ramener l'inéquation à la forme $P(x) > 0$ ou $P(x) < 0$. * Construire le tableau de signes de $P(x)$. * Identifier les intervalles où $P(x)$ a le signe souhaité.

On ramène à $5x - 7 - (3x + 1) < 0$
$5x - 7 - 3x - 1 < 0$
$2x - 8 < 0$
Maintenant, on étudie le signe de $2x - 8$.
Racine : $2x - 8 = 0 \implies x = 4$.
$a=2 > 0$.
```
x     | -∞           4         +∞
------|-------------------------
2x-8  |       -   0   +
```
On cherche $2x - 8 < 0$, donc les valeurs de $x$ pour lesquelles le signe est négatif.
L'ensemble solution est $]-\infty; 4[$.

3. Interprétation des solutions : Toujours écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle et, si demandé, le représenter sur une droite numérique.

• Produit de deux facteurs :
  • $(+) \times (+) = (+)$
  • $(+) \times (-) = (-)$
  • $(-) \times (+) = (-)$
  • $(-) \times (-) = (+)$
• Quotient de deux facteurs :
  • $(+) / (+) = (+)$
  • $(+) / (-) = (-)$
  • $(-) / (+) = (-)$
  • $(-) / (-) = (+)$
• Généralisation :
  • Un produit ou un quotient est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair.
  • Un produit ou un quotient est négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair.
  • Un produit ou un quotient est nul si au moins un des facteurs est nul (pour le quotient, seul le numérateur peut être nul).

Cette méthode est essentielle pour les inéquations plus complexes.

Étapes :

1. Déterminer les racines de chaque facteur : Pour chaque expression du type $ax+b$, trouver la valeur de $x$ qui l'annule.
2. Placer les racines sur la ligne des $x$ : Dessiner une ligne pour $x$ de $-\infty$ à $+\infty$ et y placer toutes les racines trouvées, par ordre croissant.
3. Déterminer le signe de chaque facteur : Dans les lignes suivantes du tableau, pour chaque facteur, indiquer son signe en utilisant la règle du signe de $a$ vue précédemment.
4. Combiner les signes : Dans la dernière ligne, appliquer la règle des signes (produit des signes de chaque facteur) pour trouver le signe de l'expression totale. Indiquer 0 là où l'expression s'annule.

1. Racines :
   • $x-3 = 0 \implies x = 3$
   • $2x+4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$
2. Ordre : $-2 < 3$.
3. Tableau :

   x         | -∞         -2           3         +∞
   ----------|-------------------------------------
   Signe x-3 |     -      |      -     0     +
   ----------|-------------------------------------
   Signe 2x+4|     -      0      +     |     +
   ----------|-------------------------------------
   Signe P(x)|     +      0      -     0     +
   

   • Pour $x-3$, $a=1 > 0$, donc $-$ puis $+$.
   • Pour $2x+4$, $a=2 > 0$, donc $-$ puis $+$.
   • Pour le produit $P(x)=(x-3)(2x+4)$ :
     • Sur $]-\infty; -2[$ : $(-) \times (-) = (+)$
     • En $x=-2$ : $0 \times (-2) = 0$
     • Sur $]-2; 3[$ : $(-) \times (+) = (-)$
     • En $x=3$ : $(0) \times (10) = 0$
     • Sur $]3; +\infty[$ : $(+) \times (+) = (+)$

La méthode est similaire à celle du produit, mais avec une précaution supplémentaire pour les dénominateurs.

Étapes :

1. Déterminer les racines du numérateur et du dénominateur.
2. Identifier les valeurs interdites (V.I.) : Ce sont les valeurs de $x$ qui annulent le dénominateur. À ces valeurs, le quotient n'est pas défini, on les indique par une double barre (//) dans le tableau.
3. Placer toutes les racines et V.I. sur la ligne des $x$ par ordre croissant.
4. Déterminer le signe de chaque facteur (numérateur et dénominateur).
5. Combiner les signes : Appliquer la règle des signes pour le quotient. Indiquer 0 là où le numérateur est nul et // là où le dénominateur est nul.

