Números enteros en la recta numérica

Hasta ahora, en matemáticas, has trabajado principalmente con los números naturales ($0, 1, 2, 3...$), que nos sirven para contar cosas. Sin embargo, a veces necesitamos expresar situaciones que van "más allá" o "por debajo" de la nada. Aquí es donde aparecen los números enteros.

El conjunto de los números enteros se representa con la letra $\mathbb{Z}$ y está formado por:

1. Enteros positivos: Son los números mayores que cero ($+1, +2, +3...$). Se pueden escribir con o sin el signo $+$.
2. El cero ($0$): Es el elemento central. No es ni positivo ni negativo; funciona como nuestro punto de referencia.
3. Enteros negativos: Son los números menores que cero ($-1, -2, -3...$). Siempre deben llevar el signo $-$ delante.

Los números enteros nos permiten expresar cantidades, pero también direcciones y posiciones relativas respecto a un punto fijo.

Los números negativos no son solo teoría; los usamos constantemente sin darnos cuenta. Aquí tienes los ejemplos más comunes:

• Temperaturas: Si hace mucho frío, decimos que estamos a "5 grados bajo cero" ($-5^\circ C$). Si hace calor, estamos a "25 grados sobre cero" ($+25^\circ C$).
• Ascensores: La planta baja o calle es el $0$. Los sótanos o parkings se representan como $-1, -2$, mientras que los pisos superiores son $1, 2, 3...$.
• Altitud: El nivel del mar es el punto $0$. Un buceador puede estar a $-20$ metros (bajo el nivel del mar) y un pájaro puede volar a $+50$ metros.

Para entender bien los números enteros, debemos asociarlos a una dirección:

• Sentido Positivo: Se asocia con ir hacia la derecha, hacia arriba, subir, ganar dinero o el tiempo después de un evento (cronología).
• Sentido Negativo: Se asocia con ir hacia la izquierda, hacia abajo, bajar, tener una deuda económica o el tiempo antes de un evento (ej. antes de Cristo).

Ejemplo económico: Si tienes $10€$ en tu hucha, tu saldo es $+10$. Si le debes $5€$ a un amigo, tu saldo es $-5$.

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La recta numérica es la herramienta visual más importante para entender los números enteros. Para dibujarla correctamente, debemos seguir estos pasos:

1. Trazamos una línea horizontal recta.
2. Marcamos un punto en el centro que será el origen o valor cero ($0$).
3. Dividimos la recta en segmentos de la misma longitud (distancia unitaria). Es fundamental que la distancia entre el $0$ y el $1$ sea la misma que entre el $-1$ y el $-2$.

Una vez dividida la recta, colocamos los números siguiendo un orden lógico:

• A la derecha del cero: Situamos los números enteros positivos en orden creciente ($+1, +2, +3...$).
• A la izquierda del cero: Situamos los números enteros negativos. Empezamos desde el cero hacia la izquierda ($-1, -2, -3...$).

$\leftarrow -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4 \rightarrow$

En la recta numérica, cuanto más a la derecha está un número, mayor es su valor.

Leer un punto en la recta consiste en identificar qué número le corresponde según su posición respecto al origen.

• Si un punto está a $4$ unidades a la izquierda del cero, el número es $-4$.
• Si nos movemos desde el $+2$ tres unidades hacia la derecha, llegaremos al $+5$.

A veces, las rectas no van de uno en uno. En escalas grandes, cada marca podría valer $10, 100$ o $1000$ unidades. Siempre debemos fijarnos en cuánto vale cada división antes de leer el número.

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Comparar números enteros es determinar cuál es más grande o más pequeño. La regla de oro es: Cualquier número situado a la derecha de otro en la recta numérica es mayor.

Utilizamos los símbolos:

• $>$ (mayor que)
• $<$ (menor que)
• $=$ (igual a)

Ejemplo: $+2 > -5$ porque el $+2$ está a la derecha del $-5$.

El cero actúa como frontera y tiene sus propias reglas de comparación:

1. Cualquier número positivo es mayor que cero: $+1 > 0; +100 > 0$.
2. Cualquier número negativo es menor que cero: $-1 < 0; -50 < 0$.
3. Cualquier número positivo es siempre mayor que cualquier número negativo.

Para ordenar una lista de números como $\{-3, +5, 0, -1, +2\}$:

• De menor a mayor (ascendente): Buscamos el que esté más a la izquierda en la recta.
  • Resultado: $-3 < -1 < 0 < +2 < +5$
• De mayor a menor (descendente): Buscamos el que esté más a la derecha.
  • Resultado: $+5 > +2 > 0 > -1 > -3$

Ojo: Con los negativos, el número que parece "más grande" (como el $10$ en $-10$) es en realidad el más pequeño porque es el que está más lejos del cero a la izquierda.

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El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay entre ese número y el cero. Como es una distancia, nunca puede ser negativa.

Se representa escribiendo el número entre dos barras verticales $| |$.

• El valor absoluto de $+5$ es $5 \rightarrow |+5| = 5$
• El valor absoluto de $-5$ es $5 \rightarrow |-5| = 5$

Dos números son opuestos si tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo. En la recta numérica, están a la misma distancia del cero pero en lados contrarios.

• El opuesto de $+3$ es $-3$.
• El opuesto de $-10$ es $+10$.

Una propiedad curiosa es que si sumas un número y su opuesto, el resultado siempre es cero: $(+4) + (-4) = 0$. Existe una simetría perfecta respecto al origen.

El valor absoluto es muy útil para:

1. Calcular distancias: Si un termómetro marca $-2^\circ C$ y otro $5^\circ C$, la distancia al cero nos ayuda a entender la magnitud del frío.
2. Comparar variaciones: Si una acción de bolsa baja $10€$ ($-10$) y otra sube $10€$ ($+10$), el valor absoluto de la variación es el mismo ($10$), aunque el sentido sea distinto.

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Realizar un desplazamiento positivo significa moverse hacia la derecha en la recta numérica. Esto equivale a sumar.

• Si estás en el $-2$ y te desplazas $+3$ unidades (tres saltos a la derecha), terminas en el $+1$.
• Matemáticamente: $-2 + 3 = 1$.

Realizar un desplazamiento negativo significa moverse hacia la izquierda en la recta numérica. Esto equivale a restar o disminuir el valor.

• Si estás en el $+3$ y te desplazas $-5$ unidades (cinco saltos a la izquierda), terminas en el $-2$.
• Matemáticamente: $3 - 5 = -2$.

En la vida real, solemos encadenar varios movimientos. Podemos resolverlo gráficamente dando saltos sucesivos en la recta:

1. Punto de partida: Marcamos la posición inicial.
2. Primer movimiento: Saltamos a derecha o izquierda.
3. Segundo movimiento: Desde donde quedamos, volvemos a saltar.

Ejemplo práctico: Un ascensor está en la planta $2$. Sube $3$ pisos y luego baja $6$. ¿En qué planta está?

• Inicio: $+2$
• Sube 3: $+2 + 3 = +5$
• Baja 6: $+5 - 6 = -1$
• Resultado: Está en el primer sótano ($-1$).