Vecteurs et transformations

Un vecteur est défini par trois caractéristiques principales :

• Direction : C'est la droite sur laquelle "repose" le déplacement. Par exemple, une direction horizontale, verticale, ou oblique.
• Sens : C'est l'orientation du déplacement le long de cette direction. Par exemple, de gauche à droite ou de droite à gauche sur une direction horizontale.
• Norme (longueur) : C'est la distance parcourue, la "taille" du déplacement. On la note souvent $|| \vec{u} ||$ pour un vecteur $\vec{u}$.

Un vecteur peut être représenté graphiquement par une flèche. Si le vecteur va du point A au point B, on le note $\vec{AB}$. Le point A est l'origine et le point B est l'extrémité du vecteur.

Deux vecteurs sont considérés comme identiques s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme, peu importe leur point de départ.

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits égaux si et seulement si :

• Ils ont la même direction.
• Ils ont le même sens.
• Ils ont la même norme.

On les appelle aussi des vecteurs équipollents. Graphiquement, si $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux, cela signifie que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Exemple : Si vous dessinez un vecteur $\vec{AB}$ et que vous le déplacez n'importe où sur votre feuille sans le faire tourner ni changer sa longueur, vous obtenez un vecteur égal.

L'addition de vecteurs permet de combiner plusieurs déplacements.

1. Règle du parallélogramme : Pour additionner deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ayant la même origine O, on construit le parallélogramme OACB tel que $\vec{OA} = \vec{u}$ et $\vec{OB} = \vec{v}$. Alors $\vec{OC} = \vec{u} + \vec{v}$. $\vec{u} + \vec{v} = \vec{OC}$

2. Relation de Chasles : C'est la méthode la plus courante et la plus intuitive. Si vous allez de A à B, puis de B à C, le déplacement total est comme si vous étiez allé directement de A à C. Pour tous points A, B, C du plan : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ Cette relation est fondamentale.

• Le vecteur nul : C'est le vecteur qui représente un déplacement de longueur nulle (rester sur place). Il n'a pas de direction ni de sens défini. On le note $\vec{0}$. Pour tout point A, $\vec{AA} = \vec{0}$. Pour tout vecteur $\vec{u}$, $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$.

• L'opposé d'un vecteur : L'opposé d'un vecteur $\vec{u}$ est le vecteur qui a la même direction, la même norme, mais le sens opposé. On le note $-\vec{u}$. Si $\vec{u} = \vec{AB}$, alors $-\vec{u} = \vec{BA}$. On a toujours $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$.

• Soustraction de vecteurs : Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé. $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$ Par exemple, $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{CA} = \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$.

Multiplier un vecteur $\vec{u}$ par un nombre réel $k$ (aussi appelé scalaire) change sa norme et potentiellement son sens. Le résultat est un nouveau vecteur noté $k\vec{u}$.

• Norme : La norme du vecteur $k\vec{u}$ est $|k| \times ||\vec{u}||$.
• Direction : La direction reste la même (sauf si $k=0$, auquel cas $0\vec{u} = \vec{0}$).
• Sens :
  • Si $k > 0$, le sens de $k\vec{u}$ est le même que celui de $\vec{u}$.
  • Si $k < 0$, le sens de $k\vec{u}$ est opposé à celui de $\vec{u}$.
  • Si $k = 0$, $0\vec{u} = \vec{0}$.

Exemples :

• $2\vec{u}$ est un vecteur de même direction et même sens que $\vec{u}$, mais deux fois plus long.
• $-3\vec{u}$ est un vecteur de même direction que $\vec{u}$, mais de sens opposé et trois fois plus long.
• $\frac{1}{2}\vec{u}$ est un vecteur de même direction et même sens que $\vec{u}$, mais deux fois plus court.

==Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (ou $\vec{u} = k\vec{v}$).== Graphiquement, des vecteurs colinéaires sont des vecteurs qui ont la même direction (ils sont portés par des droites parallèles ou confondues).

Un repère du plan est un système qui permet de localiser n'importe quel point. Il est constitué de :

• Une origine O (un point fixe).
• Deux axes gradués et sécants : l'axe des abscisses (souvent horizontal) et l'axe des ordonnées (souvent vertical).
• Des unités de longueur sur chaque axe, définies par deux vecteurs non colinéaires $\vec{i}$ et $\vec{j}$.