1. Racines :
   • Numérateur : $x+1 = 0 \implies x = -1$
   • Dénominateur : $x-2 = 0 \implies x = 2$
2. Valeur Interdite : $x=2$ (le dénominateur ne peut pas être nul).
3. Ordre : $-1 < 2$.
4. Tableau :

   x         | -∞         -1           2         +∞
   ----------|-------------------------------------
   Signe x+1 |     -      0      +     |     +
   ----------|-------------------------------------
   Signe x-2 |     -      |      -     //    +
   ----------|-------------------------------------
   Signe Q(x)|     +      0      -     //    +
   

   • Pour $x+1$, $a=1 > 0$, donc $-$ puis $+$.
   • Pour $x-2$, $a=1 > 0$, donc $-$ puis $+$.
   • Pour le quotient $Q(x)=\frac{x+1}{x-2}$ :
     • Sur $]-\infty; -1[$ : $(-) / (-) = (+)$
     • En $x=-1$ : $0 / (-3) = 0$
     • Sur $]-1; 2[$ : $(+) / (-) = (-)$
     • En $x=2$ : $(3) / 0$ est indéfini (//)
     • Sur $]2; +\infty[$ : $(+) / (+) = (+)$

1. Factorisation si nécessaire : L'expression $P(x)$ doit être sous forme factorisée (produit de facteurs du premier degré ou de trinômes dont on connaît le signe). Si ce n'est pas le cas, il faut la factoriser (par exemple, $x^2-4 = (x-2)(x+2)$).
2. Construction du tableau de signes : Suivre les étapes pour un produit (vue précédemment).
3. Identification des intervalles solutions : Une fois le tableau complété, lire la dernière ligne pour trouver les intervalles où l'expression a le signe désiré.
   • Si $P(x) > 0$, on prend les intervalles où le signe est $+$.
   • Si $P(x) \ge 0$, on prend les intervalles où le signe est $+$, en incluant les racines (crochets fermés).
   • Si $P(x) < 0$, on prend les intervalles où le signe est $-$.
   • Si $P(x) \le 0$, on prend les intervalles où le signe est $-$, en incluant les racines (crochets fermés).

1. L'expression est déjà factorisée.
2. Racines : $x=1$ et $x=-2$.
3. Tableau :

   x         | -∞         -2           1         +∞
   ----------|-------------------------------------
   Signe x-1 |     -      |      -     0     +
   ----------|-------------------------------------
   Signe x+2 |     -      0      +     |     +
   ----------|-------------------------------------
   Signe P(x)|     +      0      -     0     +
   

4. On cherche $P(x) \ge 0$, donc les intervalles où le signe est $+$ ou $0$. L'ensemble solution est $]-\infty; -2] \cup [1; +\infty[$.

1. Recherche des valeurs interdites : Avant de commencer, identifier les valeurs de $x$ qui annulent le dénominateur $Q(x)$. Ces valeurs seront toujours exclues de l'ensemble solution.
2. Construction du tableau de signes combiné : Suivre les étapes pour un quotient (vue précédemment).
3. Exclusion des valeurs interdites des solutions : Lors de l'identification des intervalles solutions, s'assurer que les crochets sont toujours ouverts autour des valeurs interdites (même si l'inéquation est $\ge$ ou $\le$).

1. Valeur interdite : $x+1=0 \implies x=-1$.
2. Racines (numérateur) : $x-3=0 \implies x=3$.
3. Tableau :

   x         | -∞         -1           3         +∞
   ----------|-------------------------------------
   Signe x-3 |     -      |      -     0     +
   ----------|-------------------------------------
   Signe x+1 |     -      0      +     |     +
   ----------|-------------------------------------
   Signe Q(x)|     +      //     -     0     +
   

4. On cherche $Q(x) < 0$, donc l'intervalle où le signe est $-$. L'ensemble solution est $]-1; 3[$. Notez que $-1$ est exclu à cause de la valeur interdite, et $3$ est exclu car l'inégalité est stricte ($<0$).

