Sistema diédrico: abatimientos y giros

El abatimiento consiste en hacer girar un plano alrededor de una de sus trazas hasta hacerlo coincidir con uno de los planos de proyección (normalmente el horizontal o el vertical).

• Charnela ($ch$): Es el eje de giro del abatimiento. Generalmente se utiliza la traza horizontal del plano ($h_{\alpha}$) si abatimos sobre el plano horizontal, o la traza vertical ($v'_{\alpha}$) si lo hacemos sobre el vertical.
• Relación: Al abatir, cualquier elemento contenido en el plano conserva sus propiedades métricas (distancias y ángulos). El plano abatido se denota habitualmente entre paréntesis, por ejemplo: $(P)$ o $P_0$.

Para abatir un punto $A(a, a')$ perteneciente a un plano $\alpha$, debemos determinar su posición $(A)$ en el plano de proyección. La construcción se basa en el triángulo de abatimiento:

1. Desde la proyección horizontal $a$, trazamos una perpendicular y una paralela a la charnela ($h_{\alpha}$).
2. En la paralela, transportamos la cota del punto ($z_A$).
3. La hipotenusa de ese triángulo rectángulo es el radio de giro.
4. Con centro en la intersección de la perpendicular y la charnela, y radio igual a la hipotenusa, cortamos a la perpendicular para hallar $(A)$.

$R = \sqrt{d(a, ch)^2 + z_A^2}$

Para abatir una recta, basta con abatir dos de sus puntos. Sin embargo, es más eficiente usar sus trazas. La traza que hace de charnela es un punto doble (no se mueve). La otra traza se abate describiendo un arco de circunferencia.

• Rectas horizontales/frontales: Son muy útiles porque en el abatimiento se mantienen paralelas a la charnela.
• Conservación: En el plano abatido, los cuadrados son cuadrados y los ángulos se miden con transportador directamente. El abatimiento es una operación reversible, proceso conocido como desabatimiento.

El abatimiento es la herramienta principal para hallar medidas reales:

• Distancia entre dos puntos: Se crea un plano auxiliar que contenga a ambos puntos y se abate.
• Ángulo entre dos rectas: Si las rectas se cortan, definen un plano. Al abatir dicho plano, el ángulo entre $(r)$ y $(s)$ es el ángulo real.
• Ángulo de una recta con los planos de proyección: Se abate el proyectante de la recta.

Si el enunciado pide dibujar un hexágono contenido en un plano oblicuo $\alpha$:

1. Se abate el plano $\alpha$.
2. En el abatimiento, se dibuja el hexágono con sus medidas reales (lado, apotema, etc.).
3. Se desabaten los vértices uno a uno. Para ello, se suelen usar rectas horizontales de plano que pasen por cada vértice, llevando sus proyecciones de vuelta al sistema diédrico original.

Existe una relación geométrica de afinidad entre la proyección de una figura y su forma abatida:

• El eje de afinidad es la propia charnela.
• La dirección de afinidad es siempre perpendicular a la charnela.
• Los puntos correspondientes (proyección y abatido) están alineados en rectas perpendiculares a la traza-charnela. Esto permite simplificar el dibujo sin necesidad de repetir el triángulo de abatimiento para cada punto.

El giro consiste en mover un elemento geométrico alrededor de una recta fija llamada eje de giro ($e$), manteniendo constante la distancia al eje.

1. Eje: Suele ser una recta vertical (perpendicular al PH) o una recta de punta (perpendicular al PV).
2. Amplitud: El ángulo $\phi$ que se desea girar.
3. Sentido: Horario o antihorario.

• Giro de un punto: Si el eje es vertical, la proyección horizontal $a$ describe un arco de circunferencia, mientras que la proyección vertical $a'$ se desplaza por una línea de tierra auxiliar, manteniendo su cota constante.
• Giro de una recta: Se giran dos de sus puntos. El objetivo habitual es transformar una recta oblicua en una recta notable (horizontal o frontal) para ver su verdadera magnitud en una de las proyecciones.
  • Para hacerla horizontal: el eje de giro debe ser vertical y pasar por un punto de la recta.

Girar un plano es equivalente a girar sus líneas de máxima pendiente o sus trazas.

• Si giramos un plano oblicuo hasta convertirlo en proyectante, facilitamos enormemente el cálculo de distancias y secciones. Un giro permite situar cualquier plano en posición favorable sin cambiar el observador.

Muchos problemas combinan conceptos. Para hallar la distancia de un punto $P$ a un plano $\alpha$:

1. Trazar una recta perpendicular a $\alpha$ desde $P$.
2. Hallar el punto de intersección $I$ entre recta y plano.
3. Determinar la verdadera magnitud del segmento $PI$ mediante un giro (haciendo la recta frontal) o un abatimiento (triángulo de distancias).

• Ángulo entre dos planos (diedro): Se obtiene mediante la sección recta. Se corta el diedro por un plano perpendicular a la arista. El ángulo de esa sección, una vez abatida, es el ángulo buscado.
• Ángulo recta-plano: Es el complementario del ángulo que forma la recta con la perpendicular al plano.

Cuando un plano oblicuo secciona un poliedro (prisma, pirámide), la sección resultante en proyecciones está deformada.

1. Se determinan los puntos de corte de las aristas con el plano.
2. Se abaten estos puntos sobre el PH o PV para obtener la verdadera magnitud de la sección.
3. Esta sección real es imprescindible para realizar el desarrollo de la superficie lateral del cuerpo geométrico, ya que en el desarrollo todas las caras y cortes deben dibujarse con sus medidas exactas.

Resumen de estudio: Recuerda que mientras el abatimiento "tumba" el plano sobre el papel, el giro cambia la orientación del objeto respecto a los planos de proyección. Ambos son herramientas intercambiables, pero el abatimiento suele ser más intuitivo para figuras planas y el giro para posicionar rectas en verdadera magnitud.