Combinatoria y recuento

El principio multiplicativo se aplica cuando un experimento se realiza en varias etapas sucesivas o independientes. Si una primera decisión puede tomarse de $n$ formas y una segunda decisión de $m$ formas, el número total de maneras de tomar ambas decisiones es el producto $n \cdot m$.

• Ejemplo: Si tienes 3 pantalones y 4 camisetas, ¿de cuántas formas puedes vestirte?
  • Cálculo: $3 \times 4 = 12$ combinaciones posibles.
• El principio multiplicativo se usa cuando los eventos ocurren uno después del otro (conectiva "y").

El principio aditivo se aplica cuando los eventos son mutuamente excluyentes; es decir, no pueden ocurrir al mismo tiempo. Si tenemos varias alternativas para realizar una acción, el número total de formas es la suma de las opciones de cada alternativa.

• Ejemplo: Para ir de Madrid a Barcelona puedes elegir entre 3 líneas de autobús o 2 líneas de tren.
  • Cálculo: $3 + 2 = 5$ opciones en total.
• Se utiliza cuando debemos elegir una opción entre varios grupos distintos (conectiva "o").

Un diagrama de árbol es una herramienta gráfica que permite visualizar todas las posibilidades de un experimento compuesto. Cada "rama" del árbol representa una elección posible.

1. Se parte de un punto inicial (nodo).
2. Se dibujan tantas ramas como opciones existan en el primer paso.
3. De cada final de rama, nacen nuevas ramas para el segundo paso, y así sucesivamente.
4. El recuento visual de los "caminos" finales nos da el total de resultados.

Es especialmente útil cuando el número de opciones no es muy elevado o cuando existen restricciones que cambian las opciones disponibles en cada paso.

Las variaciones sin repetición de $n$ elementos tomados de $r$ en $r$ ($V_{n,r}$) son los distintos grupos que se pueden formar con $r$ elementos elegidos de un total de $n$, de forma que en cada grupo los elementos sean distintos y el orden influya.

La fórmula es: $V_{n,r} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots \text{ hasta } r \text{ factores}$ O también: $V_{n,r} = \frac{n!}{(n-r)!}$

• Ejemplo: En una carrera con 10 corredores, ¿de cuántas formas pueden repartirse las medallas de oro, plata y bronce?
  • $V_{10,3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ formas.

En las variaciones con repetición ($VR_{n,r}$), los elementos pueden aparecer más de una vez en el mismo grupo. El número de elementos elegidos $r$ puede incluso ser mayor que el total disponible $n$.

La fórmula es muy sencilla: $VR_{n,r} = n^r$

• Ejemplo: ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?
  • Como se pueden repetir los dígitos (ej. 111, 121), usamos $VR_{5,3} = 5^3 = 125$.
• Las contraseñas y códigos PIN son el ejemplo clásico de variaciones con repetición.

El factorial de un número natural $n$, denotado como $n!$, es el producto de todos los números naturales desde 1 hasta $n$. $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots 1$

• Por definición, $0! = 1$.
• Simplificación: Para calcular $\frac{10!}{8!}$, no hace falta calcular ambos números grandes. Podemos escribir $10!$ como $10 \cdot 9 \cdot 8!$ y simplificar: $\frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{8!} = 90$.

Las permutaciones ordinarias de $n$ elementos ($P_n$) son las distintas formas de ordenar esos $n$ elementos.

$P_n = n!$

• Ejemplo: ¿De cuántas formas pueden sentarse 5 personas en un banco de 5 asientos?
  • $P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ formas.

Se dan cuando en el conjunto total de $n$ elementos, algunos de ellos son idénticos entre sí. Si un elemento se repite $a$ veces, otro $b$ veces, etc., la fórmula es:

$PR_n^{a,b,c...} = \frac{n!}{a! \cdot b! \cdot c! \dots}$

• Ejemplo (Anagramas): ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de "CASA"?
  • $n=4$, la 'A' se repite 2 veces.
  • $PR_4^2 = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ palabras.

Se utilizan cuando los elementos se disponen en círculo (alrededor de una mesa, en una pulsera). Al no haber un primer o último lugar fijo, debemos fijar un elemento como referencia para evitar contar la misma rotación varias veces.

$PC_n = (n-1)!$

• Ejemplo: 6 personas en una mesa redonda: $PC_6 = (6-1)! = 5! = 120$.

Las combinaciones ordinarias de $n$ elementos tomados de $r$ en $r$ ($C_{n,r}$) son los distintos subconjuntos de $r$ elementos que se pueden formar.

$C_{n,r} = \frac{V_{n,r}}{P_r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

• Ejemplo: Elegir un equipo de 3 alumnos en una clase de 20.
  • No importa quién es el primero o el segundo, solo quién está en el equipo.
  • $C_{20,3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1140$.

El valor $C_{n,r}$ se representa habitualmente mediante el número combinatorio: $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ Se lee "$n$ sobre $r$". Algunas propiedades clave son:

1. $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$
2. $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ (Propiedad simétrica)

El Triángulo de Pascal es una construcción geométrica de los números combinatorios. Cada fila empieza y termina en 1, y cada número interior es la suma de los dos que tiene encima.

Los números de la fila $n$ del triángulo son los coeficientes del desarrollo del Binomio de Newton $(a+b)^n$. Por ejemplo: $(a+b)^2 = 1a^2 + 2ab + 1b^2$ $(a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 1b^3$

Para decidir el modelo, hazte estas tres preguntas en orden:

1. ¿Importa el orden?
   • NO → Combinaciones.
   • SÍ → Pasa a la pregunta 2.
2. ¿Se usan todos los elementos del conjunto?
   • SÍ → Permutaciones.
   • NO → Variaciones.
3. ¿Se pueden repetir los elementos?
   • SÍ → Modelos con repetición.
   • NO → Modelos ordinarios.

A veces, el problema impone condiciones especiales:

• Elementos fijos: Si en una carrera de 8 el primero ya está decidido, el problema se reduce a ordenar los 7 restantes ($P_7$).
• Elementos juntos: Si dos personas deben sentarse juntas, se consideran como un "bloque" único. Calculamos las permutaciones del bloque con los demás y luego multiplicamos por las permutaciones internas del bloque.
• Método del complementario: A veces es más fácil calcular el total de casos y restar los casos que no queremos.

• Loterías: En la Primitiva (6 de 49), el orden no importa y no hay repetición: $C_{49,6}$.
• Tecnología: El número de direcciones IP o matrículas de coche se calcula mediante el principio multiplicativo y variaciones con repetición.
• Reparto de tareas: Si las tareas son iguales, usamos combinaciones; si son distintas (Presidente, Secretario), usamos variaciones.