Divisibilidad: múltiplos y divisores

Los múltiplos de un número son todos aquellos números que obtenemos al multiplicar dicho número por los números naturales ($0, 1, 2, 3, 4 \dots$). En términos sencillos, si un número $A$ contiene a un número $B$ una cantidad exacta de veces, decimos que $A$ es múltiplo de $B$.

Para obtener la lista de múltiplos de, por ejemplo, el número $4$, simplemente realizamos las multiplicaciones:

• $4 \times 0 = 0$
• $4 \times 1 = 4$
• $4 \times 2 = 8$
• $4 \times 3 = 12$
• $\dots$

El número cero es el múltiplo universal, ya que cualquier número multiplicado por $0$ da como resultado $0$. Por lo tanto, el $0$ es múltiplo de todos los números.

Los múltiplos tienen características muy específicas que nos ayudan a entender cómo se comportan los números:

1. Conjunto infinito: A diferencia de otros grupos de números, los múltiplos no tienen fin. Siempre podemos multiplicar por un número más grande, por lo que el conjunto de múltiplos es infinito.
2. El número en sí mismo: Todo número es múltiplo de sí mismo (excepto el $0$), ya que $n \times 1 = n$.
3. Identificación visual: En una tabla de multiplicar, todos los resultados de una fila o columna son los múltiplos del número que encabeza dicha fila.

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes, sin contar el cero.

Pasos para el cálculo por enumeración:

1. Escribimos los primeros múltiplos de cada número.
2. Identificamos los que se repiten en ambas listas (múltiplos comunes).
3. Elegimos el más pequeño de esos comunes.

Ejemplo: Buscar el m.c.m. de $3$ y $4$:

• Múltiplos de $3$: $\{0, 3, 6, 9, \mathbf{12}, 15, 18, 21, \mathbf{24} \dots\}$
• Múltiplos de $4$: $\{0, 4, 8, \mathbf{12}, 16, 20, \mathbf{24} \dots\}$
• Múltiplos comunes: $\{12, 24 \dots\}$
• m.c.m. (3, 4) = 12

Este concepto es fundamental para resolver problemas de coincidencia temporal, como saber cuándo volverán a sonar dos alarmas que tienen distintos intervalos.

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Decimos que un número es divisor de otro cuando, al realizar la división entre ellos, el resto es cero. Es decir, la división es exacta.

Si tenemos la operación $15 \div 3 = 5$ (resto $0$), decimos que:

• $3$ es divisor de $15$.
• $15$ es divisible por $3$.

El número 1 es divisor de todos los números, ya que cualquier número dividido por $1$ da como resultado el mismo número con resto cero.

A diferencia de los múltiplos, el conjunto de divisores de un número es finito (tiene un principio y un fin). La estrategia más eficaz es buscarlos por parejas de factores.

Ejemplo: Divisores de $12$:

1. $1 \times 12 = 12$ (Pareja: $1$ y $12$)
2. $2 \times 6 = 12$ (Pareja: $2$ y $6$)
3. $3 \times 4 = 12$ (Pareja: $3$ y $4$)

• Los divisores de $12$ son: $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.

El máximo común divisor (m.c.d.) es el mayor de los divisores que comparten dos o más números. Es extremadamente útil para problemas de reparto equitativo, donde queremos hacer grupos lo más grandes posible sin que sobre nada.

Ejemplo: m.c.d. de $12$ y $18$:

• Divisores de $12$: $\{1, 2, 3, 4, \mathbf{6}, 12\}$
• Divisores de $18$: $\{1, 2, 3, \mathbf{6}, 9, 18\}$
• Divisores comunes: $\{1, 2, 3, 6\}$
• m.c.d. (12, 18) = 6

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Son las reglas basadas en la última cifra del número:

• Divisibilidad por 2: El número debe terminar en cifra par ($0, 2, 4, 6, 8$).
• Divisibilidad por 5: El número debe terminar en $0$ o en $5$.
• Divisibilidad por 10: El número debe terminar exactamente en $0$.

Estas reglas se basan en la suma de las cifras del número:

• Divisibilidad por 3: Si al sumar todas las cifras del número el resultado es un múltiplo de $3$ ($3, 6, 9, 12 \dots$), entonces el número original es divisible por $3$.
• Divisibilidad por 9: Similar a la anterior, pero la suma debe ser un múltiplo de $9$.

Ejemplo: ¿Es $459$ divisible por $9$? Sumamos $4 + 5 + 9 = 18$. Como $18$ es múltiplo de $9$, entonces $459$ sí es divisible por $9$.

• Divisibilidad por 4: Las dos últimas cifras deben ser $00$ o formar un múltiplo de $4$.
• Divisibilidad por 6: El número debe ser divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo.
• Divisibilidad por 11: Sumamos las cifras en posiciones impares y las cifras en posiciones pares por separado. Restamos ambos resultados. Si la diferencia es $0$ o un múltiplo de $11$, el número es divisible por $11$.

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Un número primo es aquel que solo tiene dos divisores: el número $1$ y él mismo.

• Ejemplos: $2, 3, 5, 7, 11, 13 \dots$
• El número $2$ es el único número primo que es par.

Para encontrar los primos hasta el $100$, usamos la Criba de Eratóstenes, un método que consiste en escribir los números y tachar los múltiplos de $2, 3, 5$ y $7$. Los que quedan sin tachar son los primos.

Un número compuesto es aquel que tiene más de dos divisores. Esto significa que se puede expresar como el producto de otros números más pequeños.

• Nota importante: El número 1 no es ni primo ni compuesto, ya que solo tiene un divisor (él mismo).

Cualquier número compuesto puede "desarmarse" en una multiplicación de números primos. Para ello usamos la raya vertical:

1. Escribimos el número y una raya a su derecha.
2. Buscamos el número primo más pequeño que lo divida.
3. Escribimos el primo a la derecha y el cociente debajo del número original.
4. Repetimos hasta llegar al $1$.

Ejemplo de descomposición de 60:

$$\begin{array}{r|l} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$$

Por tanto, $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.

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El m.c.m. se aplica cuando buscamos que dos eventos que ocurren a ritmos distintos vuelvan a suceder a la vez.

• Palabras clave: coincidir, repetir, volver a encontrarse, frecuencia.
• Ejemplo: Un autobús pasa cada $15$ min y otro cada $20$ min. Si salen juntos a las 8:00, ¿a qué hora coinciden de nuevo? Calculamos m.c.m.($15, 20$) = $60$. Coincidirán en $60$ minutos (a las 9:00).

El m.c.d. se aplica cuando queremos dividir o repartir objetos en partes iguales y del mayor tamaño posible.

• Palabras clave: dividir, trocear, repartir, máximo, el mayor tamaño posible.
• Ejemplo: Tenemos dos cuerdas de $12$ y $18$ metros. Queremos cortarlas en trozos iguales lo más largos posible. Calculamos m.c.d.($12, 18$) = $6$. Cada trozo medirá $6$ metros.

Entender la divisibilidad nos permite ser más rápidos en matemáticas:

1. Simplificación: Si vemos que el numerador y el denominador de una fracción terminan en $0$, podemos dividir ambos por $10$ instantáneamente.
2. Estimación: Para saber si podemos repartir $123$ caramelos entre $3$ amigos sin que sobre nada, sumamos $1+2+3=6$. Sabemos que es posible sin hacer la cuenta porque $6$ es múltiplo de $3$.
3. Juegos lógicos: La divisibilidad es la base de muchos acertijos numéricos y del funcionamiento de los códigos de barras y sistemas informáticos.