La description d'un fluide au repos

Un fluide est une substance qui n'a pas de forme propre et qui peut s'écouler. C'est l'un des états de la matière, au même titre que les solides. Les fluides regroupent les liquides et les gaz.

Propriétés clés des fluides :

• Absence de forme propre : Un fluide prend la forme du récipient qui le contient. Par exemple, l'eau dans un verre prend la forme du verre, et l'air dans un ballon prend la forme du ballon.
• Déformabilité : Un fluide peut être déformé indéfiniment sous l'action d'une contrainte, même très faible. Il ne présente pas de rigidité.
• Mobilité des molécules : Les molécules (ou atomes) qui composent un fluide ne sont pas liées rigidement entre elles. Elles peuvent se déplacer les unes par rapport aux autres.
  • Dans un liquide : Les molécules sont proches mais peuvent glisser les unes sur les autres. Le volume est quasi constant.
  • Dans un gaz : Les molécules sont très éloignées et se déplacent de manière désordonnée. Le volume n'est pas constant et dépend de la pression et de la température.

La distinction entre fluides compressibles et incompressibles est cruciale pour comprendre leur comportement.

• Fluides incompressibles :

  • Leur volume ne varie pas significativement sous l'effet d'une variation de pression.
  • La masse volumique ($\rho$) de ces fluides est considérée comme constante.
  • Les liquides sont généralement considérés comme incompressibles dans la plupart des applications courantes. Par exemple, l'eau ou l'huile.
  • C'est une simplification très utile en mécanique des fluides.

• Fluides compressibles :

  • Leur volume varie de manière significative sous l'effet d'une variation de pression.
  • La masse volumique ($\rho$) de ces fluides n'est pas constante et dépend de la pression et de la température.
  • Les gaz sont des fluides compressibles par excellence. L'air, le dioxygène, le gaz naturel sont des exemples.
  • La compressibilité des gaz est utilisée, par exemple, dans les bonbonnes de gaz sous pression.

Tableau comparatif :

Pour simplifier l'étude des fluides, on introduit parfois la notion de "fluide parfait".

• Fluide réel :

  • Possède une viscosité. La viscosité est une mesure de la résistance d'un fluide à l'écoulement (sa "épaisseur"). Un fluide visqueux s'écoule lentement (ex: miel, huile moteur épaisse).
  • Présente des frottements internes (entre les couches de fluide) et des frottements avec les parois du récipient. Ces frottements dissipent de l'énergie.
  • Tous les fluides existants sont des fluides réels.

• Fluide parfait :

  • C'est un modèle théorique et simplifié de fluide.
  • Il est caractérisé par une viscosité nulle. Cela signifie qu'il ne présente aucun frottement interne ni frottement avec les parois.
  • Il est également considéré comme incompressible.
  • Ce modèle est très utile pour simplifier les calculs et comprendre les principes fondamentaux de la mécanique des fluides, même s'il ne correspond pas exactement à la réalité.
  • Limites du modèle : Bien que l'eau et l'air puissent être approximés comme des fluides parfaits dans certaines conditions (par exemple, pour des écoulements lents), il est essentiel de se rappeler que cette modélisation a ses limites et ne convient pas pour étudier des phénomènes comme la turbulence ou les pertes d'énergie par frottement.

La pression (P) est une grandeur physique fondamentale pour décrire l'état d'un fluide. Elle quantifie la force exercée par le fluide perpendiculairement à une surface.

• Définition : La pression est le rapport de la force (F) exercée perpendiculairement à une surface par l'aire (S) de cette surface. $P = \frac{F}{S}$

  • $F$ est la force pressante en Newtons (N).
  • $S$ est l'aire de la surface en mètres carrés ($m^2$).
  • $P$ est la pression.

• Unités de pression :

  • L'unité légale du Système International (SI) est le Pascal (Pa). $1 \text{ Pa} = 1 \text{ N/m}^2$
  • Cependant, le Pascal est une unité relativement petite. D'autres unités sont couramment utilisées :
    • Hectopascal (hPa) : Utilisé en météorologie. $1 \text{ hPa} = 100 \text{ Pa}$. La pression atmosphérique est souvent indiquée en hPa.
    • Bar : Très utilisé en industrie. $1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa} = 1000 \text{ hPa}$.
    • Atmosphère (atm) : Unité historique équivalente à la pression atmosphérique moyenne au niveau de la mer. $1 \text{ atm} \approx 1,013 \times 10^5 \text{ Pa} \approx 1,013 \text{ bar}$.
    • Millimètre de mercure (mmHg) ou Torr : Utilisé en médecine (tension artérielle). $1 \text{ atm} \approx 760 \text{ mmHg}$.

