Se constituer un repertoire de fonctions de reference

En mathématiques, une fonction est un processus qui, à chaque valeur d'entrée (appelée antécédent), associe une et une seule valeur de sortie (appelée image). C'est comme une machine : tu lui donnes un nombre, et elle te renvoie un autre nombre, toujours le même pour la même entrée.

• Variable d'entrée (antécédent) : C'est le nombre que l'on donne à la fonction. On le note souvent $x$.
• Variable de sortie (image) : C'est le nombre que la fonction produit. On le note souvent $y$ ou $f(x)$.
• Relation unique : C'est la règle d'or d'une fonction. Pour un même antécédent, il n'y a qu'une seule image possible. Par exemple, si $f(x) = x^2$, l'antécédent 2 aura toujours pour image 4, jamais -4.

Une fonction peut être présentée de plusieurs manières :

1. Formule algébrique : C'est l'expression mathématique qui décrit la relation.
   • Exemple : $f(x) = 2x + 3$ ou $g(x) = x^2 - 1$.
2. Tableau de valeurs : Il liste des couples (antécédent, image).
   • Exemple pour $f(x) = 2x + 3$ :

     $x$ (antécédent)	$f(x)$ (image)
     0	3
     1	5
     -2	-1

3. Représentation graphique : C'est le dessin de la fonction dans un repère. Chaque point de la courbe a pour coordonnées $(x, f(x))$.
   • Le graphique permet de visualiser rapidement le comportement de la fonction (où elle monte, où elle descend, où elle coupe les axes).
4. Programme de calcul : C'est une suite d'instructions qui décrit comment calculer l'image à partir de l'antécédent.
   • Exemple pour $f(x) = 2x + 3$ :
     1. Choisir un nombre.
     2. Le multiplier par 2.
     3. Ajouter 3 au résultat.

• $f(x)$ : Se lit "f de x". C'est la notation standard pour l'image de $x$ par la fonction $f$. Si $f(x) = x^2$, alors $f(3) = 3^2 = 9$. Ici, 3 est l'antécédent, et 9 est l'image.
• Ensemble de définition ($\mathcal{D}_f$ ou $D_f$) : C'est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles le calcul de $f(x)$ est possible. Pour la plupart des fonctions que tu verras, ce sera $\mathbb{R}$ (tous les nombres réels), mais il y a des exceptions (division par zéro, racine carrée d'un nombre négatif).
  • Exemple : Pour $f(x) = \frac{1}{x}$, $x$ ne peut pas être 0, donc $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^*$ (tous les réels sauf 0).
• Image et antécédent :
  • L'image de $a$ par la fonction $f$ est $f(a)$. Elle est unique.
  • Un antécédent de $b$ par la fonction $f$ est une valeur $x$ telle que $f(x) = b$. Il peut y avoir zéro, un ou plusieurs antécédents pour une même image.
    • Exemple : pour $f(x) = x^2$, l'image de 2 est 4. L'image de -2 est aussi 4. Donc 4 a deux antécédents : 2 et -2.
• Courbe représentative : C'est l'ensemble de tous les points $(x, f(x))$ dans un repère. On la note souvent $\mathcal{C}_f$.

Une fonction affine est une fonction $f$ qui peut s'écrire sous la forme : $f(x) = ax + b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels fixés.

• Coefficient directeur (pente) : Le nombre $a$. Il indique la direction et l'inclinaison de la droite.
  • Si $a > 0$, la fonction est croissante.
  • Si $a < 0$, la fonction est décroissante.
  • Si $a = 0$, la fonction est constante (cas particulier).
• Ordonnée à l'origine : Le nombre $b$. C'est la valeur de $f(0)$, c'est-à-dire l'endroit où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe $y$).
• Linéarité : Les fonctions affines sont les plus simples après les fonctions constantes. Elles décrivent des relations où la variation de la variable de sortie est proportionnelle à la variation de la variable d'entrée.

La représentation graphique d'une fonction affine est toujours une droite.