On parle de repère orthogonal si les axes sont perpendiculaires. On parle de repère orthonormé si les axes sont perpendiculaires et que les vecteurs unités $\vec{i}$ et $\vec{j}$ ont la même norme (longueur 1). C'est le plus courant en Seconde.

Chaque point M du plan est repéré par ses coordonnées $(x_M; y_M)$, où $x_M$ est son abscisse et $y_M$ son ordonnée.

Si un vecteur $\vec{u}$ est égal au vecteur $\vec{OM}$ (où O est l'origine du repère), alors les coordonnées de $\vec{u}$ sont les mêmes que celles du point M. On note $\vec{u}(x;y)$ ou $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

Si un vecteur est défini par deux points A et B, $\vec{AB}$, et que A a pour coordonnées $(x_A; y_A)$ et B a pour coordonnées $(x_B; y_B)$, alors les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont : $\vec{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ C'est la formule clé pour calculer les coordonnées d'un vecteur.

Exemple : Si A(1; 2) et B(4; 6), alors $\vec{AB} \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 6 - 2 \end{pmatrix} = \vec{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.

Les vecteurs unitaires de base dans un repère orthonormé sont $\vec{i} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{j} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. Tout vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ peut être écrit comme une combinaison linéaire de ces vecteurs : $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$.

Travailler avec les coordonnées simplifie grandement les opérations vectorielles.

Soient $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$.

• Addition de vecteurs : On additionne les coordonnées correspondantes. $\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix}$

• Soustraction de vecteurs : On soustrait les coordonnées correspondantes. $\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} x - x' \\ y - y' \end{pmatrix}$

• Multiplication par un scalaire : On multiplie chaque coordonnée par le scalaire $k$. $k\vec{u} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$

• Coordonnées du vecteur nul : Le vecteur nul est $\vec{0} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

La colinéarité est une propriété très importante. Deux vecteurs $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Cela se traduit par la condition suivante : $xy' - yx' = 0$ Ce produit $xy' - yx'$ est appelé le déterminant des deux vecteurs.

==Si $xy' - yx' = 0$, alors les vecteurs sont colinéaires. Si $xy' - yx' \neq 0$, ils ne le sont pas.==

Applications de la colinéarité :

• Alignement de points : Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Exemple : A(1;1), B(2;3), C(4;7). $\vec{AB} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{AC} \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$. $1 \times 6 - 2 \times 3 = 6 - 6 = 0$. Les vecteurs sont colinéaires, donc les points A, B, C sont alignés.

• Parallélisme de droites : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.

Une translation est entièrement définie par un vecteur de translation $\vec{u}$. L'image d'un point M par la translation de vecteur $\vec{u}$ est le point M' tel que $\vec{MM'} = \vec{u}$.

Propriétés fondamentales d'une translation :

• Conservation des formes et des longueurs : Une translation conserve les distances, les angles, les aires. L'image d'un segment est un segment de même longueur, l'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
• Conservation de l'orientation : La figure image a la même orientation que la figure originale (elle n'est pas "retournée" comme par une symétrie axiale).
• L'image d'une droite est une droite parallèle.

Pour construire l'image M' d'un point M par la translation de vecteur $\vec{u} = \vec{AB}$ :

1. Tracez le vecteur $\vec{AB}$.
2. À partir du point M, tracez une parallèle au vecteur $\vec{AB}$.
3. Reportez la longueur du segment AB sur cette parallèle, dans le même sens que $\vec{AB}$, pour trouver M'.
4. Le quadrilatère ABM'M est un parallélogramme. C'est souvent la méthode la plus simple pour construire : M' est le point tel que ABM'M est un parallélogramme.

Pour construire l'image d'une figure (segment, triangle, etc.), il suffit de construire l'image de chacun de ses sommets ou points caractéristiques.

Si un point M a pour coordonnées $(x; y)$ et le vecteur de translation $\vec{u}$ a pour coordonnées $(a; b)$, alors l'image M' $(x'; y')$ de M par la translation de vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées : $\begin{cases} x' = x + a \\ y' = y + b \end{cases}$ Ces formules sont l'expression analytique de la translation. Elles sont très utiles pour calculer les coordonnées de l'image sans avoir à dessiner.

