Sistema diédrico: punto, recta, plano

El espacio se divide mediante dos planos infinitos y perpendiculares: el Plano Horizontal (PH) y el Plano Vertical (PV). La intersección de ambos planos se denomina Línea de Tierra (LT), que se representa con dos pequeños trazos en sus extremos inferiores.

Estos planos dividen el espacio en cuatro regiones llamadas cuadrantes o diedros:

1. Primer Cuadrante: Encima del PH y delante del PV.
2. Segundo Cuadrante: Encima del PH y detrás del PV.
3. Tercer Cuadrante: Debajo del PH y detrás del PV.
4. Cuarto Cuadrante: Debajo del PH y delante del PV.

Además, existen los Planos Bisectores, que dividen los cuadrantes en dos partes iguales (ángulos de 45º). El primer bisector atraviesa el 1º y 3º cuadrante, mientras que el segundo bisector atraviesa el 2º y 4º.

Para representar un punto $A$ en el papel (después de abatir el PH sobre el PV), utilizamos sus proyecciones y coordenadas:

• Cota ($z$): Distancia del punto al PH. Se mide sobre la proyección vertical $a'$. Si es positiva, el punto está por encima de la LT.
• Alejamiento ($y$): Distancia del punto al PV. Se mide sobre la proyección horizontal $a$. Si es positiva, el punto está delante de la LT.
• Desviación ($x$): Posición lateral respecto a un origen en la LT.

Posiciones especiales:

• Puntos en los planos: Si un punto tiene cota 0, está en el PH. Si tiene alejamiento 0, está en el PV.
• Puntos en los bisectores: Un punto pertenece a un bisector si el valor absoluto de su cota es igual al de su alejamiento ($|z| = |y|$).

La visibilidad técnica dicta que solo lo situado en el primer cuadrante se considera visto directamente.

• Simetría: Dos puntos son simétricos respecto al PH si tienen igual alejamiento y cotas opuestas. Son simétricos respecto a la LT si tienen cotas y alejamientos opuestos.
• Tercera proyección: En ocasiones, para deshacer ambigüedades, se utiliza un Plano de Perfil (PP) lateral, obteniendo la proyección $a''$.

Una recta $r$ queda definida por sus proyecciones $r'$ (vertical) y $r$ (horizontal). El concepto más importante son las trazas: los puntos donde la recta atraviesa los planos de proyección.

• Traza Horizontal ($h, h'$): Punto donde la recta corta al PH. En este punto, la cota es cero ($h'$ está en la LT).
• Traza Vertical ($v, v'$): Punto donde la recta corta al PV. En este punto, el alejamiento es cero ($v$ está en la LT).

La recta cambia de cuadrante al pasar por sus trazas, lo que define sus partes vistas (trazo continuo) y ocultas (trazo discontinuo).

Existen posiciones notables que simplifican los problemas:

1. Horizontal de plano: Paralela al PH. Su proyección vertical $r'$ es paralela a la LT.
2. Frontal de plano: Paralela al PV. Su proyección horizontal $r$ es paralela a la LT.
3. Recta de Perfil: Perpendicular a la LT. Sus proyecciones se confunden en una línea perpendicular a la LT; requiere tercera proyección para hallar sus trazas.
4. Vertical: Perpendicular al PH (se proyecta como un punto en horizontal).
5. De punta: Perpendicular al PV (se proyecta como un punto en vertical).

• Punto en recta: Para que un punto $P$ pertenezca a una recta $r$, su proyección $p$ debe estar en $r$ y $p'$ en $r'$.
• Intersección: Dos rectas se cortan si tienen un punto común cuyas proyecciones coinciden en la misma línea de referencia perpendicular a la LT. Si no coinciden, las rectas se cruzan en el espacio.

Un plano se representa mediante sus trazas, que son las rectas de intersección del plano con los planos de proyección:

• $\alpha_1$ (o $h_{\alpha}$): Intersección con el PH.
• $\alpha_2$ (o $v'_{\alpha}$): Intersección con el PV. Ambas trazas deben cortarse siempre en un mismo punto sobre la Línea de Tierra, a menos que sean paralelas a ella.

1. Plano Oblicuo: Trazas oblicuas a la LT.
2. Planos Proyectantes: Perpendiculares a uno de los planos de proyección. El proyectante horizontal tiene su traza vertical perpendicular a la LT.
3. Plano Paralelo a la LT: Ambas trazas son paralelas a la línea de tierra.
4. Plano que pasa por la LT: Sus trazas coinciden en la línea de tierra. Se define mediante un punto auxiliar fuera de ella.
5. Plano de Perfil: Perpendicular a la LT y a ambos planos de proyección.

Para que una recta pertenezca a un plano, las trazas de la recta deben estar sobre las trazas del plano ($v'$ de la recta en $\alpha_2$ y $h$ de la recta en $\alpha_1$).

• Recta de máxima pendiente: Recta del plano perpendicular a la traza horizontal $\alpha_1$. Define la inclinación del plano respecto al PH.
• Recta de máxima inclinación: Recta del plano perpendicular a la traza vertical $\alpha_2$.

Un punto pertenece a un plano si pertenece a una recta contenida en dicho plano. Esta es la regla de oro para resolver problemas de pertenencia. En planos proyectantes, la pertenencia es directa: si un plano es proyectante horizontal, cualquier punto contenido en él debe tener su proyección horizontal sobre la traza del plano.

La intersección de dos planos es, generalmente, una recta.

• Si las trazas se cortan dentro del límite del papel, la recta de intersección $i$ une los puntos de corte de las trazas homónimas ($V' = \alpha_2 \cap \beta_2$ y $H = \alpha_1 \cap \beta_1$).
• Si las trazas son paralelas (planos paralelos a LT), se recurre a la tercera proyección o a un plano auxiliar.

Se utiliza el método del plano auxiliar:

1. Se contiene la recta $r$ en un plano auxiliar $\omega$ (normalmente un plano proyectante).
2. Se busca la recta de intersección $i$ entre el plano dado $\alpha$ y el auxiliar $\omega$.
3. El punto $I$ donde se cortan la recta original $r$ y la intersección $i$ es el punto buscado.

• Entre rectas: Dos rectas son paralelas si sus proyecciones homónimas son paralelas ($r // s$ y $r' // s'$). Excepción: rectas de perfil.
• Entre planos: Dos planos son paralelos si sus trazas son paralelas entre sí ($\alpha_1 // \beta_1$ y $\alpha_2 // \beta_2$).
• Recta y plano: Una recta es paralela a un plano si es paralela a alguna recta contenida en ese plano.

A diferencia del paralelismo, la perpendicularidad no se mantiene directamente en las proyecciones excepto en casos específicos (Teorema de las tres perpendiculares).

• Recta perpendicular a plano: Una recta es perpendicular a un plano si sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano ($r \perp \alpha_1$ y $r' \perp \alpha_2$).
• Plano perpendicular a otro: Un plano es perpendicular a otro si contiene una recta perpendicular al segundo.

La resolución de problemas complejos suele combinar estos conceptos. Por ejemplo, para trazar un plano paralelo a otro a una distancia $d$, primero debemos trazar una recta perpendicular, realizar un cambio de plano o abatimiento para medir la distancia real, y finalmente situar el nuevo plano.