Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos expresiones algebraicas que deben cumplirse simultáneamente. La forma general de un sistema es:

$\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$

Donde:

• $x, y$: Son las incógnitas (valores desconocidos que buscamos).
• $a, b, a', b'$: Son los coeficientes de las incógnitas.
• $c, c'$: Son los términos independientes.

Resolver un sistema consiste en encontrar el par de valores $(x, y)$ que hace que ambas igualdades sean ciertas al mismo tiempo.

Dependiendo de si las ecuaciones se contradicen, se repiten o se cruzan, clasificamos los sistemas en:

Cada ecuación lineal de primer grado representa una recta en el plano cartesiano.

• Si las rectas se cortan en un punto, ese punto son las coordenadas de la solución (SCD).
• Si las rectas son paralelas, nunca se tocan, por lo que no hay solución (SI).
• Si las rectas son coincidentes (una encima de otra), hay infinitos puntos comunes (SCI).

Este método es ideal cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1 o -1.

1. Aislar: Se despeja una incógnita en una de las dos ecuaciones.
2. Sustituir: Se introduce la expresión obtenida en la otra ecuación.
3. Resolver: Se resuelve la ecuación de primer grado resultante para hallar la primera variable.
4. Calcular: Se sustituye el valor hallado en la expresión del paso 1 para obtener la segunda variable.

Consiste en aislar la misma incógnita en ambas ecuaciones.

1. Se despeja, por ejemplo, la $x$ en la ecuación 1 y en la ecuación 2.
2. Se igualan ambas expresiones: $Expresión_1 = Expresión_2$.
3. Se resuelve la ecuación para hallar $y$.
4. Se sustituye $y$ en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar $x$.

Es el método más eficiente cuando los coeficientes no son la unidad.

1. Se preparan las ecuaciones multiplicándolas por números adecuados para que los coeficientes de una incógnita sean opuestos (ejemplo: $3x$ y $-3x$).
2. Se suman o restan las ecuaciones miembro a miembro para eliminar esa incógnita.
3. Se resuelve la ecuación de una sola variable resultante.
4. Se repite el proceso para la otra variable o se sustituye el valor hallado.

No hay un método "mejor" absoluto, sino uno más conveniente según el caso:

• Usa Sustitución si ves una incógnita "sola" (ej. $x + 3y = 5$).
• Usa Igualación si es fácil despejar la misma letra en ambas.
• Usa Reducción si los números son grandes o no hay coeficientes iguales a 1. Recuerda siempre comprobar la solución sustituyendo los valores obtenidos en las dos ecuaciones originales.

Para representar las rectas, debemos despejar la variable $y$ (función explícita: $y = mx + n$).

• Damos valores arbitrarios a $x$ (normalmente $0, 1, -1$) para obtener sus correspondientes $y$.
• Es recomendable obtener al menos tres puntos para asegurar que no hemos cometido errores de cálculo, ya que los tres deben estar alineados.

Una vez dibujadas las rectas en el eje de coordenadas:

1. Si se cruzan, la solución es el punto de intersección $P(x, y)$.
2. Si son paralelas, escribimos "No existe solución".
3. Si solo vemos una recta, escribimos "Infinitas soluciones".

El uso de software como GeoGebra o calculadoras gráficas permite verificar resultados rápidamente. Al introducir las ecuaciones, el software calcula el punto de intersección exacto. Esto ayuda a visualizar cómo cambia la posición de la recta al variar la pendiente ($m$) o la ordenada en el origen ($n$).

Es el paso crítico. Debemos identificar qué nos preguntan y asignarles las letras $x$ e $y$. Luego, buscamos las dos condiciones que establece el enunciado para montar el sistema.

• Números: "Un número es el doble que otro" $\rightarrow x = 2y$.
• Edades: Es vital recordar que el tiempo pasa igual para todos. Si hoy tengo $x$ años, dentro de 5 años tendré $x + 5$.
  • Ejemplo: "Hace 3 años, la edad de A era el triple que la de B". Ecuación: $(x - 3) = 3(y - 3)$.

• Mezclas: Se basan en la cantidad total y el precio/concentración total.
  • Ecuación 1 (cantidad): $x + y = Cantidad Total$.
  • Ecuación 2 (valor): $Precio_A \cdot x + Precio_B \cdot y = Precio_{mezcla} \cdot Total$.
• Móviles: Usamos la fórmula $distancia = velocidad \cdot tiempo$.

Son los más habituales en la vida cotidiana.

• Ejemplo: "2 refrescos y 3 bolsas de patatas cuestan 8€. 1 refresco y 4 bolsas cuestan 9€".
  • Sistema: $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x + 4y = 9 \end{cases}$

Antes de aplicar cualquier método (sustitución, reducción...), debemos simplificar el sistema para que tenga la forma $ax + by = c$.

1. Quitar paréntesis usando la propiedad distributiva.
2. Eliminar denominadores calculando el mínimo común múltiplo (m.c.m.).
3. Agrupar términos semejantes ($x$ e $y$ a la izquierda, números a la derecha).

Dos sistemas son equivalentes si tienen la misma solución. Podemos transformar un sistema en otro equivalente multiplicando una ecuación entera por un número distinto de cero o sumándole la otra ecuación. Esto es la base del método de reducción.

A veces nos piden analizar un sistema sin resolverlo, observando la proporcionalidad de sus coeficientes.

• Si $\frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$, el sistema siempre será Compatible Determinado, sin importar los términos independientes.
• Si los coeficientes de $x$ e $y$ son proporcionales, el sistema será Incompatible o Compatible Indeterminado dependiendo del término independiente.

Ejemplo de análisis rápido: $\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases}$ Como $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$, las ecuaciones son en realidad la misma (la segunda es el doble de la primera). Es un SCI con infinitas soluciones.