La pression est mesurée à l'aide d'instruments spécifiques.

• Baromètre : Appareil qui mesure la pression atmosphérique. Il peut être à mercure (historique, comme l'expérience de Torricelli) ou anéroïde (à capsule métallique déformable).
• Manomètre : Appareil qui mesure la pression d'un fluide dans un récipient fermé ou un système. Il peut mesurer :
  • La pression relative (ou manométrique) : C'est la différence entre la pression absolue et la pression atmosphérique. Elle peut être positive ou négative (dépression). Souvent, les manomètres indiquent une pression relative par rapport à l'atmosphère ambiante.
  • La pression absolue : C'est la pression réelle par rapport au vide parfait (pression nulle).
• Capteurs de pression électroniques : Ils convertissent la pression en un signal électrique. Ils sont très précis et utilisés dans de nombreuses applications industrielles et scientifiques.

La pression atmosphérique est la pression exercée par le poids de la colonne d'air au-dessus d'une surface donnée.

• Origine : L'atmosphère terrestre est une couche de gaz qui a une masse. Sous l'effet de la gravité, cette masse exerce une force sur la surface de la Terre.
• Valeur typique : Au niveau de la mer, la pression atmosphérique "normale" est d'environ $1,013 \times 10^5 \text{ Pa}$ (ou 1013 hPa ou 1 atm).
• Variation avec l'altitude : La pression atmosphérique diminue avec l'altitude. En effet, en montant en altitude, la colonne d'air au-dessus de nous est moins haute, et donc son poids est moindre. C'est pourquoi il est plus difficile de respirer en haute montagne.
• Expérience de Torricelli : Au XVIIe siècle, Evangelista Torricelli a démontré l'existence de la pression atmosphérique en utilisant un tube rempli de mercure renversé dans une cuve de mercure. Il a observé que le mercure dans le tube s'arrêtait à une hauteur d'environ 76 cm, équilibrant ainsi la pression atmosphérique.

Dans un fluide au repos (appelé aussi fluide hydrostatique), la pression présente des caractéristiques importantes :

• Isotropie de la pression : En un point donné d'un fluide au repos, la pression s'exerce identiquement dans toutes les directions. Si vous plongez une sonde de pression dans l'eau, elle indiquera la même valeur quelle que soit son orientation.
• Force pressante : La force exercée par la pression est toujours perpendiculaire à la surface sur laquelle elle s'applique.
• Application : Imaginez un objet immergé dans un fluide. Chaque petite portion de la surface de l'objet subit une force pressante qui lui est perpendiculaire. C'est la somme de ces forces qui peut, par exemple, générer la poussée d'Archimède.

La loi fondamentale de l'hydrostatique décrit comment la pression varie avec la profondeur dans un fluide au repos.

• Observations :

  • En plongeant un capteur de pression sous l'eau, on observe que la pression augmente avec la profondeur.
  • Si l'on change de liquide (par exemple, de l'eau à l'huile), la variation de pression pour une même profondeur est différente. Cela dépend de la masse volumique du fluide.
  • La pression dépend aussi de la gravité (accélération de la pesanteur, g). Sur la Lune, la pression augmenterait moins vite avec la profondeur.

• Expériences simples :

  • Un réservoir percé de trous à différentes hauteurs : l'eau gicle plus loin par le trou le plus bas, indiquant une pression plus forte.
  • Un tube en U contenant deux liquides non miscibles : la différence de hauteur des colonnes de liquide est liée à la différence de leurs masses volumiques.

Considérons un fluide incompressible et homogène de masse volumique $\rho$ au repos. Soit $P_0$ la pression à la surface libre du fluide (par exemple, la pression atmosphérique).

