Semejanza y Teorema de Tales

En geometría, decimos que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma, aunque su tamaño sea distinto. Para que esta condición se cumpla de manera rigurosa, deben darse dos requisitos simultáneos:

1. Igualdad de ángulos: Los ángulos correspondientes (u homólogos) deben ser exactamente iguales.
2. Proporcionalidad de lados: Los segmentos que forman la figura deben mantener una relación constante entre sí.

Imagina una fotografía que amplías en tu teléfono: la imagen no se deforma porque todos sus elementos crecen en la misma proporción. Si solo se estirara a lo ancho, perdería la semejanza. Dos figuras son semejantes si existe una correspondencia biunívoca entre sus puntos tal que la distancia entre dos puntos cualesquiera de la primera y sus homólogos en la segunda es constante.

La razón de semejanza ($k$) es el número por el cual multiplicamos las longitudes de una figura para obtener las longitudes de la figura semejante. Se calcula dividiendo la longitud de un lado de la figura imagen ($a'$) entre la longitud de su lado correspondiente en la figura original ($a$):

$k = \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}$

• Si $k > 1$, la figura resultante es una ampliación.
• Si $k < 1$, la figura resultante es una reducción.
• Si $k = 1$, las figuras son congruentes (idénticas).

En el ámbito práctico, esto se traduce en escalas. Una escala $1:50$ en un plano significa que $k = \frac{1}{50}$, es decir, que cada centímetro del papel representa $50$ centímetros en la realidad.

Para dibujar una figura semejante a otra, el método más utilizado es el método de radiación (u homotecia). Consiste en elegir un punto llamado "centro de semejanza" ($O$) y trazar semirrectas que pasen por todos los vértices de la figura original.

Si queremos una figura con razón $k=2$, mediremos la distancia desde $O$ hasta cada vértice y la duplicaremos sobre la misma semirrecta. Al unir los nuevos puntos, obtendremos una figura proporcional. Este proceso requiere precisión con la regla y el compás para asegurar que los nuevos lados sean paralelos a los originales, manteniendo así los ángulos intactos.

El matemático griego Tales de Mileto enunció uno de los pilares de la geometría: "Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, los segmentos determinados en una de las transversales son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra".

Si tenemos dos rectas $r$ y $s$ cortadas por paralelas, se cumple que: $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$

El Teorema de Tales es la base de la proporcionalidad geométrica y permite relacionar medidas lineales sin necesidad de conocer los ángulos exactos, siempre que se garantice el paralelismo.

Una aplicación fundamental es la división de un segmento en partes iguales. Si queremos dividir un segmento $AB$ en 3 partes iguales sin usar una regla graduada (o si la medida es difícil, como $7,4$ cm), trazamos una semirrecta auxiliar desde $A$, marcamos 3 unidades iguales con el compás, unimos el último punto con $B$ y trazamos paralelas.

También permite hallar el cuarto proporcional. Dados tres segmentos $a, b$ y $c$, el cuarto proporcional $x$ es aquel que cumple: $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$

Se dice que dos triángulos están en posición de Tales cuando tienen un ángulo común y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. En esta configuración, los triángulos están "encajados" uno dentro del otro.

Esta disposición implica directamente que los dos triángulos son semejantes, ya que comparten todos sus ángulos y sus lados son proporcionales. Es la herramienta principal para resolver problemas de sombras y alturas.

Para saber si dos triángulos son semejantes, no es necesario comprobar todos sus lados y ángulos. Basta con que cumplan uno de los siguientes criterios:

1. Criterio AA (Ángulo-Ángulo): Tienen dos ángulos iguales. (Al tener dos iguales, el tercero también lo será obligatoriamente).
2. Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado): Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual.
3. Criterio LLL (Lado-Lado-Lado): Sus tres lados son proporcionales.

En los triángulos rectángulos, la semejanza ofrece propiedades métricas muy potentes. Si trazamos la altura $h$ sobre la hipotenusa, dividimos el triángulo original en dos triángulos rectángulos más pequeños que son semejantes entre sí y semejantes al original. De aquí surgen:

• Teorema de la altura: $h^2 = m \cdot n$ (donde $m$ y $n$ son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa).
• Teorema del cateto: $b^2 = m \cdot a$ (el cuadrado de un cateto es igual a su proyección por la hipotenusa completa).

Para resolver problemas, el primer paso es identificar los datos homólogos.

• Ejemplo: Un poste de $2$ metros proyecta una sombra de $3$ metros. ¿Qué altura tiene un edificio cuya sombra mide $12$ metros?
• Planteamiento: Como los rayos del sol son paralelos, los triángulos son semejantes. $\frac{\text{Altura edificio}}{\text{Altura poste}} = \frac{\text{Sombra edificio}}{\text{Sombra poste}} \rightarrow \frac{x}{2} = \frac{12}{3}$
• Resultado: $x = \frac{12 \cdot 2}{3} = 8$ metros.

Si dos figuras tienen una razón de semejanza $k$, sus perímetros ($P$ y $P'$) mantienen esa misma relación. $P' = k \cdot P$ Esto se debe a que el perímetro es una suma de longitudes lineales. Si cada lado se multiplica por $k$, la suma total también queda multiplicada por $k$.

Aquí ocurre un cambio fundamental. El área es una magnitud bidimensional (longitud $\times$ longitud). Por tanto, si los lados se multiplican por $k$, el área se multiplica por $k \cdot k$. La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza ($k^2$). $A' = k^2 \cdot A$ Ejemplo: Si duplicamos los lados de un cuadrado ($k=2$), su área se hace 4 veces mayor ($2^2 = 4$).

Siguiendo la misma lógica, el volumen es una magnitud tridimensional. La relación entre los volúmenes ($V$ y $V'$) de cuerpos semejantes es el cubo de la razón de semejanza. $V' = k^3 \cdot V$ Esto es crucial en ingeniería: si haces una maqueta a escala $1:10$, el volumen de la maqueta es $1.000$ veces menor ($10^3$) que el real, lo que afecta drásticamente al peso y a la cantidad de material necesario.

La semejanza permite medir lo que no podemos tocar. Tales de Mileto calculó la altura de la pirámide de Keops comparando su sombra con la de un bastón. Otro método es el uso de espejos: si colocas un espejo en el suelo y te alejas hasta ver la cima de una torre reflejada, se forman dos triángulos rectángulos semejantes por la ley de reflexión de la luz, permitiendo calcular la altura de la torre con tu propia estatura y distancias en el suelo.

Los mapas son la aplicación más cotidiana de la semejanza. Una escala 1:250.000 nos indica que $1$ cm en el mapa son $2,5$ km en la realidad.

• Cálculo de distancia real: $d_{real} = d_{mapa} \cdot \text{denominador de la escala}$.
• Conversión: Es vital recordar pasar los centímetros a kilómetros o metros según convenga tras realizar el cálculo.

En el mundo digital, la semejanza aparece en la relación de aspecto (como 16:9 o 4:3). Cuando reescalamos una imagen (hacemos zoom), el software intenta mantener la semejanza para evitar el pixelado o la deformación. Si una imagen de $1920 \times 1080$ se reduce a la mitad, su nueva resolución será $960 \times 540$, manteniendo $k = 0,5$.

Los arquitectos utilizan la semejanza para crear prototipos. En el diseño asistido por ordenador (CAD), los objetos se dibujan en unidades abstractas y luego se les aplica una razón de semejanza para su impresión o fabricación. La proporcionalidad asegura que todas las piezas encajen perfectamente en la estructura real tal como lo hacían en el modelo digital.