Probabilidad condicionada y compuesta

En la vida real, a menudo recibimos información adicional que cambia nuestra percepción del riesgo o la probabilidad. La probabilidad condicionada estudia cómo varía la probabilidad de que ocurra un suceso $A$, sabiendo de antemano que ha ocurrido otro suceso $B$.

Utilizamos la notación $P(A|B)$, que se lee como "probabilidad de $A$ dado $B$". El aspecto más crítico aquí es la restricción del espacio muestral: al saber que $B$ ha ocurrido, nuestro "universo" de posibilidades ya no es el espacio muestral total $E$, sino únicamente el subconjunto $B$.

• Ejemplo: Si lanzamos un dado de 6 caras, la probabilidad de sacar un 2 es $1/6$. Pero si alguien nos dice: "ha salido un número par" (suceso $B$), el espacio muestral se reduce a $\{2, 4, 6\}$. Ahora, la probabilidad de que sea un 2 es $1/3$.

Para calcular esta probabilidad de forma matemática, relacionamos la probabilidad de que ocurran ambos a la vez (intersección) con la probabilidad del suceso que ya conocemos (la condición).

La fórmula fundamental es: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Es imprescindible que $P(B) > 0$, ya que no podemos condicionar sobre algo que es imposible que ocurra. Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad condicionada tanto a partir de probabilidades teóricas como de frecuencias relativas.

Las tablas de contingencia son herramientas excelentes para visualizar la probabilidad condicionada. Organizan los datos cruzando dos variables o características.

• Probabilidad de ser fumador: $P(F) = 35/100 = 0,35$.
• Probabilidad de ser fumador sabiendo que es hombre: Miramos solo la fila de "Hombre". $P(F|H) = 20/50 = 0,40$.

Al analizar los perfiles de fila o columna, estamos calculando probabilidades condicionadas que nos ayudan a entender si existe relación entre las variables.

Decimos que dos sucesos $A$ y $B$ son independientes cuando el hecho de que ocurra uno no altera en absoluto la probabilidad de que ocurra el otro. En términos matemáticos, esto se expresa como: $P(A|B) = P(A)$ $P(B|A) = P(B)$

Es vital no confundir sucesos independientes con sucesos incompatibles. Los sucesos incompatibles (o mutuamente excluyentes) son aquellos que no pueden ocurrir a la vez ($A \cap B = \emptyset$). Si dos sucesos son incompatibles y ocurre uno, la probabilidad del otro pasa a ser cero, por lo que no son independientes.

La forma más rápida de comprobar si dos sucesos son independientes es mediante la regla del producto. Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Si esta igualdad no se cumple, decimos que los sucesos son dependientes. Esta propiedad es muy útil en experimentos complejos, ya que simplifica enormemente los cálculos cuando sabemos de antemano que no hay influencia entre los eventos.

Muchos errores de razonamiento (como la falacia del apostador) provienen de no comprender la independencia.

• Monedas y dados: Si lanzas una moneda 5 veces y sale cara en todas, la probabilidad de que salga cara en la sexta sigue siendo $1/2$. La moneda no tiene "memoria".
• Extracciones con reemplazamiento: Si sacamos una bola de una urna, anotamos su color y la devolvemos, la composición de la urna no cambia. Por tanto, la segunda extracción es independiente de la primera.

La probabilidad compuesta se refiere a la probabilidad de que ocurran varios sucesos de forma simultánea o sucesiva. Derivando de la fórmula de la probabilidad condicionada, obtenemos la regla del producto: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

Si los sucesos son más de dos, la fórmula se generaliza: $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)$

Un experimento simple es aquel que se realiza de una sola vez (lanzar un dado). Un experimento compuesto es una sucesión de experimentos simples (lanzar un dado y luego una moneda). El espacio muestral de un experimento compuesto es el producto cartesiano de los espacios muestrales simples. La probabilidad de cualquier resultado compuesto se calcula multiplicando las probabilidades de los sucesos simples que lo forman, teniendo en cuenta si hay dependencia.

Este es el ejemplo clásico de dependencia e independencia:

1. Con reemplazamiento: Los sucesos son independientes. La probabilidad se mantiene constante en cada paso.
2. Sin reemplazamiento: Los sucesos son dependientes. Cada vez que extraemos un objeto y no lo devolvemos, el espacio muestral disminuye y las probabilidades de los objetos restantes cambian.

• Ejemplo: Urna con 3 bolas rojas y 2 azules.
  • $P(R_1) = 3/5$.
  • Si no devolvemos la primera, $P(R_2|R_1) = 2/4$.

El diagrama de árbol es una representación gráfica que permite desglosar un experimento compuesto en etapas.

• Cada nodo representa un punto de decisión o evento.
• Cada rama que sale de un nodo representa un posible resultado.
• En cada rama escribimos la probabilidad de ese suceso.
• Regla de oro: La suma de las probabilidades de todas las ramas que salen de un mismo nodo debe ser siempre igual a 1.

Para resolver problemas usando el árbol, seguimos dos reglas fundamentales:

1. Multiplicación: Para hallar la probabilidad de un camino completo (suceso compuesto), multiplicamos las probabilidades de las ramas que lo forman.
2. Suma: Si un suceso final se puede conseguir a través de varios caminos distintos, sumamos las probabilidades de cada uno de esos caminos.

En genética, los árboles ayudan a predecir la herencia de alelos (por ejemplo, la probabilidad de que un hijo tenga ojos azules dado el genotipo de los padres). En juegos de azar, permiten calcular la probabilidad de ganar un torneo o una partida larga donde se requieren varios éxitos consecutivos.

A veces queremos saber la probabilidad de un suceso final $B$ que puede ocurrir a través de varias vías o "causas" ($A_1, A_2, ..., A_n$) que forman una partición del espacio muestral. La fórmula es: $P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + \dots + P(A_n) \cdot P(B|A_n)$ Es, en esencia, la suma de todas las rutas de un diagrama de árbol que terminan en el suceso $B$.

El Teorema de Bayes es uno de los pilares de la estadística moderna. Nos permite hacer el camino inverso: si sabemos que ha ocurrido el suceso final $B$, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido causado por $A_i$? $P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{P(B)}$ Donde $P(B)$ es el valor obtenido mediante el teorema de la probabilidad total. A $P(A_i|B)$ se le llama probabilidad a posteriori.

1. Diagnósticos médicos: Si un test da positivo, Bayes nos ayuda a calcular la probabilidad real de estar enfermo, teniendo en cuenta la tasa de falsos positivos y la prevalencia de la enfermedad.
2. Filtros de Spam: Los correos se clasifican como basura analizando la probabilidad de que aparezcan ciertas palabras ("oferta", "gratis") dado que el correo es spam.
3. Seguridad: Evaluar la probabilidad de que una alarma que ha sonado corresponda realmente a un robo y no a un fallo del sistema.

El Teorema de Bayes nos permite actualizar nuestro conocimiento a medida que recibimos nuevas evidencias.