Lugares geométricos y secciones cónicas

En geometría analítica, un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos del plano que cumplen una determinada propiedad geométrica común. Esta propiedad se traduce matemáticamente en una ecuación analítica $f(x, y) = 0$.

Para hallar el lugar geométrico, seguimos estos pasos:

1. Definimos un punto genérico $P(x, y)$ que pertenece al conjunto.
2. Expresamos la condición geométrica mediante una igualdad matemática.
3. Operamos y simplificamos hasta obtener la ecuación final.

El lugar geométrico es la representación algebraica de una restricción espacial, lo que nos permite estudiar formas usando el álgebra.

Existen figuras básicas que definimos a partir de distancias:

• Mediatriz de un segmento: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento $A$ y $B$. La condición es $d(P, A) = d(P, B)$.
• Bisectriz de un ángulo: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las dos rectas que forman el ángulo. Si las rectas son $r$ y $s$, la condición es $d(P, r) = d(P, s)$.
• Circunferencia: (Que veremos en detalle) Puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Para trabajar con lugares geométricos, es imprescindible dominar las fórmulas de distancia:

1. Distancia entre dos puntos $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$: $d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
2. Distancia de un punto $P(x_0, y_0)$ a una recta $r: Ax + By + C = 0$: $d(P, r) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

El uso del valor absoluto y la raíz cuadrada garantiza que la distancia sea siempre un valor no negativo, coherente con el concepto métrico.

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos $P(x, y)$ cuya distancia a un punto fijo $C(a, b)$, llamado centro, es constante e igual al radio $r$.

• Ecuación canónica: Si el centro es $(a, b)$ y el radio es $r$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
• Ecuación general: Desarrollando los cuadrados, obtenemos: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ Donde se cumple que:
  • $a = -D/2$
  • $b = -E/2$
  • $r = \sqrt{a^2 + b^2 - F}$ (Para que exista, $a^2 + b^2 - F > 0$).

Podemos analizar cómo se sitúan diferentes elementos respecto a la circunferencia:

La potencia de un punto $P(x_0, y_0)$ respecto a una circunferencia $C$ es el valor $P(P, C) = (x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 - r^2$.

• Si la potencia es positiva, el punto es exterior.
• Si es cero, el punto está en la circunferencia.
• Si es negativa, es interior.

El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto a ambas. Siempre es una recta perpendicular a la línea que une los centros.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos $F$ y $F'$ (focos) es constante ($2a$).

Elementos clave:

• Eje mayor: Segmento de longitud $2a$.
• Eje menor: Segmento de longitud $2b$.
• Distancia focal: Distancia entre focos, $2c$.
• Vértices: Puntos de intersección de la elipse con sus ejes.

Cuando el centro está en el origen $(0,0)$, la ecuación depende de la orientación del eje mayor:

1. Eje horizontal: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
2. Eje vertical: $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$

En la elipse, el parámetro $a$ siempre es el mayor. La relación fundamental que liga los parámetros es el Teorema de Pitágoras adaptado: $a^2 = b^2 + c^2$.

La excentricidad ($e$) mide cuánto se "aplasta" la elipse: $e = \frac{c}{a} \quad (0 \le e < 1)$

• Si $e$ es cercano a 0, la elipse se parece a una circunferencia.
• Si $e$ es cercano a 1, es muy alargada.

Si el centro se traslada a un punto $(h, k)$, la ecuación se convierte en $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$.

Es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias (en valor absoluto) a dos puntos fijos $F$ y $F'$ es constante ($2a$): $|d(P, F) - d(P, F')| = 2a$.

A diferencia de la elipse, la hipérbola tiene dos ramas abiertas. Sus elementos son:

• Eje real: Longitud $2a$.
• Eje imaginario: Longitud $2b$.
• Distancia focal: $2c$. Aquí se cumple que $c^2 = a^2 + b^2$.

La ecuación canónica con centro en $(0,0)$ y eje focal horizontal es: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ Si el eje es vertical, la ecuación es $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$. Una hipérbola equilátera es aquella donde $a = b$, simplificándose a $x^2 - y^2 = a^2$.

Las asíntotas son rectas a las que la hipérbola se aproxima indefinidamente en el infinito. Para la hipérbola horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son: $y = \pm \frac{b}{a}x$ Estas rectas sirven como guía visual fundamental para dibujar las ramas de la curva.

La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo $F$ (foco) y de una recta fija $d$ (directriz). $d(P, F) = d(P, d)$ El parámetro $p$ representa la distancia del foco a la directriz. El vértice es el punto medio entre el foco y la directriz.

Dependiendo de su orientación y posición del vértice $V(h, k)$:

• Eje vertical (abre hacia arriba/abajo): $(x - h)^2 = 2p(y - k)$
• Eje horizontal (abre hacia derecha/izquierda): $(y - k)^2 = 2p(x - h)$

Si el vértice está en el origen $(0,0)$, las ecuaciones se simplifican a $x^2 = 2py$ o $y^2 = 2px$.

La propiedad más importante de la parábola es su capacidad reflectora: cualquier rayo paralelo al eje de simetría que incida en la parábola se refleja pasando por el foco. Esta propiedad es la base de las antenas parabólicas y los faros de los coches.

Todas las curvas estudiadas (circunferencia, elipse, hipérbola y parábola) se obtienen al cortar un cono de dos ramas con un plano.

• Circunferencia: Plano perpendicular al eje del cono.
• Elipse: Plano oblicuo que no corta la base.
• Parábola: Plano paralelo a una generatriz.
• Hipérbola: Plano paralelo al eje del cono (corta ambas ramas).

La ecuación general de segundo grado es: $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ En este nivel, solemos trabajar sin el término $Bxy$ (sin rotación). Podemos identificar la cónica mirando los coeficientes $A$ y $C$:

• Circunferencia: $A = C$.
• Elipse: $A$ y $C$ tienen el mismo signo pero $A \neq C$.
• Hipérbola: $A$ y $C$ tienen signos contrarios.
• Parábola: Uno de los dos ($A$ o $C$) es cero.

El estudio de las cónicas tiene aplicaciones críticas:

1. Astronomía: Las órbitas de los planetas son elípticas (Leyes de Kepler) y los cometas no periódicos pueden seguir trayectorias parabólicas o hiperbólicas.
2. Física: El lanzamiento de proyectiles sigue una trayectoria parabólica (despreciando el aire).
3. Arquitectura: Los arcos elípticos y parabólicos permiten una distribución de cargas muy eficiente.

Para resolver problemas, siempre es recomendable dibujar un esquema de los datos conocidos (focos, vértices o distancias) antes de aplicar las fórmulas analíticas.