Le mouvement d'un systeme

Pour décrire le mouvement d'un objet (qu'on appellera un système), il faut toujours se placer par rapport à un point de vue, un "observateur". Cet observateur est matérialisé par un référentiel.

Un référentiel est un objet de référence par rapport auquel on étudie le mouvement d'un système. Il est constitué d'un corps de référence (un solide) et d'un repère d'espace (trois axes) ainsi que d'une horloge pour mesurer le temps.

Il existe plusieurs référentiels couramment utilisés :

• Le référentiel terrestre : lié à la Terre. Il est utilisé pour la plupart des mouvements à la surface de la Terre (chute d'une balle, mouvement d'une voiture, etc.). Son origine est un point fixe à la surface de la Terre.
• Le référentiel géocentrique : son origine est le centre de la Terre, et ses axes pointent vers des étoiles lointaines considérées comme fixes. Il est adapté pour l'étude des satellites ou de la Lune autour de la Terre.
• Le référentiel héliocentrique (ou de Copernic) : son origine est le centre du Soleil, et ses axes pointent vers des étoiles lointaines. Il est utilisé pour l'étude du mouvement des planètes autour du Soleil.

Pour situer précisément un objet dans ce référentiel, on utilise un repère cartésien $(O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$. L'origine $O$ est un point fixe du référentiel, et les vecteurs unitaires $\vec{x}$, $\vec{y}$, $\vec{z}$ définissent les directions de l'espace.

Lorsque la taille et la forme du système n'ont pas d'importance pour l'étude de son mouvement (par exemple, une voiture sur une route, un ballon de football), on peut le considérer comme un point matériel. Cela simplifie grandement l'analyse en ne s'intéressant qu'à la position de son centre de gravité.

Une fois le référentiel et le repère choisis, on peut décrire le mouvement d'un point matériel M à chaque instant $t$ par :

1. Le vecteur position $\vec{OM}(t)$ : Il relie l'origine $O$ du repère au point matériel $M$. Ses coordonnées sont $(x(t), y(t), z(t))$. $\vec{OM}(t) = x(t) \vec{x} + y(t) \vec{y} + z(t) \vec{z}$

2. Le vecteur vitesse $\vec{v}(t)$ : Il représente la rapidité et la direction du mouvement.

   • La vitesse moyenne entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est : $\vec{v}_{moy} = \frac{\Delta \vec{OM}}{\Delta t} = \frac{\vec{OM}(t_2) - \vec{OM}(t_1)}{t_2 - t_1}$
   • La vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position par rapport au temps : $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt} = \dot{x}(t) \vec{x} + \dot{y}(t) \vec{y} + \dot{z}(t) \vec{z}$ où $\dot{x}(t) = \frac{dx}{dt}$, etc. La norme du vecteur vitesse est la speed (vitesse scalaire), $v = ||\vec{v}|| = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2}$.

3. Le vecteur accélération $\vec{a}(t)$ : Il représente la variation du vecteur vitesse au cours du temps (changement de direction et/ou de norme).

   • L'accélération moyenne entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est : $\vec{a}_{moy} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}(t_2) - \vec{v}(t_1)}{t_2 - t_1}$
   • L'accélération instantanée est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps (ou la dérivée seconde du vecteur position) : $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2} = \ddot{x}(t) \vec{x} + \ddot{y}(t) \vec{y} + \ddot{z}(t) \vec{z}$ où $\ddot{x}(t) = \frac{d^2x}{dt^2}$, etc.

Les calculs de dérivées sont donc fondamentaux pour passer de la position à la vitesse, puis à l'accélération. Inversement, l'intégration permet de remonter de l'accélération à la vitesse, puis à la position.

La forme de la trajectoire (l'ensemble des positions successives occupées par le point matériel) et la variation de la vitesse permettent de classer les mouvements.

• Mouvement rectiligne uniforme (MRU) :

  • Trajectoire : une ligne droite.
  • Vitesse : constante en norme et en direction ($\vec{v} = \text{constante}$).
  • Accélération : nulle ($\vec{a} = \vec{0}$).
  • Équations horaires (pour un mouvement selon l'axe x) : $x(t) = v_0 t + x_0$.

• Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) :

  • Trajectoire : une ligne droite.
  • Accélération : constante en norme et en direction ($\vec{a} = \text{constante} \neq \vec{0}$).
  • Vitesse : varie linéairement avec le temps.
  • Équations horaires (pour un mouvement selon l'axe x, $a_x$ constante) : $v_x(t) = a_x t + v_{0x}$ $x(t) = \frac{1}{2} a_x t^2 + v_{0x} t + x_0$

• Mouvement circulaire uniforme (MCU) :

  • Trajectoire : un cercle.
  • Vitesse : constante en norme ($v = \text{constante}$), mais la direction change constamment.
  • Accélération : non nulle, centripète (dirigée vers le centre du cercle). Sa norme est $a = \frac{v^2}{R}$, où $R$ est le rayon du cercle.

Le principe d'inertie énonce que : "Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme dans lequel il se trouve, si les forces qui s'exercent sur lui se compensent."

Cela signifie que :

• Si un système est immobile, il le reste.
• Si un système est en mouvement rectiligne uniforme, il le reste. Ceci est vrai uniquement si la somme vectorielle des forces extérieures qui s'appliquent sur lui est nulle ($\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$).

Ce principe n'est valable que dans un référentiel galiléen. Un référentiel galiléen est un référentiel où le principe d'inertie est vérifié. Le référentiel héliocentrique est considéré comme galiléen. Le référentiel géocentrique est quasi-galiléen. Le référentiel terrestre est souvent considéré comme galiléen pour des durées courtes et des vitesses faibles, mais il ne l'est pas rigoureusement (rotation de la Terre).

Un système est dit isolé si aucune force extérieure ne s'exerce sur lui. Il est dit pseudo-isolé si les forces extérieures qui s'exercent sur lui se compensent. Dans les deux cas, le système est en MRU ou au repos.

Une conséquence directe est la conservation de la quantité de mouvement. La quantité de mouvement $\vec{p}$ d'un système est le produit de sa masse $m$ par son vecteur vitesse $\vec{v}$ : $\vec{p} = m \cdot \vec{v}$ Si un système est isolé ou pseudo-isolé, alors sa quantité de mouvement est constante au cours du temps : $\vec{p} = \text{constante}$.

Le principe fondamental de la dynamique (PFD) ou deuxième loi de Newton est la loi la plus utilisée en mécanique. Elle relie les forces qui agissent sur un système à l'accélération qu'il subit.

Elle stipule que, dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures $\sum \vec{F}_{ext}$ appliquées à un système est égale au produit de la masse inerte $m$ du système par l'accélération $\vec{a}$ de son centre d'inertie : $\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}$

Cette relation est vectorielle. On peut la projeter sur les axes du repère choisi : $\sum F_{ext,x} = m \cdot a_x$ $\sum F_{ext,y} = m \cdot a_y$ $\sum F_{ext,z} = m \cdot a_z$

La masse inerte $m$ est une grandeur scalaire positive qui mesure la résistance d'un corps à modifier son état de mouvement. Plus un corps est massif, plus il est difficile de le mettre en mouvement ou de l'arrêter.

Cette loi est cruciale car elle permet de déterminer l'accélération d'un système connaissant les forces qui s'y appliquent, et inversement.

Le principe des actions réciproques (ou troisième loi de Newton) décrit l'interaction entre deux corps.

Lorsque deux corps A et B sont en interaction, la force exercée par le corps A sur le corps B ($\vec{F}_{A/B}$) est égale et opposée à la force exercée par le corps B sur le corps A ($\vec{F}_{B/A}$). $\vec{F}_{A/B} = -\vec{F}_{B/A}$

Ces deux forces ont des caractéristiques importantes :

• Elles ont la même intensité (même norme).
• Elles ont la même direction.
• Elles ont des sens opposés.
• Elles s'appliquent sur des corps différents (l'une sur A, l'autre sur B). Elles ne peuvent donc pas s'annuler mutuellement sur un même corps.
• Elles apparaissent et disparaissent simultanément.

Application à des systèmes en interaction :

• Terre-Objet : La Terre attire un objet avec une force appelée le poids ($\vec{P}$). L'objet attire la Terre avec une force égale et opposée.
• Personne-Sol : Une personne pousse le sol vers le bas avec ses pieds. Le sol la pousse vers le haut avec une force égale et opposée, lui permettant d'avancer ou de sauter.

