Funciones elementales y sus propiedades

Una función $f$ es una relación entre dos conjuntos, de forma que a cada elemento $x$ del conjunto inicial (variable independiente) le corresponde un único elemento $y$ del conjunto final (variable dependiente). Se denota como $y = f(x)$.

El dominio de una función ($Dom(f)$) es el conjunto de todos los valores de $x$ para los cuales existe la función. El cálculo analítico depende del tipo de expresión:

• Polinómicas: Su dominio es siempre $\mathbb{R}$.
• Racionales: $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$. El dominio es $\mathbb{R} - \{x \mid Q(x) = 0\}$.
• Irracionales (índice par): $\sqrt[n]{g(x)}$. El dominio es $\{x \mid g(x) \geq 0\}$.
• Logarítmicas: $\log(g(x))$. El dominio es $\{x \mid g(x) > 0\}$.

La imagen o recorrido ($Im(f)$) es el conjunto de valores que toma la variable $y$. Es vital distinguir entre el dominio (eje X) y el recorrido (eje Y) para analizar correctamente una gráfica.

El estudio de la simetría permite ahorrar trabajo en la representación gráfica:

1. Simetría Par (respecto al eje Y): Se cumple si $f(-x) = f(x)$. La gráfica es un espejo respecto al eje vertical. Ejemplo: $f(x) = x^2$.
2. Simetría Impar (respecto al origen): Se cumple si $f(-x) = -f(x)$. La gráfica presenta una rotación de 180º respecto al punto $(0,0)$. Ejemplo: $f(x) = x^3$.

Una función es periódica si su comportamiento se repite cada cierto intervalo de longitud $T$ (periodo), es decir, $f(x + T) = f(x)$. Es característica de las funciones trigonométricas.

La monotonía describe si una función crece o decrece:

• Creciente: Si al aumentar $x$, aumenta $f(x)$.
• Decreciente: Si al aumentar $x$, disminuye $f(x)$.

Los extremos relativos son los puntos donde la función pasa de crecer a decrecer (máximo relativo) o de decrecer a crecer (mínimo relativo). Si un valor es el mayor o menor de todo el dominio, se denomina extremo absoluto.

Una función está acotada superiormente si existe un número $K$ tal que $f(x) \leq K$ para todo $x$, e inferiormente si $f(x) \geq k$.

Las funciones de primer grado (lineales) tienen la forma $f(x) = mx + n$.

• $m$: Pendiente (inclinación). Si $m > 0$ crece; si $m < 0$ decrece.
• $n$: Ordenada en el origen (punto de corte con el eje Y).

Las funciones de segundo grado (cuadráticas) son parábolas de forma $f(x) = ax^2 + bx + c$.

• Si $a > 0$, la parábola es convexa ($\cup$); si $a < 0$, es cóncava ($\cap$).
• El vértice se localiza en $x_v = \frac{-b}{2a}$.
• El eje de simetría es la recta vertical que pasa por el vértice.

Son de la forma $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$. Su comportamiento en el infinito depende del término de mayor grado ($a_n x^n$). Para dibujarlas, es crucial hallar las raíces (puntos de corte con el eje X) resolviendo $P(x) = 0$. La multiplicidad de una raíz indica si la función atraviesa el eje (multiplicidad impar) o rebota en él (multiplicidad par).

Son cocientes de polinomios. Su rasgo principal son las asíntotas:

1. Verticales: Se encuentran en los valores que anulan el denominador (y no el numerador).
2. Horizontales: Si el grado del numerador es igual o menor al del denominador. Se calculan mediante el límite al infinito.
3. Oblicuas: Si el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador.

Si un valor anula tanto al numerador como al denominador, puede existir una discontinuidad evitable (un "agujero" en la gráfica).

Tiene la forma $f(x) = a^x$, con $a > 0$ y $a \neq 1$.

• Si $a > 1$: La función es estrictamente creciente (crecimiento exponencial).
• Si $0 < a < 1$: La función es estrictamente decreciente.
• Todas pasan por $(0, 1)$ y tienen una asíntota horizontal en $y = 0$.

El número $e$ ($2,7182\dots$) es la base más importante en ciencia, dando lugar a $f(x) = e^x$.

Es la inversa de la exponencial: $f(x) = \log_a(x)$.

• Dominio: $(0, +\infty)$. No existen logaritmos de números negativos ni de cero.
• Asíntota: Tiene una asíntota vertical en $x = 0$.
• Pasa siempre por el punto $(1, 0)$.

Para resolver ecuaciones exponenciales, intentamos igualar bases o aplicamos logaritmos. En las logarítmicas, aplicamos las propiedades:

• $\log(A \cdot B) = \log A + \log B$
• $\log(A / B) = \log A - \log B$
• $\log(A^n) = n \cdot \log A$ Es obligatorio comprobar las soluciones en las ecuaciones logarítmicas para asegurar que no resulten argumentos negativos.

• Seno: $f(x) = \sin(x)$. Oscila entre -1 y 1. Es impar y su periodo es $2\pi$.
• Coseno: $f(x) = \cos(x)$. Similar al seno pero desplazada $\pi/2$. Es par. La amplitud es el valor máximo que alcanza la función desde su eje central.

$f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

• Presenta asíntotas verticales donde $\cos(x) = 0$ ($x = \frac{\pi}{2} + k\pi$).
• Su periodo es $\pi$ radianes. Su recorrido es $(-\infty, +\infty)$.

Se utilizan para hallar el ángulo conocido el valor de la razón trigonométrica:

• $y = \arcsin(x)$, $y = \arccos(x)$, $y = \arctan(x)$. Para que sean funciones, se restringe su dominio y recorrido (ramas principales). Gráficamente, son simétricas a las originales respecto a la recta $y = x$.

Son funciones que cambian su expresión analítica según el intervalo de la variable $x$. $f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$ Para estudiarlas, analizamos la continuidad en los puntos de unión verificando si los límites laterales coinciden con el valor de la función.

La función $f(x) = |x|$ se define como: $|x| = \begin{cases} -x & \text{si } x < 0 \\ x & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$ Para representar $|f(x)|$, dibujamos $f(x)$ y reflejamos hacia arriba (hacemos positiva) cualquier parte de la gráfica que quede por debajo del eje X.

• Parte Entera ($E(x)$): Asigna a cada número el mayor entero menor o igual a él. Su gráfica es una "escalera".
• Mantisa: $f(x) = x - E(x)$. Representa la parte decimal y es una función periódica de periodo 1.

Dadas $f$ y $g$, la composición $(g \circ f)(x)$ significa aplicar primero $f$ y luego $g$: $g(f(x))$. Importante: El dominio de $(g \circ f)$ son los valores de $x$ tales que $x \in Dom(f)$ y $f(x) \in Dom(g)$.

Si una función es inyectiva (cada valor de $y$ proviene de un único $x$), tiene inversa $f^{-1}$.

1. Para calcularla: Intercambiamos $x$ por $y$ y despejamos la nueva $y$.
2. Propiedad gráfica: $f$ y $f^{-1}$ son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante ($y = x$).

A partir de una función $f(x)$, podemos obtener variaciones:

• Verticales: $f(x) + k$ (sube $k$) o $f(x) - k$ (baja $k$).
• Horizontales: $f(x + k)$ (izquierda $k$) o $f(x - k)$ (derecha $k$).
• Reflexiones: $-f(x)$ (respecto al eje X) y $f(-x)$ (respecto al eje Y).
• Estiramientos: $a \cdot f(x)$ con $a > 1$ estira verticalmente la función.