• Tracé à partir de deux points : Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux de ses points. On peut choisir deux valeurs de $x$, calculer leurs images $f(x)$, puis placer les points $(x, f(x))$ dans le repère et les relier.
  • Exemple : $f(x) = 2x + 1$
    • Si $x=0$, $f(0) = 2(0) + 1 = 1$. Point $(0, 1)$.
    • Si $x=1$, $f(1) = 2(1) + 1 = 3$. Point $(1, 3)$.
    • On trace la droite passant par $(0,1)$ et $(1,3)$.
• Interprétation graphique de $a$ et $b$ :
  • $b$ est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées (axe $y$).
  • $a$ est la pente. Si tu te déplaces de 1 unité vers la droite sur l'axe des abscisses, tu montes (si $a>0$) ou tu descends (si $a<0$) de $a$ unités sur l'axe des ordonnées.

• Fonction croissante/décroissante :
  • Si $a > 0$, la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. La droite "monte" de gauche à droite.
  • Si $a < 0$, la fonction est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. La droite "descend" de gauche à droite.
  • Si $a = 0$, la fonction est constante ($f(x) = b$). La droite est horizontale.
• Tableau de variations :
  • Pour $a > 0$ :

    $x$	$-\infty$ $+\infty$
    $f(x)$	$\nearrow$

  • Pour $a < 0$ :

    $x$	$-\infty$ $+\infty$
    $f(x)$	$\searrow$

• Signe de $ax+b$ : Pour trouver le signe de $ax+b$, on cherche la valeur de $x$ pour laquelle $ax+b = 0$. C'est $x = -\frac{b}{a}$.
  • Si $a > 0$, $ax+b$ est négatif avant $-\frac{b}{a}$ et positif après.
  • Si $a < 0$, $ax+b$ est positif avant $-\frac{b}{a}$ et négatif après.
  • Tableau de signes (pour $a>0$): | $x$ | $-\infty$ $-\frac{b}{a}$ $+\infty$ | | :-------- | :---------: :--------------: :-------: | | $ax+b$ | $-$ 0 $+$ |

• Fonction linéaire : C'est une fonction affine où $b = 0$. Sa forme est $f(x) = ax$.
  • Sa représentation graphique est une droite qui passe toujours par l'origine du repère $(0,0)$.
  • Elle modélise des situations de proportionnalité.
• Fonction constante : C'est une fonction affine où $a = 0$. Sa forme est $f(x) = b$.
  • Sa représentation graphique est une droite horizontale (parallèle à l'axe des abscisses) passant par le point $(0, b)$.

La fonction carré est définie par : $f(x) = x^2$

• Domaine de définition : $\mathbb{R}$ (tous les nombres réels). On peut toujours élever un nombre au carré.
• Calcul de $x^2$ : Pour trouver l'image d'un nombre $x$, on le multiplie par lui-même.
  • Exemple : $f(3) = 3^2 = 9$. $f(-2) = (-2)^2 = 4$.
• Résolution de $x^2 = k$ :
  • Si $k > 0$, l'équation $x^2 = k$ a deux solutions : $x = \sqrt{k}$ et $x = -\sqrt{k}$.
  • Si $k = 0$, l'équation $x^2 = 0$ a une seule solution : $x = 0$.
  • Si $k < 0$, l'équation $x^2 = k$ n'a aucune solution réelle (car un carré est toujours positif ou nul).

La représentation graphique de la fonction carré est une courbe appelée parabole.

• Forme de la parabole : Elle a une forme en "U".
• Sommet $(0,0)$ : Le point le plus bas de la parabole est l'origine du repère $(0,0)$. C'est le minimum de la fonction.
• Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : La parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Cela signifie que $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. On dit que la fonction carré est une fonction paire.