Ce principe est fondamental pour comprendre comment les forces sont échangées entre les objets et pour isoler correctement un système lors de l'application de la deuxième loi de Newton.

La chute libre est le mouvement d'un corps soumis uniquement à son poids $\vec{P}$. On néglige les frottements de l'air.

• Le poids est une force verticale, dirigée vers le bas, d'intensité $P = m \cdot g$, où $m$ est la masse du corps et $g$ est l'intensité du champ de pesanteur ($g \approx 9,81 \, \text{N/kg}$ sur Terre).
• En appliquant la 2ème loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a} \implies \vec{P} = m \vec{a}$.
• Donc $m \vec{g} = m \vec{a}$, ce qui implique $\vec{a} = \vec{g}$. L'accélération est constante et égale à $\vec{g}$.
• C'est un MRUV vertical. Les équations horaires du mouvement sont :
  • $v_z(t) = g t + v_{0z}$ (en prenant l'axe z vers le bas)
  • $z(t) = \frac{1}{2} g t^2 + v_{0z} t + z_0$

La chute avec frottements prend en compte la force de frottement fluide (de l'air, par exemple). Cette force $\vec{f}$ est opposée au mouvement et son intensité dépend de la vitesse.

• Souvent, $f = k \cdot v$ (pour les faibles vitesses) ou $f = k \cdot v^2$ (pour les vitesses plus élevées), où $k$ est une constante.
• La 2ème loi de Newton devient : $\vec{P} + \vec{f} = m \vec{a}$.
• L'accélération n'est plus constante. Au début, l'accélération est proche de $g$. Au fur et à mesure que la vitesse augmente, les frottements augmentent, diminuant l'accélération.
• Lorsque la force de frottement compense exactement le poids ($P = f$), l'accélération devient nulle. La vitesse atteint alors une valeur constante appelée vitesse limite $v_L$.
  • Si $f = k v_L$, alors $m g = k v_L \implies v_L = \frac{mg}{k}$.
  • Si $f = k v_L^2$, alors $m g = k v_L^2 \implies v_L = \sqrt{\frac{mg}{k}}$.

Considérons un objet glissant sur un plan incliné d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale. Les forces à prendre en compte sont généralement :

1. Le Poids $\vec{P}$ : vertical, vers le bas, d'intensité $P = mg$.
2. La Réaction normale $\vec{R}_N$ : perpendiculaire au plan, vers le haut, exercée par le support.
3. Les forces de frottement $\vec{f}$ : parallèles au plan, opposées au mouvement (si le mouvement existe).

Pour simplifier l'application de la 2ème loi de Newton, on choisit un repère adapté : l'axe des x parallèle au plan incliné (vers le bas si l'objet descend), et l'axe des y perpendiculaire au plan.

La décomposition des forces est essentielle :

• $\vec{P}$ se décompose en $P_x = P \sin \alpha$ et $P_y = -P \cos \alpha$ (le signe dépend du choix des axes).
• $\vec{R}_N$ n'a qu'une composante $R_N$ sur l'axe y.
• $\vec{f}$ n'a qu'une composante $-f$ sur l'axe x.

Application de la 2ème loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}$

• Sur l'axe x : $P \sin \alpha - f = m a_x$
• Sur l'axe y : $R_N - P \cos \alpha = m a_y$. Si l'objet ne décolle pas, $a_y = 0$, donc $R_N = P \cos \alpha$.

On peut alors calculer l'accélération $a_x = g \sin \alpha - \frac{f}{m}$ et en déduire les équations horaires.

Le mouvement de projectiles (ou mouvement parabolique) est la trajectoire d'un objet lancé près de la surface terrestre, soumis uniquement à son poids (en négligeant les frottements de l'air).

Idée clé : l'indépendance des mouvements horizontal et vertical.

