Sistema diédrico: intersecciones y distancias

Cuando dos planos genéricos ($P$ y $Q$) se cortan, su recta de intersección ($i$) queda definida por los puntos donde se cortan sus trazas homónimas:

• $V'$ (Traza vertical de la recta): Es el punto donde se cortan las trazas verticales de los planos ($P' \cap Q'$).
• $H$ (Traza horizontal de la recta): Es el punto donde se cortan las trazas horizontales de los planos ($P \cap Q$).

La recta de intersección $i$ siempre pasa por los puntos de corte de las trazas del mismo nombre. Una vez obtenidos $V'$ y $H$, unimos sus proyecciones para obtener $i'$ e $i$. Es vital recordar que la visibilidad de esta recta cambia al atravesar los planos de proyección, pasando de vista a oculta (trazos discontinuos) cuando entra en cuadrantes distintos al primero.

En ocasiones, el método directo falla porque las trazas no se cortan dentro del papel o son paralelas.

1. Trazas paralelas a la Línea de Tierra: La recta de intersección también será paralela a la Línea de Tierra. Se resuelve habitualmente mediante el plano de perfil.
2. Trazas que se cortan fuera del papel: Se utilizan planos auxiliares (normalmente horizontales o frontales). Un plano horizontal auxiliar cortará a los dos planos dados según dos rectas horizontales; donde estas se corten, obtendremos un punto de la recta de intersección buscada.

Este es el caso más sencillo y útil. Si uno de los planos es proyectante (por ejemplo, vertical), toda la intersección debe estar contenida en su traza oblicua.

• En un plano proyectante horizontal $P$, la proyección horizontal de la recta de intersección $i$ coincidirá con la traza $P$.
• Esto se conoce como traza acumulativa: el plano "obliga" a que todo lo contenido en él se proyecte sobre una sola línea. Esta propiedad simplifica enormemente el cálculo de secciones en poliedros.

El procedimiento estándar sigue tres pasos:

1. Contener la recta $r$ en un plano auxiliar $Q$ (normalmente un plano proyectante, por facilidad).
2. Hallar la recta de intersección $i$ entre el plano dado $P$ y el auxiliar $Q$.
3. El punto buscado $I$ es la intersección entre la recta original $r$ y la recta $i$ recién hallada ($I = r \cap i$).

Una vez hallado el punto de intersección (punto de "mordedura"), debemos determinar qué parte de la recta queda por delante/encima del plano y cuál queda oculta.

• Se analiza un punto de cruce aparente entre la recta y una de las trazas del plano.
• El elemento con mayor cota o alejamiento será el visto.
• La recta cambia de visibilidad (de continua a discontinua) precisamente en el punto de intersección $I$.

Estos planos tienen sus trazas $P'$ y $P$ paralelas a la línea de tierra. Para hallar la intersección con una recta, lo más eficaz es trasladar ambos elementos a la tercera proyección (plano de perfil). En el perfil, el plano se ve como una recta y el punto de intersección es inmediato. Luego, devolvemos las coordenadas del punto a las proyecciones horizontal y vertical.

La distancia entre dos puntos $A(a, a')$ y $B(b, b')$ es el segmento que los une. Para hallar su verdadera magnitud (VM), construimos un triángulo rectángulo:

• Un cateto es la proyección del segmento (por ejemplo, la distancia horizontal entre $a$ y $b$).
• El otro cateto es la diferencia de cotas ($\Delta z$) o diferencia de alejamientos ($\Delta y$) entre los puntos.
• La hipotenusa de este triángulo es la distancia real. $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

Para medir la distancia de un punto $A$ a un plano $P$:

1. Trazamos una recta perpendicular al plano $P$ que pase por $A$. (Recordad: las proyecciones de la recta son perpendiculares a las trazas del plano).
2. Hallamos el punto de intersección $I$ de esa recta con el plano $P$.
3. La distancia buscada es la verdadera magnitud del segmento $AI$.

Es el segmento perpendicular desde el punto $A$ a la recta $r$.

1. Creamos un plano auxiliar que pase por $A$ y sea perpendicular a $r$.
2. Hallamos el punto $I$ de intersección entre la recta $r$ y dicho plano.
3. Calculamos la verdadera magnitud del segmento $AI$.

Como la distancia es constante en todos los puntos, el procedimiento es:

1. Tomar un punto arbitrario $A$ en uno de los planos (por ejemplo, en el plano $P$).
2. Calcular la distancia de ese punto $A$ al otro plano $Q$ siguiendo el método de "punto a plano" (perpendicular e intersección).

1. Elegimos un punto $A$ cualquiera en la recta $r$.
2. Aplicamos el procedimiento de distancia de un punto a una recta respecto a la recta $s$.
3. Alternativamente, podemos usar un plano perpendicular a ambas que las cortará en dos puntos; la distancia entre ellos es la solución.

Si una recta $r$ es paralela a un plano $P$, todos sus puntos están a la misma distancia del plano.

• Basta con elegir un punto cualquiera $R$ de la recta y hallar su distancia al plano.
• Es fundamental verificar primero que la recta es realmente paralela al plano (debe existir una recta en el plano que sea paralela a $r$).

Consiste en reducir el problema a una distancia punto-plano:

1. Por un punto de la recta $r$, trazamos una recta $s'$ paralela a $s$.
2. Las rectas $r$ y $s'$ definen un plano $P$ que contiene a $r$ y es paralelo a $s$.
3. La distancia entre las dos rectas originales es igual a la distancia de cualquier punto de $s$ al plano $P$.

La perpendicular común es el segmento más corto que une ambas rectas y es perpendicular a ambas a la vez.

• Se puede resolver mediante cambios de plano. El objetivo es poner una de las rectas como "recta de punta" (proyectada como un punto).
• En esa proyección, la distancia mínima es la perpendicular trazada desde ese punto a la otra recta.
• Este segmento se sitúa luego en las proyecciones originales mediante el proceso inverso.

El estudio de distancias e intersecciones es vital para:

• Gálibos: Determinar si un vehículo o estructura cabe bajo un puente o túnel.
• Tuberías y conducciones: Calcular la separación mínima necesaria para evitar interferencias térmicas o mecánicas entre conductos que se cruzan a distintos niveles.
• Minería y Arquitectura: Cálculo de cimentaciones y cruces de túneles donde la precisión es crítica para la seguridad estructural.