Combinatoria y cálculo de probabilidades

Antes de aplicar fórmulas complejas, debemos entender la lógica básica:

1. Principio de adición: Si un evento A puede ocurrir de $n$ maneras y un evento B de $m$ maneras, y ambos son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir a la vez), entonces A o B pueden ocurrir de $n + m$ maneras.
2. Principio de multiplicación: Si una acción se compone de dos etapas sucesivas, donde la primera puede hacerse de $n$ formas y la segunda de $m$ formas, el total de posibilidades es $n \cdot m$.
3. Diagramas de árbol: Es una herramienta gráfica para visualizar los principios anteriores. Cada ramificación representa una elección posible.

En estas técnicas, el orden de los elementos sí importa.

• Variaciones ordinarias ($V_{n,k}$): Seleccionamos $k$ elementos de un total de $n$ sin repetirlos. $V_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$
• Variaciones con repetición ($VR_{n,k}$): Igual que el anterior, pero podemos repetir elementos. $VR_{n,k} = n^k$
• Permutaciones ordinarias ($P_n$): Es un caso particular de variación donde usamos todos los elementos ($k=n$). $P_n = n! = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 1$
• Permutaciones con repetición ($PR_n^{a,b,c}$): Cuando algunos elementos son idénticos entre sí. $PR_n^{a,b,c} = \frac{n!}{a! \cdot b! \cdot c!}$

El factorial de un número ($n!$) es el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta $n$. Por definición, $0! = 1$.

En las combinaciones, el orden no importa. Solo nos interesa qué elementos han sido seleccionados.

• Combinaciones ordinarias ($C_{n,k}$): $C_{n,k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
• Propiedades de los números combinatorios:
  1. Simetría: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$
  2. Suma: $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$

El Triángulo de Pascal (o de Tartaglia) permite calcular estos números de forma visual, donde cada número es la suma de los dos superiores. Esto es esencial para el Binomio de Newton: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

Un experimento es aleatorio si su resultado no se puede predecir con exactitud.

• Espacio muestral ($E$): Conjunto de todos los resultados posibles.
• Suceso: Cualquier subconjunto del espacio muestral.
• Operaciones:
  • Unión ($A \cup B$): Ocurre A, ocurre B o ambos.
  • Intersección ($A \cap B$): Ocurren ambos a la vez.
  • Complementario ($\bar{A}$): Todo lo que no está en A.

Las Leyes de De Morgan son vitales para simplificar operaciones: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ y $\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$.

La Regla de Laplace se aplica cuando todos los sucesos elementales son equiprobables: $P(A) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}}$

Axiomas de Kolmogórov:

1. $0 \leq P(A) \leq 1$
2. $P(E) = 1$
3. Si $A \cap B = \emptyset$, entonces $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

De aquí derivamos que $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ y para cualquier suceso, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Cuando no conocemos la probabilidad a priori, usamos la frecuencia relativa. La Ley de los Grandes Números indica que al repetir un experimento muchísimas veces, la frecuencia relativa tiende a estabilizarse en torno a la probabilidad teórica.

La probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B se define como: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

• Sucesos independientes: La ocurrencia de uno no afecta al otro. Se cumple que $P(A|B) = P(A)$ y por tanto $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
• Sucesos dependientes: La ocurrencia de uno varía la probabilidad del otro. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$.

1. Teorema de la Probabilidad Total: Si tenemos una partición del espacio muestral $A_1, A_2, ..., A_n$, la probabilidad de un suceso B es: $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B|A_i)$
2. Teorema de Bayes: Permite calcular probabilidades "a posteriori" (causas dado un efecto). $P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{P(B)}$

Para resolver problemas complejos, las tablas de doble entrada ayudan a organizar datos cruzados, mientras que los diagramas de árbol son ideales para experimentos compuestos donde las probabilidades cambian en cada paso.

Una variable aleatoria (V.A.) es una función que asigna un número real a cada resultado del espacio muestral. Si toma valores aislados, es discreta.

• Función de probabilidad: Asigna a cada valor $x_i$ su probabilidad $p_i$.
• Esperanza matemática ($\mu$): $\sum x_i \cdot p_i$ (valor medio esperado).
• Varianza ($\sigma^2$): $\sum (x_i^2 \cdot p_i) - \mu^2$.

Se aplica a experimentos con solo dos resultados posibles (éxito/fracaso) que se repiten $n$ veces de forma independiente. Se denota como $B(n, p)$.

• $n$: número de ensayos.
• $p$: probabilidad de éxito.
• $q = 1-p$: probabilidad de fracaso.

La probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos es: $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ ==En la distribución binomial, la media es $\mu = n \cdot p$ y la desviación típica es $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$==.

Es la distribución más importante en estadística. Su gráfica es la Campana de Gauss, simétrica respecto a la media $\mu$. Se denota como $N(\mu, \sigma)$. La Normal Estándar $N(0, 1)$ es la que permite el uso de tablas precalculadas.

Para usar la tabla con cualquier variable $X \sim N(\mu, \sigma)$, debemos realizar la tipificación: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ Esto convierte nuestra variable en una $Z \sim N(0, 1)$. Las tablas siempre dan la probabilidad acumulada $P(Z \leq z)$.

Cuando $n$ es muy grande, trabajar con la fórmula de la binomial es impracticable. Según el teorema de Moivre-Laplace, si $n \cdot p \geq 5$ y $n \cdot q \geq 5$, podemos aproximar: $X \sim B(n, p) \implies X' \sim N(np, \sqrt{npq})$

Corrección de Yates (continuidad): Como pasamos de una variable discreta a una continua, debemos ajustar los límites:

• $P(X = k) \approx P(k-0.5 \leq X' \leq k+0.5)$
• $P(X \leq k) \approx P(X' \leq k+0.5)$