Si l'inéquation n'est pas de la forme $P(x) > 0$ ou $P(x) < 0$, la première étape est de la ramener à cette forme.

1. Ramener l'inéquation à zéro : Toujours déplacer tous les termes d'un côté de l'inégalité pour obtenir une expression comparée à zéro.

On ne peut pas multiplier par $x-2$ sans connaître son signe !
Il faut faire : $\frac{2x+1}{x-2} - 3 \le 0$.

2. Mise au même dénominateur (si rationnel) : Si l'expression est rationnelle (avec des fractions), mettre tout sur un dénominateur commun pour obtenir une seule fraction. $\frac{2x+1}{x-2} - \frac{3(x-2)}{x-2} \le 0$ $\frac{2x+1 - (3x-6)}{x-2} \le 0$ $\frac{2x+1 - 3x + 6}{x-2} \le 0$ $\frac{-x+7}{x-2} \le 0$

3. Application de la méthode du tableau de signes : Maintenant que l'inéquation est sous la forme $\frac{P(x)}{Q(x)} \le 0$, on peut appliquer la méthode du tableau de signes pour les quotients.
   • Valeur interdite : $x-2=0 \implies x=2$.
   • Racine numérateur : $-x+7=0 \implies x=7$.
   • Tableau :

     x         | -∞           2           7         +∞
     ----------|-------------------------------------
     Signe -x+7|     +      |      +     0     -
     ----------|-------------------------------------
     Signe x-2 |     -      //     +     |     +
     ----------|-------------------------------------
     Signe Q(x)|     -      //     +     0     -
     

   • On cherche $Q(x) \le 0$, donc les intervalles où le signe est $-$ ou $0$.
   • L'ensemble solution est $]-\infty; 2[ \cup [7; +\infty[$. Notez que $2$ est exclu (valeur interdite) et $7$ est inclus (car $\le 0$).

Un trinôme du second degré est une expression de la forme $ax^2 + bx + c$, avec $a \ne 0$. La courbe représentative de la fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$ est une parabole.

Pour étudier le signe d'un trinôme, on utilise le discriminant $\Delta$ : $\Delta = b^2 - 4ac$.

Le signe de $\Delta$ détermine le nombre de racines (points où la parabole coupe l'axe des abscisses) :

• Si $\Delta > 0$ : Le trinôme a deux racines réelles distinctes $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points.
• Si $\Delta = 0$ : Le trinôme a une racine réelle double $x_0 = \frac{-b}{2a}$. La parabole touche l'axe des abscisses en un seul point.
• Si $\Delta < 0$ : Le trinôme n'a pas de racine réelle. La parabole ne coupe pas (et ne touche pas) l'axe des abscisses.

Le signe de $ax^2 + bx + c$ dépend du signe de $a$ et du discriminant $\Delta$.

1. Cas $\Delta > 0$ (deux racines $x_1 < x_2$) :

   • Le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines.
   • Le trinôme est du signe opposé à $a$ entre les racines.
   • Il est nul en $x_1$ et $x_2$.

   x     | -∞           x1           x2         +∞
   ------|-------------------------------------------
   ax²+bx+c| Signe de a   0  Signe opposé à a  0  Signe de a
   

   • Exemple : $x^2 - 4x + 3$. $a=1>0$. Racines $x_1=1, x_2=3$.

     x     | -∞           1            3         +∞
     ------|-------------------------------------------
     x²-4x+3|     +      0      -     0     +
     

2. Cas $\Delta = 0$ (une racine double $x_0$) :

   • Le trinôme est toujours du signe de $a$, sauf en $x_0$ où il est nul.

   x     | -∞           x0         +∞
   ------|-----------------------------
   ax²+bx+c| Signe de a   0  Signe de a
   