• Décroissante sur $]-\infty; 0]$ : Pour les nombres négatifs, plus $x$ est petit (grand en valeur absolue), plus $x^2$ est grand.
  • Exemple : $(-3)^2 = 9$, $(-2)^2 = 4$. De -3 à -2, la fonction "monte".
• Croissante sur $[0; +\infty[$ : Pour les nombres positifs, plus $x$ est grand, plus $x^2$ est grand.
  • Exemple : $2^2 = 4$, $3^2 = 9$.
• Toujours positive ou nulle : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 \ge 0$. La parabole est toujours au-dessus ou touche l'axe des abscisses.
• Tableau de variations : | $x$ | $-\infty$ 0 $+\infty$ | | :------- | :----------------: :--------: :-------: | | $f(x)$ | $\searrow$ 0 $\nearrow$ |

• Ordre et fonction carré :
  • Si $0 \le a < b$, alors $a^2 < b^2$. (Sur $[0; +\infty[$, la fonction carré conserve l'ordre).
  • Si $a < b \le 0$, alors $a^2 > b^2$. (Sur $]-\infty; 0]$, la fonction carré inverse l'ordre).
  • Exemple : $2 < 3 \implies 2^2 < 3^2$ (4 < 9).
  • Exemple : $-3 < -2 \implies (-3)^2 > (-2)^2$ (9 > 4).
• Inégalités avec $x^2$ :
  • $x^2 < k$ (avec $k > 0$) $\iff -\sqrt{k} < x < \sqrt{k}$.
  • $x^2 > k$ (avec $k > 0$) $\iff x < -\sqrt{k}$ ou $x > \sqrt{k}$.

La fonction inverse est définie par : $f(x) = \frac{1}{x}$

• Domaine de définition : On ne peut pas diviser par zéro. Donc $x$ ne peut pas être égal à 0.
  • $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$.
• Valeur interdite : $x=0$ est la valeur interdite.

La représentation graphique de la fonction inverse est une courbe appelée hyperbole. Elle est composée de deux branches distinctes et séparées.

• Deux branches : Une branche dans le premier quadrant (pour $x>0$) et une autre dans le troisième quadrant (pour $x<0$).
• Asymptotes : Les axes de coordonnées sont des asymptotes. Cela signifie que la courbe s'approche de plus en plus des axes sans jamais les toucher.
  • L'axe des ordonnées ($x=0$) est une asymptote verticale.
  • L'axe des abscisses ($y=0$) est une asymptote horizontale.
• Symétrie par rapport à l'origine : L'hyperbole est symétrique par rapport à l'origine du repère $(0,0)$. Cela signifie que $f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$. On dit que la fonction inverse est une fonction impaire.

• Décroissante sur $]-\infty; 0[$ : Sur cet intervalle, si $x$ augmente, $1/x$ diminue.
• Décroissante sur $]0; +\infty[$ : Sur cet intervalle aussi, si $x$ augmente, $1/x$ diminue.
  • Attention : La fonction n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ car elle n'est pas définie en 0. Par exemple, $-1 < 1$ mais $f(-1) = -1$ et $f(1) = 1$. L'ordre n'est pas conservé sur l'ensemble du domaine.
• Signe de $1/x$ :
  • Si $x > 0$, alors $1/x > 0$.
  • Si $x < 0$, alors $1/x < 0$.
• Tableau de variations : | $x$ | $-\infty$ 0 $+\infty$ | | :------- | :----------------: :--------: :-------: | | $f(x)$ | $\searrow$ $||$ $\searrow$ | (Les doubles barres indiquent une valeur interdite)

• Ordre et fonction inverse :
  • Si $0 < a < b$, alors $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$. (Sur $]0; +\infty[$, la fonction inverse inverse l'ordre).
  • Si $a < b < 0$, alors $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$. (Sur $]-\infty; 0[$, la fonction inverse inverse l'ordre).
  • Exemple : $2 < 3 \implies \frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ (0.5 > 0.33).
  • Exemple : $-3 < -2 \implies -\frac{1}{3} > -\frac{1}{2}$ (-0.33 > -0.5).
• Inégalités avec $1/x$ : La résolution d'inéquations avec $1/x$ nécessite de faire attention au signe de $x$ et de multiplier par $x$ (qui change le sens de l'inégalité si $x<0$). Il est souvent plus simple de ramener l'inéquation à zéro et d'étudier le signe d'une fraction.

La fonction racine carrée est définie par : $f(x) = \sqrt{x}$

• Domaine de définition : On ne peut calculer la racine carrée que d'un nombre positif ou nul.
  • $\mathcal{D}_f = [0; +\infty[$.
• Valeurs positives : La fonction racine carrée ne renvoie jamais de nombre négatif. $\sqrt{x} \ge 0$.