La pression $P$ à une profondeur $h$ (ou $z$ si on prend l'axe $Oz$ dirigé vers le bas avec $z=0$ à la surface) est donnée par la relation :

$P = P_0 + \rho \cdot g \cdot h$

Où :

• $P$ est la pression à la profondeur $h$ (en Pa).
• $P_0$ est la pression à la surface libre du fluide (en Pa).
• $\rho$ (rhô) est la masse volumique du fluide (en $kg/m^3$). Pour l'eau, $\rho \approx 1000 \text{ kg/m}^3$.
• $g$ est l'accélération de la pesanteur (environ $9,81 \text{ N/kg}$ ou $m/s^2$ sur Terre).
• $h$ est la profondeur (ou la hauteur de la colonne de fluide au-dessus du point considéré) (en m).

Points importants :

• Cette formule montre que la pression augmente linéairement avec la profondeur.
• La pression à une même profondeur est la même, quelle que soit la forme du récipient (paradoxe hydrostatique).

Cette loi a de nombreuses applications concrètes :

• Calcul de pression sous l'eau : Un plongeur à 10 mètres de profondeur subit une pression d'environ 2 atmosphères (1 atm de l'air + 1 atm due aux 10 m d'eau).
  • Exemple : $P = 101325 \text{ Pa} + 1000 \text{ kg/m}^3 \times 9,81 \text{ m/s}^2 \times 10 \text{ m} \approx 200000 \text{ Pa} \approx 2 \text{ bar}$.
• Niveau de liquide dans un tube en U : Permet de mesurer des différences de pression ou de comparer des masses volumiques. Si deux liquides non miscibles sont dans un tube en U, la différence de hauteur de leurs interfaces est directement liée à leurs masses volumiques.
• Barrages : Les barrages sont construits avec une base beaucoup plus épaisse que le sommet car la pression de l'eau augmente considérablement avec la profondeur, exerçant une force énorme sur la partie inférieure de la structure.
• Plongée sous-marine : Comprendre la variation de pression est vital pour la sécurité des plongeurs (gestions des paliers de décompression, risques de barotraumatismes).

Le principe de Pascal, formulé par Blaise Pascal au XVIIe siècle, est fondamental pour comprendre le comportement des fluides incompressibles confinés.

• Énoncé : "Dans un fluide incompressible au repos et en équilibre, toute variation de pression appliquée en un point se transmet intégralement et instantanément à tous les autres points du fluide, ainsi qu'aux parois du récipient qui le contient."

• Conditions :

  • Le fluide doit être incompressible (généralement un liquide).
  • Le fluide doit être au repos (statique).
  • Le fluide doit être confiné dans une enceinte fermée.

• Conséquence : Si vous changez la pression en un endroit du fluide (par exemple, en appuyant sur un piston), cette différence de pression se fait sentir partout de la même manière.

La presse hydraulique est l'application la plus emblématique du principe de Pascal. Elle permet de multiplier les forces.

• Fonctionnement : Elle se compose de deux cylindres de diamètres différents, munis de pistons, reliés par un conduit et remplis d'un fluide incompressible (souvent de l'huile).
  • On applique une petite force $F_1$ sur le petit piston (surface $S_1$).
  • Cela crée une pression $P_1 = F_1/S_1$ dans le fluide.
  • Selon le principe de Pascal, cette pression se transmet intégralement au gros piston. Donc, $P_2 = P_1$.
  • Le gros piston (surface $S_2$) développe alors une force $F_2 = P_2 \times S_2$.
  • Puisque $P_1 = P_2$, on a : $\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}$ D'où : $F_2 = F_1 \times \frac{S_2}{S_1}$
• Multiplication des forces : Si $S_2$ est beaucoup plus grande que $S_1$, alors $F_2$ sera beaucoup plus grande que $F_1$. On peut ainsi soulever de lourdes charges avec une faible force.
• Conservation de l'énergie : Bien que la force soit multipliée, le travail (Force x distance) est conservé. Le petit piston devra se déplacer sur une plus grande distance pour que le gros piston se déplace sur une petite distance. $F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2$

Le principe de Pascal est à la base de nombreux systèmes hydrauliques modernes :

• Freins hydrauliques des véhicules : Lorsque le conducteur appuie sur la pédale de frein (petit piston), la pression est transmise aux étriers de frein (gros pistons) qui serrent les disques, arrêtant le véhicule.
• Vérins hydrauliques : Utilisés dans les engins de chantier, les chariots élévateurs, les bennes de camions pour soulever de très lourdes charges.
• Direction assistée : Facilite la rotation du volant en utilisant la pression d'un fluide pour amplifier la force du conducteur.
• Cric hydraulique : Permet de soulever facilement une voiture pour changer une roue.

