Matrices y operaciones

Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en una tabla de $m$ filas y $n$ columnas. Esta estructura nos permite manejar información de forma compacta.

• Dimensión: Se expresa como $m \times n$. Por ejemplo, una matriz de $3 \times 2$ tiene 3 filas y 2 columnas.
• Elementos ($a_{ij}$): Cada número dentro de la matriz se identifica por su posición. El subíndice $i$ indica la fila y el $j$ la columna.
• Igualdad de matrices: Dos matrices son iguales si y solo si tienen la misma dimensión y todos sus elementos correspondientes son idénticos ($a_{ij} = b_{ij}$).

Dependiendo de su estructura, las matrices reciben nombres específicos:

1. Matriz Fila: Formada por una única fila ($1 \times n$).
2. Matriz Columna: Formada por una única columna ($m \times 1$).
3. Matriz Rectangular: Cuando el número de filas es distinto al de columnas ($m \neq n$).
4. Matriz Cuadrada: Tiene el mismo número de filas que de columnas ($m = n$). Se dice que es de "orden $n$".
5. Matriz Nula: Todos sus elementos son cero. Se denota como $0$.

Dentro de las matrices cuadradas, existen elementos y tipos fundamentales:

• Diagonal Principal: Formada por los elementos donde $i = j$ ($a_{11}, a_{22}, \dots$).
• Diagonal Secundaria: Formada por los elementos que cumplen $i + j = n + 1$.
• Matriz Triangular Superior: Los elementos por debajo de la diagonal principal son cero.
• Matriz Triangular Inferior: Los elementos por encima de la diagonal principal son cero.
• Matriz Diagonal: Todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero.
• Matriz Identidad ($I$): Es una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son 1. Es el elemento neutro del producto.

Para sumar o restar dos matrices, es condición indispensable que tengan la misma dimensión. La operación se realiza elemento a elemento: $(A \pm B)_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}$

Propiedades:

• Conmutativa: $A + B = B + A$.
• Asociativa: $(A + B) + C = A + (B + C)$.
• Elemento neutro: La matriz nula ($A + 0 = A$).
• Elemento opuesto: $-A$, tal que $A + (-A) = 0$.

Multiplicar una matriz $A$ por un número real $k$ consiste en multiplicar cada uno de los elementos de la matriz por dicho número: $k \cdot A = (k \cdot a_{ij})$

Propiedades destacadas:

• Distributiva respecto a la suma de matrices: $k(A + B) = kA + kB$.
• Extracción de factor común: Si todos los elementos de una matriz son múltiplos de un número, este puede "sacarse" fuera de la matriz como escalar.

La matriz traspuesta ($A^t$) se obtiene intercambiando filas por columnas. Si $A$ es $m \times n$, entonces $A^t$ será $n \times m$.

Casos especiales:

• Matriz Simétrica: Si $A = A^t$.
• Matriz Antisimétrica: Si $A = -A^t$ (esto implica que su diagonal principal debe estar formada por ceros).

Propiedad clave: $(A + B)^t = A^t + B^t$ y $(k \cdot A)^t = k \cdot A^t$.

El producto de dos matrices $A$ y $B$ no se realiza elemento a elemento. Se sigue la regla de "fila por columna".

• Condición de compatibilidad: Para poder multiplicar $A \cdot B$, el número de columnas de $A$ debe ser igual al número de filas de $B$.
• Dimensión resultante: Si $A$ es $(m \times n)$ y $B$ es $(n \times p)$, la matriz resultante $C$ será de dimensión $(m \times p)$.

Ejemplo de cálculo: El elemento $c_{11}$ se obtiene multiplicando la primera fila de $A$ por la primera columna de $B$ y sumando los resultados.

1. Asociativa: $A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C$.
2. Distributiva: $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$.
3. Elemento Neutro: $A \cdot I = I \cdot A = A$.
4. NO es Conmutativo: En general, $A \cdot B \neq B \cdot A$. Este es el error más común en los exámenes.

Solo se pueden elevar a una potencia las matrices cuadradas. $A^2 = A \cdot A$, $A^3 = A^2 \cdot A$, etc. Para calcular $A^n$, solemos buscar un patrón:

• Matrices Cíclicas: Aquellas que después de unas cuantas potencias vuelven a ser $I$ o $A$.
• Método de Inducción: Calculamos $A^2, A^3$ y $A^4$ hasta encontrar una ley general que dependa de $n$.

Dada una matriz cuadrada $A$, su inversa $A^{-1}$ es aquella que cumple: $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$

• Matriz Regular: Tiene inversa (su determinante es distinto de cero).
• Matriz Singular: No tiene inversa.

Este método consiste en transformar la matriz $A$ en la identidad mediante operaciones elementales por filas.

1. Escribimos la matriz ampliada $(A | I)$.
2. Realizamos operaciones (intercambio de filas, multiplicar fila por número, sumar filas) hasta que el bloque izquierdo sea $I$.
3. El bloque derecho resultante será $A^{-1}$.

• $(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$ (¡Cuidado! El orden se invierte).
• $(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t$.
• $(A^{-1})^{-1} = A$.

Para resolver ecuaciones del tipo $A \cdot X = B$, no podemos "pasar dividiendo" la matriz $A$. Debemos usar la matriz inversa.

• Si $A \cdot X = B \implies X = A^{-1} \cdot B$ (Premultiplicamos por $A^{-1}$).
• Si $X \cdot A = B \implies X = B \cdot A^{-1}$ (Postmultiplicamos por $A^{-1}$).

Es vital mantener el orden de la multiplicación debido a la no conmutatividad.

Son sistemas donde las incógnitas son matrices $X$ e $Y$. Se resuelven de forma análoga a los sistemas numéricos, preferiblemente por el método de reducción. Ejemplo:

Sumando ambas ecuaciones: $2X = A + B \implies X = \frac{1}{2}(A + B)$.

En Ciencias Sociales, las matrices representan tablas de datos.

• Filas: Pueden representar productos, países o sectores.
• Columnas: Pueden representar precios, años o cantidades.

Interpretación del producto: Si multiplicamos una matriz de "Cantidades" ($Q$) por una matriz de "Precios" ($P$), el resultado representa el "Coste Total" o "Ingresos". La modelización correcta de la realidad en forma de matriz es el primer paso para resolver problemas de optimización y existencias en economía.