Matrices y determinantes

Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en $m$ filas y $n$ columnas. Decimos que la dimensión de la matriz es $m \times n$. El elemento que ocupa la fila $i$ y la columna $j$ se denota como $a_{ij}$.

Existen tipos especiales que debemos reconocer:

• Matriz Fila y Columna: Tienen una sola fila ($1 \times n$) o una sola columna ($m \times 1$).
• Matriz Nula: Todos sus elementos son cero ($0$).
• Matriz Cuadrada: Tiene el mismo número de filas que de columnas ($n = m$). Dentro de estas, destacamos:
  • Matriz Triangular: Superior (ceros debajo de la diagonal principal) o Inferior (ceros encima).
  • Matriz Diagonal: Solo tiene elementos distintos de cero en la diagonal principal.
• Matriz Identidad ($I$): Es una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal son $1$. Actúa como el número 1 en el producto de matrices.

Para sumar o restar matrices, estas deben tener la misma dimensión. La operación se realiza elemento a elemento: $(A+B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$.

El producto de un escalar $k$ por una matriz $A$ consiste en multiplicar todos los elementos de $A$ por $k$.

• Propiedades: Distributiva respecto a la suma de matrices y escalares, y asociativa.

La trasposición consiste en intercambiar filas por columnas. La matriz traspuesta de $A$ se escribe $A^t$.

• Propiedad clave: $(A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t$ (el orden se invierte).

El producto $A \cdot B$ solo es posible si el número de columnas de $A$ es igual al número de filas de $B$. Si $A$ es $m \times n$ y $B$ es $n \times p$, la matriz resultante $C$ será de dimensión $m \times p$.

Algoritmo: El elemento $c_{ij}$ se obtiene multiplicando escalarmente la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$. $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$

El producto de matrices NO es conmutativo en general ($A \cdot B \neq B \cdot A$).

• Matriz Simétrica: Si $A = A^t$.
• Matriz Antisímetrica: Si $A = -A^t$ (los elementos de la diagonal deben ser cero).

El determinante es un número real asociado a una matriz cuadrada.

• Orden 2: $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$.
• Orden 3 (Regla de Sarrus): Se suman los productos de la diagonal principal y sus paralelas, y se restan los de la diagonal secundaria y las suyas. $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33})$

Estas reglas ahorran mucho tiempo en los exámenes de la EBAU:

1. $|A| = |A^t|$.
2. Si intercambiamos dos filas (o columnas), el determinante cambia de signo.
3. Si una fila es nula, o dos filas son iguales/proporcionales, el determinante es cero.
4. Si multiplicamos una fila por un número $k$, el determinante queda multiplicado por $k$.
5. Determinante del producto: $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$.

Para matrices de orden $n > 3$, usamos el Teorema de Laplace: El determinante es igual a la suma de los elementos de una fila elegida multiplicados por sus respectivos adjuntos.

• Menor complementario ($M_{ij}$): Determinante de la matriz resultante al eliminar la fila $i$ y columna $j$.
• Adjunto ($A_{ij}$): $A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$.

Consejo: Antes de desarrollar, usa el Método de Gauss (hacer ceros en una columna mediante combinaciones lineales) para facilitar el cálculo.

Una matriz cuadrada $A$ es regular (invertible) si existe otra matriz $A^{-1}$ tal que $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$.

• Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$).
• Si $|A| = 0$, la matriz se llama singular.

Es el método más mecánico y menos propenso a errores de arrastre:

1. Calcular el determinante $|A|$.
2. Hallar la matriz de los adjuntos $Adj(A)$.
3. Trasponer la matriz de los adjuntos $(Adj(A))^t$.
4. Aplicar la fórmula: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$

Consiste en colocar la matriz $A$ junto a la identidad $(A | I)$ y realizar operaciones elementales por filas hasta que el lado izquierdo sea la identidad. El lado derecho será entonces $A^{-1}$. Es muy útil para matrices grandes o cuando se requiere programar el algoritmo, aunque en exámenes suele ser más rápido el método de la adjunta para orden 3.

El rango de una matriz es el número de filas (o columnas) que son linealmente independientes. Una fila es dependiente si puede expresarse como combinación lineal de las demás (ej: $F_3 = 2F_1 + F_2$).

Es el método preferido cuando hay muchos ceros o parámetros. Consiste en hacer ceros por debajo de la diagonal principal.

• El rango es el número de filas no nulas al finalizar el proceso.
• Si aparece una fila de ceros, esa fila era linealmente dependiente.

El rango es el orden del mayor menor no nulo que se pueda encontrar en la matriz. Estrategia de orlado:

1. Buscamos un elemento $\neq 0$ (Rango $\geq 1$).
2. Buscamos un menor de orden 2 no nulo que contenga al anterior (Rango $\geq 2$).
3. "Orlamos" (añadimos fila y columna) para buscar menores de orden 3, y así sucesivamente.

Resolver una ecuación matricial implica despejar la matriz $X$. A diferencia del álgebra normal, el orden importa.

• Si $A \cdot X = B \implies X = A^{-1} \cdot B$ (Multiplicamos por la izquierda).
• Si $X \cdot A = B \implies X = B \cdot A^{-1}$ (Multiplicamos por la derecha).

Pasos críticos:

1. Agrupar los términos con $X$ a un lado.
2. Extraer factor común (cuidando si $X$ está a la derecha o izquierda).
3. Calcular la inversa de la matriz resultante y despejar.

Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como $AX = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes, $X$ el vector de incógnitas y $B$ el vector de términos independientes. Si $|A| \neq 0$, la solución única es $X = A^{-1}B$.

A veces se pide calcular $A^{n}$ (por ejemplo, $A^{100}$). No se multiplica 100 veces.

1. Calculamos $A^2, A^3, A^4$.
2. Buscamos un patrón o recurrencia (los elementos crecen aritméticamente, cambian de signo, etc.).
3. Si $A^k = I$, la matriz es cíclica.
4. Si $A^2 = A$, es idempotente.

Ejemplo de patrón: Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, entonces $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Por inducción: $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.