• Horizontalement (axe x) : Aucune force ne s'exerce (si on néglige les frottements). C'est un MRU.
  • $a_x = 0$
  • $v_x(t) = v_{0x}$ (constante)
  • $x(t) = v_{0x} t + x_0$
• Verticalement (axe y) : Le système est soumis au poids. C'est un MRUV (chute libre).
  • $a_y = -g$ (si l'axe y est orienté vers le haut)
  • $v_y(t) = -g t + v_{0y}$
  • $y(t) = -\frac{1}{2} g t^2 + v_{0y} t + y_0$

À partir de ces équations, on peut déterminer :

• L'équation de la trajectoire $y(x)$ : On exprime $t$ en fonction de $x$ à partir de l'équation horizontale, puis on remplace $t$ dans l'équation verticale. On obtient une parabole. $y(x) = -\frac{g}{2 v_{0x}^2} x^2 + \frac{v_{0y}}{v_{0x}} x + y_0$ (en supposant $x_0=0$)
• La hauteur maximale : atteinte lorsque $v_y = 0$.
• La portée : la distance horizontale parcourue lorsque le projectile retombe à une certaine hauteur (souvent $y=0$).

L'énergie cinétique $E_c$ est l'énergie qu'un corps possède du fait de son mouvement. Elle dépend de sa masse et de sa vitesse. $E_c = \frac{1}{2} m v^2$ où $m$ est la masse (en kg) et $v$ est la vitesse (en m/s). L'énergie cinétique est exprimée en Joules (J).

Le théorème de l'énergie cinétique (TEC) relie la variation de l'énergie cinétique d'un système au travail des forces extérieures qui s'exercent sur lui. $\Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i} = \sum W(\vec{F}_{ext})$ où $E_{c,f}$ et $E_{c,i}$ sont les énergies cinétiques finale et initiale, et $\sum W(\vec{F}_{ext})$ est la somme des travaux de toutes les forces extérieures s'exerçant sur le système entre l'état initial et l'état final.

Le travail d'une force $\vec{F}$ (constante) lors d'un déplacement $\vec{AB}$ est défini par le produit scalaire : $W_{A \to B}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot AB \cdot \cos(\alpha)$ où $\alpha$ est l'angle entre le vecteur force et le vecteur déplacement.

• Si $0 \le \alpha < 90^\circ$, le travail est moteur ($W > 0$).
• Si $\alpha = 90^\circ$, le travail est nul ($W = 0$).
• Si $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$, le travail est résistant ($W < 0$).

L'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}$ est l'énergie qu'un corps possède du fait de sa position dans un champ de pesanteur. Elle dépend de sa masse, de l'intensité de la pesanteur et de son altitude. $E_{pp} = m g h$ où $m$ est la masse (en kg), $g$ est l'intensité du champ de pesanteur (en N/kg ou m/s²), et $h$ est l'altitude (en m) par rapport à un niveau de référence où $E_{pp}=0$. Le choix de ce niveau de référence est arbitraire mais doit être précisé et cohérent tout au long de l'exercice.

Le travail du poids est lié à la variation de l'énergie potentielle de pesanteur : $W_{A \to B}(\vec{P}) = E_{pp}(A) - E_{pp}(B) = -(E_{pp}(B) - E_{pp}(A)) = -\Delta E_{pp}$ Le travail du poids ne dépend que des altitudes initiale et finale, pas du chemin parcouru. On dit que le poids est une force conservative.

L'énergie mécanique $E_m$ d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de pesanteur (et d'autres formes d'énergie potentielle si elles existent, comme l'élastique). $E_m = E_c + E_{pp}$

La conservation de l'énergie mécanique dépend des forces qui agissent sur le système :

• Si seules des forces conservatives (comme le poids, la force de rappel d'un ressort) effectuent un travail, alors l'énergie mécanique du système se conserve : $\Delta E_m = 0 \implies E_{m,f} = E_{m,i}$ Ceci est une approche très puissante pour résoudre des problèmes sans passer par la dynamique.

• Si des forces non conservatives (comme les frottements, les forces de propulsion) effectuent un travail, l'énergie mécanique n'est pas conservée. La variation de l'énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatives : $\Delta E_m = \sum W(\vec{F}_{non-conservatives})$ Les frottements dissipent de l'énergie mécanique sous forme de chaleur, donc leur travail est négatif, et l'énergie mécanique diminue.

La compréhension de l'énergie mécanique et de sa conservation est fondamentale pour analyser de nombreux phénomènes physiques, des mouvements planétaires aux systèmes mécaniques simples.