La représentation graphique de la fonction racine carrée est une courbe qui ressemble à la moitié supérieure d'une parabole "couchée" sur le côté.

• Courbe partant de l'origine : Le point de départ est $(0,0)$.
• Croissance lente : La courbe monte, mais de moins en moins vite à mesure que $x$ augmente.
• Forme caractéristique : Elle ne se trouve que dans le premier quadrant.

• Toujours croissante sur son domaine : Pour tout $a, b \in [0; +\infty[$ : si $0 \le a < b$, alors $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.
  • Exemple : $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$.
• Toujours positive ou nulle : Pour tout $x \in [0; +\infty[$, $\sqrt{x} \ge 0$. La courbe est toujours au-dessus ou touche l'axe des abscisses.
• Tableau de variations : | $x$ | 0 $+\infty$ | | :------- | :--------: :-------: | | $f(x)$ | 0 $\nearrow$ |

• Ordre et fonction racine carrée : Si $0 \le a < b$, alors $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.
  • La fonction racine carrée conserve l'ordre sur son domaine de définition.
• Inégalités avec $\sqrt{x}$ :
  • Pour $k \ge 0$ : $\sqrt{x} < k \iff 0 \le x < k^2$.
  • Pour $k \ge 0$ : $\sqrt{x} > k \iff x > k^2$.
  • Si $k < 0$, l'inéquation $\sqrt{x} < k$ n'a pas de solution (car $\sqrt{x}$ est toujours positif).
  • Si $k < 0$, l'inéquation $\sqrt{x} > k$ a pour solution l'ensemble de définition de $\sqrt{x}$, c'est-à-dire $[0;+\infty[$.

Il est essentiel de connaître les propriétés de base de chaque fonction de référence :

• Parité :
  • Paire : $f(-x) = f(x)$. La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. (Ex: $x^2$)
  • Impaire : $f(-x) = -f(x)$. La courbe est symétrique par rapport à l'origine. (Ex: $1/x$, $ax$)
  • La plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires.

La représentation graphique est un outil puissant pour comprendre une fonction.

• Détermination d'images/antécédents :
  • Pour trouver l'image de $x_0$, on se place sur $x_0$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée correspondante sur l'axe des ordonnées.
  • Pour trouver les antécédents de $y_0$, on se place sur $y_0$ sur l'axe des ordonnées, on trace une horizontale jusqu'à la courbe, puis on lit les abscisses correspondantes sur l'axe des abscisses.
• Résolution graphique d'équations/inéquations :
  • $f(x) = k$ : chercher les points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec la droite horizontale $y=k$. Les abscisses de ces points sont les solutions.
  • $f(x) < k$ : identifier les parties de la courbe qui sont en dessous de la droite $y=k$. Les abscisses correspondantes forment l'ensemble des solutions.
• Tableau de signes et de variations : On peut déduire le tableau de signes (quand la courbe est au-dessus/en-dessous de l'axe des abscisses) et le tableau de variations (quand la courbe monte/descend) directement de la lecture graphique.

Les fonctions de référence sont utilisées pour modéliser des situations concrètes dans de nombreux domaines : physique, économie, biologie, etc.

• Choix de la fonction appropriée :
  • Proportionnalité : fonction linéaire ($f(x)=ax$).
  • Relation linéaire avec un coût fixe/initial : fonction affine ($f(x)=ax+b$).
  • Phénomènes paraboliques (trajectoires, aires) : fonction carré ($f(x)=x^2$).
  • Relations inverses (temps/vitesse, pression/volume) : fonction inverse ($f(x)=1/x$).
  • Croissance graduelle à partir de zéro, relations géométriques (côtés/aires) : fonction racine carrée ($f(x)=\sqrt{x}$).
• Interprétation des résultats : Une fois le problème modélisé et résolu mathématiquement, il est crucial de traduire les résultats dans le contexte du problème initial. Par exemple, une solution négative pour une longueur n'a pas de sens physique.

En maîtrisant ces fonctions de référence, tu construis une base solide pour aborder la suite de ton parcours en mathématiques !