   • Exemple : $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. $a=1>0$. Racine $x_0=2$.

     x     | -∞           2         +∞
     ------|---------------------------
     x²-4x+4|     +      0     +
     

3. Cas $\Delta < 0$ (pas de racine réelle) :

   • Le trinôme est toujours du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$. Il ne s'annule jamais et ne change jamais de signe.

   x     | -∞                           +∞
   ------|--------------------------------
   ax²+bx+c|         Signe de a
   

   • Exemple : $x^2 + 1$. $a=1>0$. $\Delta = 0^2 - 4(1)(1) = -4 < 0$.

     x     | -∞                           +∞
     ------|--------------------------------
     x²+1  |              +
     

Pour résoudre une inéquation du second degré, on applique la règle du signe du trinôme.

1. Ramener l'inéquation à la forme $ax^2+bx+c > 0$ (ou $<0, \le 0, \ge 0$) : S'il y a des termes des deux côtés, tout regrouper d'un seul côté.

2. Calculer le discriminant $\Delta$ et les racines (si elles existent) :

   • $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$
   • $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

3. Appliquer la règle du signe du trinôme :

   • Si $\Delta > 0$ :
     • Si $a>0$, le trinôme est positif à l'extérieur des racines, négatif entre.
     • Si $a<0$, le trinôme est négatif à l'extérieur des racines, positif entre.
   • Si $\Delta = 0$ : Le trinôme est toujours du signe de $a$ (sauf en la racine double où il est nul).
   • Si $\Delta < 0$ : Le trinôme est toujours du signe de $a$.

4. Déterminer les intervalles solutions : En fonction du signe recherché dans l'inéquation ($>0$, $<0$, etc.), choisir les intervalles appropriés.

1. L'inéquation est déjà sous la bonne forme. $a=1, b=-1, c=-6$.
2. $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$. $\sqrt{\Delta} = 5$. Racines : $x_1 = \frac{1-5}{2} = -2$, $x_2 = \frac{1+5}{2} = 3$.
3. $a=1 > 0$ (positif). $\Delta > 0$. Donc, positif à l'extérieur des racines, négatif entre.
4. Tableau de signes (ou directement par la règle) :

   x     | -∞           -2           3         +∞
   ------|-------------------------------------------
   x²-x-6|     +      0      -     0     +
   

   On cherche $x^2 - x - 6 > 0$, donc les intervalles où le signe est $+$. L'ensemble solution est $]-\infty; -2[ \cup ]3; +\infty[$.

1. $a=-2, b=4, c=-2$.
2. $\Delta = 4^2 - 4(-2)(-2) = 16 - 16 = 0$. Racine double : $x_0 = \frac{-4}{2(-2)} = \frac{-4}{-4} = 1$.
3. $a=-2 < 0$ (négatif). $\Delta = 0$. Le trinôme est toujours du signe de $a$, sauf en $x_0=1$ où il est nul. Donc, $-2x^2 + 4x - 2$ est toujours négatif ou nul.
4. On cherche $-2x^2 + 4x - 2 \ge 0$. La seule valeur pour laquelle il est égal à 0 est $x=1$. Pour toutes les autres valeurs, il est négatif. L'ensemble solution est $\{1\}$.

1. $a=1, b=1, c=1$.
2. $\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$.
3. $a=1 > 0$ (positif). $\Delta < 0$. Le trinôme est toujours du signe de $a$. Donc, $x^2 + x + 1$ est toujours positif sur $\mathbb{R}$.
4. On cherche $x^2 + x + 1 < 0$. Puisque l'expression est toujours positive, elle n'est jamais strictement négative. L'ensemble solution est $\emptyset$ (l'ensemble vide).

La représentation graphique de la parabole peut aider à visualiser la règle du signe. Si $a>0$, la parabole est ouverte vers le haut. Si $a<0$, elle est ouverte vers le bas. Les racines sont les points d'intersection avec l'axe des $x$.