Geometría analítica en el plano

Un vector es un segmento orientado que representa una magnitud física con dirección y sentido. Se define por dos puntos: un origen $A$ y un extremo $B$, denotándose como $\vec{AB}$.

• Módulo: Es la longitud del segmento, representada como $|\vec{v}|$. Se calcula mediante el teorema de Pitágoras: si $\vec{v} = (v_1, v_2)$, entonces $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$.
• Dirección: Es la recta sobre la que se apoya el vector o cualquier recta paralela a ella.
• Sentido: Indicado por la punta de la flecha (hacia dónde apunta).

Es vital distinguir entre vectores fijos (con origen y extremo determinados) y vectores libres. Un vector libre es el conjunto de todos los vectores fijos que tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Las componentes de un vector $\vec{AB}$ se obtienen restando las coordenadas del extremo menos las del origen: $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$

Podemos manipular vectores mediante operaciones algebraicas que tienen una interpretación geométrica clara:

1. Suma y resta: Para sumar $\vec{u} + \vec{v}$, sumamos sus componentes: $(u_1+v_1, u_2+v_2)$. Geométricamente, usamos la regla del paralelogramo o colocamos el origen de uno en el extremo del otro.
2. Producto por un escalar: Al multiplicar un vector por un número real $k$, obtenemos $k \cdot \vec{v} = (k \cdot v_1, k \cdot v_2)$. Si $k > 0$, mantiene el sentido; si $k < 0$, el sentido se invierte.
3. Combinación lineal: Un vector $\vec{w}$ es combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ si existen escalares $a$ y $b$ tales que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

Decimos que dos vectores son linealmente independientes si no son proporcionales (no tienen la misma dirección). En el plano, cualquier par de vectores no paralelos forman una base.

• Base Canónica: Es la base más sencilla, formada por los vectores $\vec{i} = (1, 0)$ y $\vec{j} = (0, 1)$. Son perpendiculares y tienen módulo 1.
• Coordenadas: Si tenemos una base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$, cualquier vector $\vec{w}$ se puede expresar de forma única como $\vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v}$. Los números $(x, y)$ son sus coordenadas en esa base.

El producto escalar de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es un número real (escalar). Se puede definir de dos formas:

1. Geométrica: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\alpha)$, donde $\alpha$ es el ángulo entre ellos.
2. Analítica: Si $\vec{u} = (u_1, u_2)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2)$, entonces $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$.

Propiedades clave:

• Es conmutativo: $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$.
• Si $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$, el ángulo es agudo; si es $< 0$, es obtuso; si es $0$, son perpendiculares.

A partir del producto escalar, podemos derivar herramientas métricas fundamentales:

• Ángulo entre vectores: Despejando de la definición geométrica: $\cos(\alpha) = \frac{u_1 v_1 + u_2 v_2}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$
• Proyección de un vector: La proyección ortogonal del vector $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ viene dada por: $proj_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|}$

Dos vectores son ortogonales (perpendiculares) si su producto escalar es cero. Condición de perpendicularidad: $\vec{u} \perp \vec{v} \iff u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0$.

Para obtener un vector ortogonal a $\vec{v} = (a, b)$ de forma rápida, basta con intercambiar las coordenadas y cambiar el signo de una: $\vec{v}_\perp = (-b, a)$. Si además queremos que el vector tenga módulo 1, realizamos la normalización: $\vec{u}_{unitario} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}$.

Existen diferentes maneras de expresar la misma recta según los datos disponibles:

1. Ecuación Vectorial: $(x, y) = (x_0, y_0) + t(d_1, d_2)$
2. Ecuaciones Paramétricas: $\begin{cases} x = x_0 + t d_1 \\ y = y_0 + t d_2 \end{cases}$
3. Ecuación Continua: $\frac{x - x_0}{d_1} = \frac{y - y_0}{d_2}$ (siempre que $d_1, d_2 \neq 0$).

A partir de las anteriores, llegamos a las formas más utilizadas en cálculo:

• Ecuación General o Implícita: $Ax + By + C = 0$. En esta forma, el vector normal (perpendicular) a la recta es $\vec{n} = (A, B)$ y el vector director es $\vec{d} = (-B, A)$.
• Ecuación Explícita: $y = mx + n$, donde $m$ es la pendiente y $n$ la ordenada en el origen.
• Ecuación Punto-Pendiente: $y - y_0 = m(x - x_0)$. Es la más útil cuando conocemos un punto y la inclinación.

La pendiente ($m$) representa la inclinación de la recta y se relaciona con el vector director $\vec{d} = (d_1, d_2)$ mediante $m = \frac{d_2}{d_1}$. También es igual a la tangente del ángulo que forma la recta con el eje OX positivo: $m = \tan(\alpha)$.

Los puntos de corte con los ejes se obtienen:

• Con el eje OX: haciendo $y = 0$.
• Con el eje OY: haciendo $x = 0$ (el valor resultante es la ordenada en el origen $n$).

Dadas dos rectas $r: Ax + By + C = 0$ y $s: A'x + B'y + C' = 0$, estudiamos su relación comparando sus coeficientes:

1. Secantes: Si $\frac{A}{A'} \neq \frac{B}{B'}$. Se cortan en un único punto (sistema determinado).
2. Paralelas: Si $\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} \neq \frac{C}{C'}$. No tienen puntos en común.
3. Coincidentes: Si $\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'}$. Son la misma recta.

Un haz de rectas es un conjunto de infinitas rectas que comparten una característica común:

• Haz de rectas paralelas: Todas tienen la misma pendiente $m$. Su ecuación es $y = mx + k$, variando $k$.
• Haz de rectas secantes: Todas pasan por un punto fijo $P(x_0, y_0)$. Su ecuación es $y - y_0 = m(x - x_0)$, variando $m$.

El ángulo $\alpha$ que forman dos rectas $r$ y $s$ es el menor de los ángulos que forman sus vectores directores $\vec{d_r}$ y $\vec{d_s}$. $\cos(\alpha) = \frac{|\vec{d_r} \cdot \vec{d_s}|}{|\vec{d_r}| \cdot |\vec{d_s}|}$ Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es $-1$: $m_r \cdot m_s = -1$.

• Entre dos puntos $A$ y $B$: Es el módulo del vector $\vec{AB}$. $d(A, B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
• De un punto $P(x_p, y_p)$ a una recta $r: Ax + By + C = 0$: $d(P, r) = \frac{|A x_p + B y_p + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
• Entre rectas paralelas: Se elige un punto cualquiera de una recta y se calcula la distancia a la otra.

• Punto medio $M$ de un segmento $AB$: $M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right)$.
• Simétrico de un punto $P$ respecto a $Q$: Es el punto $P'$ tal que $Q$ es el punto medio del segmento $PP'$.
• Simétrico respecto a una recta: Se traza una perpendicular a la recta que pase por $P$, se halla el punto de corte $M$ (proyección) y se busca $P'$ tal que $M$ sea el punto medio.

Para calcular el área de un triángulo de vértices $A, B$ y $C$:

1. Podemos usar la fórmula clásica: $Area = \frac{base \cdot altura}{2}$, donde la base es $d(A, B)$ y la altura es $d(C, r_{AB})$.
2. Mediante determinantes: $Area = \frac{1}{2} | \det(\vec{AB}, \vec{AC}) |$.

El baricentro (centro de gravedad) de un triángulo se calcula promediando sus coordenadas: $G = \frac{A+B+C}{3}$.