Resolución de sistemas lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas de primer grado. La forma general de una ecuación lineal es: $a_{1}x_1 + a_{2}x_2 + ... + a_{n}x_n = b$ Donde:

• Coeficientes ($a_i$): Números reales que multiplican a las incógnitas.
• Incógnitas ($x_i$): Las variables cuyo valor queremos determinar.
• Término independiente ($b$): El valor constante al otro lado de la igualdad.

Una solución del sistema es un conjunto de valores para las incógnitas que satisface simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.

Para trabajar con sistemas de forma eficiente, los escribimos en formato de matrices. Consideremos el sistema: $\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{cases}$

Podemos representarlo como $A \cdot X = B$, donde:

1. Matriz de coeficientes ($A$): Contiene solo los números que acompañan a las letras.
2. Matriz ampliada ($A^*$ o $A|B$): Es la matriz $A$ a la que se le añade la columna de los términos independientes. Es la herramienta clave para el Teorema de Rouché-Frobenius.
3. Vector de incógnitas ($X$): Columna con las variables $(x, y, z)$.
4. Vector de términos independientes ($B$): Columna con los resultados $(b_1, b_2, b_3)$.

Dependiendo de si tienen o no solución, y de cuántas tengan, los clasificamos en:

• Sistema Compatible Determinado (SCD): Tiene una única solución.
• Sistema Compatible Indeterminado (SCI): Tiene infinitas soluciones.
• Sistema Incompatible (SI): No tiene ninguna solución (las ecuaciones se contradicen).

El rango de una matriz es el número de filas (o columnas) linealmente independientes. En el contexto de sistemas, el Teorema de Rouché-Frobenius es la regla de oro para saber si un sistema se puede resolver antes de intentarlo.

Para un sistema con $n$ incógnitas:

1. Si $Rg(A) < Rg(A^*)$, el sistema es Incompatible (SI).
2. Si $Rg(A) = Rg(A^*)$, el sistema es Compatible.
   • Si $Rg(A) = Rg(A^*) = n$, es Determinado (SCD).
   • Si $Rg(A) = Rg(A^*) < n$, es Indeterminado (SCI).

Discutir un sistema consiste en determinar su tipo según el rango.

• En un SCI, la diferencia entre el número de incógnitas y el rango ($n - Rg(A)$) nos da los grados de libertad (el número de parámetros necesarios para expresar la solución).
• Un sistema siempre es compatible si es homogéneo (términos independientes igual a cero), ya que al menos tiene la solución trivial $(0,0,0)$.

Es el ejercicio típico de EBAU. Se nos da un sistema donde algunos coeficientes son una letra (ej. '$k$' o '$a$'). Pasos para el análisis:

1. Calcular el determinante de la matriz $A$ y ver para qué valores de $k$ es igual a cero.
2. Caso 1: Si $|A| \neq 0 \Rightarrow Rg(A) = 3 = Rg(A^*) = n \Rightarrow$ SCD.
3. Caso 2: Si $|A| = 0$, sustituimos el valor de $k$ y estudiamos los rangos de $A$ y $A^*$ por separado usando menores o Gauss.

La Regla de Cramer es muy cómoda pero solo se puede usar si se cumplen dos requisitos:

1. El sistema debe tener el mismo número de ecuaciones que de incógnitas (sistema cuadrado).
2. El determinante de la matriz de coeficientes debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$), es decir, debe ser un SCD.

Para hallar cada incógnita, creamos una matriz nueva para cada variable sustituyendo la columna correspondiente por la columna de términos independientes ($B$):

$x = \frac{|A_x|}{|A|}, \quad y = \frac{|A_y|}{|A|}, \quad z = \frac{|A_z|}{|A|}$

Donde $|A_x|$ es el determinante resultante de cambiar la primera columna de $A$ por $B$.

Si tenemos un SCI (por ejemplo, 2 ecuaciones y 3 incógnitas con rango 2), podemos usar Cramer:

1. Elegimos un menor de orden 2 distinto de cero (nuestra submatriz principal).
2. La incógnita que no forma parte del menor pasa al otro lado como si fuera parte del término independiente (actúa como parámetro $\lambda$).
3. Resolvemos el sistema de $2 \times 2$ resultante en función de $\lambda$.

El método de Gauss consiste en hacer "ceros" por debajo de la diagonal principal para obtener un sistema escalonado. Las operaciones permitidas son:

• Multiplicar una fila por un número distinto de cero.
• Sumar o restar filas entre sí.
• Intercambiar el orden de las filas.

El objetivo es simplificar el sistema hasta que la última ecuación sea fácil de resolver, permitiendo la "sustitución regresiva" hacia arriba.

Cuando al aplicar Gauss una fila se anula por completo ($0=0$), estamos ante un SCI.

• Si tenemos 3 incógnitas y 2 ecuaciones útiles, asignamos a una variable un parámetro (ej. $z = \lambda$).
• Despejamos las demás en función de esa $\lambda$.
• La solución se expresa como un conjunto infinito: $(1+\lambda, 2\lambda, \lambda)$.

Un sistema es homogéneo si todos sus términos independientes son cero.

• Solución Trivial: Siempre tienen la solución $(0, 0, 0)$.
• Soluciones no triviales: Solo existen si el determinante de la matriz de coeficientes es cero ($|A|=0$), lo que lo convierte en un SCI con infinitas soluciones además de la $(0,0,0)$.

La mayor dificultad suele ser traducir el enunciado a ecuaciones. Consejos de planteamiento:

1. Identificar incógnitas: ¿Qué me preguntan? (Ej: $x=$ precio del kilo de manzanas).
2. Escribir relaciones: "El doble de A es igual a B más 5" $\rightarrow 2x = y + 5$.
3. Unidades: Asegurarse de que toda la ecuación esté en las mismas unidades (euros, kg, horas).

• Si el sistema es Incompatible, significa que las condiciones del problema son imposibles de cumplir a la vez.
• Si es Indeterminado, hay varias opciones que cumplen el objetivo (frecuente en optimización de recursos).
• Los valores negativos en contextos físicos (pesos, precios) suelen indicar un error en el planteamiento o que el problema no tiene solución lógica en la realidad.

Para obtener la máxima puntuación:

1. Presentación: Escribe siempre la matriz $A$ y la ampliada $A^*$ claramente.
2. Justificación: Cita el Teorema de Rouché-Frobenius explícitamente al clasificar el sistema.
3. Orden: Si resuelves por Gauss, indica las operaciones entre filas (ej. $F_2 \rightarrow F_2 - 2F_1$).
4. Comprobación: Si te sobra tiempo, sustituye los valores obtenidos en la ecuación original que no hayas usado al final para verificar que el resultado es correcto.