Exemple : Point A(2; 3), vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$. L'image A' de A par la translation de vecteur $\vec{u}$ est A'$(2+1; 3+(-2))$, soit A'(3; 1).

La symétrie centrale est une rotation de 180° autour d'un point. Elle est définie par un centre de symétrie O. L'image M' d'un point M par la symétrie centrale de centre O est le point tel que O est le milieu du segment [MM']. Autrement dit, $\vec{OM'} = -\vec{OM}$.

Propriétés d'une symétrie centrale :

• Conservation des distances, des angles, des aires.
• Conservation de l'alignement des points.
• L'image d'une droite est une droite parallèle.
• L'orientation est conservée si la figure est plane, mais l'ordre des points sur un polygone est inversé.

Expression analytique : Si O est l'origine du repère (0;0), l'image M'$(x'; y')$ d'un point M$(x; y)$ est : $\begin{cases} x' = -x \\ y' = -y \end{cases}$ Si le centre de symétrie est un point C$(x_C; y_C)$, alors : $\begin{cases} x' = 2x_C - x \\ y' = 2y_C - y \end{cases}$

La symétrie axiale (ou réflexion) est définie par un axe de symétrie (d). L'image M' d'un point M par la symétrie axiale d'axe (d) est le point tel que :

1. La droite (MM') est perpendiculaire à l'axe (d).
2. L'axe (d) est la médiatrice du segment [MM'] (il coupe [MM'] en son milieu).

Propriétés d'une symétrie axiale :

• Conservation des distances, des angles, des aires.
• Non conservation de l'orientation : La figure image est "retournée" par rapport à la figure originale (comme dans un miroir).

• Image d'un point par symétrie centrale (centre O) :

  1. Tracez la droite (MO).
  2. Reportez la longueur MO de l'autre côté de O sur cette droite pour trouver M'. Ou utilisez un compas : pointe sur O, rayon OM, tracez un arc qui coupe la droite (MO) de l'autre côté.

• Image d'un point par symétrie axiale (axe (d)) :

  1. Tracez la droite perpendiculaire à (d) passant par M. Soit H le point d'intersection avec (d).
  2. Reportez la distance MH sur cette perpendiculaire de l'autre côté de (d) pour trouver M'. (H est le milieu de [MM']). Ceci peut se faire avec une règle et une équerre, ou avec un compas (deux arcs de cercle de même rayon centrés sur deux points distincts de l'axe (d)).

Pour construire l'image d'une figure, on construit l'image de ses points caractéristiques.

Une rotation est définie par :

• Un centre de rotation O (un point fixe).
• Un angle de rotation $\alpha$ (une mesure en degrés ou radians).
• Un sens de rotation :
  • Sens direct (ou positif) : sens inverse des aiguilles d'une montre.
  • Sens indirect (ou négatif) : sens des aiguilles d'une montre.

L'image M' d'un point M par la rotation de centre O et d'angle $\alpha$ est le point tel que :

1. La distance OM est égale à la distance OM' ($OM = OM'$).
2. L'angle $\widehat{MOM'}$ est égal à l'angle de rotation $\alpha$.

Pour construire l'image M' d'un point M par la rotation de centre O et d'angle $\alpha$ :

1. Tracez le segment [OM].
2. À l'aide d'un rapporteur, construisez l'angle $\widehat{MOM'}$ de mesure $\alpha$ (dans le sens de rotation choisi), avec M' sur un nouveau "rayon" issu de O.
3. À l'aide d'un compas, reportez la longueur OM sur ce nouveau rayon pour trouver M'. (M' doit être sur le cercle de centre O et de rayon OM).

Pour construire l'image d'une figure, on construit l'image de ses principaux points.

Les rotations sont des isométries, ce qui signifie qu'elles conservent :

• Les longueurs : L'image d'un segment est un segment de même longueur.

• Les angles : L'image d'un angle est un angle de même mesure.

• Les aires : L'image d'une figure a la même aire.

• L'orientation : Une rotation ne retourne pas la figure. L'image d'un triangle ABC est un triangle A'B'C' qui a la même orientation.

• L'image d'une droite est une droite.

• L'image d'un cercle est un cercle de même rayon.

La rotation est une transformation très utile en géométrie, notamment pour prouver l'égalité de figures ou pour étudier des propriétés de symétrie.