Le principe d'Archimède est l'un des principes les plus célèbres de la physique des fluides. Il décrit la force ascendante que subit un objet immergé dans un fluide.

• Histoire : La légende raconte qu'Archimède de Syracuse a découvert ce principe en prenant son bain. Il aurait remarqué que son corps était plus léger dans l'eau et se serait écrié "Eurêka !" (J'ai trouvé !). Il a ensuite utilisé ce principe pour vérifier si la couronne du roi Hiéron II était en or pur.

• Énoncé : "Tout corps plongé (totalement ou partiellement) dans un fluide au repos, subit une force verticale, dirigée de bas en haut, dont l'intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé."

• Conséquences :

  • Un objet semble moins lourd dans l'eau.
  • Certains objets flottent, d'autres coulent.
  • Il y a une force de portance exercée par le fluide.

La poussée d'Archimède ($F_A$) est une force vectorielle dirigée vers le haut. Son intensité se calcule par la formule :

$F_A = \rho_{fluide} \times V_{immergé} \times g$

Où :

• $F_A$ est l'intensité de la poussée d'Archimède (en N).
• $\rho_{fluide}$ est la masse volumique du fluide dans lequel l'objet est immergé (en $kg/m^3$).
• $V_{immergé}$ est le volume du fluide déplacé, ce qui correspond au volume de la partie immergée de l'objet (en $m^3$).
• $g$ est l'accélération de la pesanteur (environ $9,81 \text{ N/kg}$).

Points clés :

• La poussée d'Archimède ne dépend pas de la masse volumique de l'objet lui-même, mais uniquement de celle du fluide et du volume immergé.
• Elle est égale au poids du fluide qui "prendrait la place" de la partie immergée de l'objet.

Le sort d'un objet plongé dans un fluide dépend de la comparaison entre son poids (Poids) et la poussée d'Archimède ($F_A$) qu'il subit.

• Poids de l'objet : $Poids = m_{objet} \times g = \rho_{objet} \times V_{objet} \times g$

• Trois cas possibles :

  1. L'objet flotte (flottaison) : Si $F_A > Poids$. L'objet remonte à la surface et une partie émerge. Il flotte lorsque son poids est égal à la poussée d'Archimède exercée par le volume immergé. Cela signifie que la masse volumique moyenne de l'objet est inférieure à celle du fluide ($\rho_{objet} < \rho_{fluide}$).
  2. L'objet reste en équilibre (immersion) : Si $F_A = Poids$. L'objet reste en suspension à n'importe quelle profondeur dans le fluide. Cela signifie que la masse volumique moyenne de l'objet est égale à celle du fluide ($\rho_{objet} = \rho_{fluide}$).
  3. L'objet coule (submersion) : Si $F_A < Poids$. L'objet s'enfonce au fond du récipient. Cela signifie que la masse volumique moyenne de l'objet est supérieure à celle du fluide ($\rho_{objet} > \rho_{fluide}$).

Ce principe a des applications très variées et importantes :

• Bateaux et sous-marins :
  • Les bateaux flottent car leur masse volumique moyenne (incluant l'air dans la coque) est inférieure à celle de l'eau. Ils sont conçus pour déplacer un volume d'eau dont le poids est égal au poids total du navire.
  • Les sous-marins utilisent des ballasts (réservoirs) qu'ils remplissent d'eau (pour couler) ou d'air comprimé (pour remonter) afin de modifier leur masse volumique moyenne et ainsi contrôler leur immersion.
• Montgolfières et ballons à air chaud : Elles flottent dans l'air (qui est aussi un fluide) car l'air chaud à l'intérieur de l'enveloppe est moins dense que l'air ambiant froid. La poussée d'Archimède exercée par le volume d'air déplacé est supérieure au poids total de la montgolfière.
• Densimètres : Instruments utilisés pour mesurer la densité (ou masse volumique) d'un liquide. Ils flottent plus ou moins haut selon la masse volumique du liquide.
• Icebergs : Seule une petite partie d'un iceberg est visible au-dessus de l'eau, car la glace est moins dense que l'eau liquide (environ 9/10e de son volume est immergé).