Las fracciones

Una fracción representa una o varias partes iguales en las que se ha dividido la unidad. Es la forma matemática de expresar divisiones de objetos enteros, como una pizza, un terreno o una hora de tiempo.

Toda fracción consta de dos términos separados por una raya horizontal:

• Numerador (arriba): Indica el número de partes que tomamos o seleccionamos.
• Denominador (abajo): Indica el número total de partes iguales en las que se ha dividido la unidad.

Lectura y escritura: Para leer una fracción, decimos el numerador como un número cardinal y el denominador como un número partitivo (medios, tercios, cuartos... a partir de once se añade el sufijo "-avo"). Por ejemplo, $\frac{3}{8}$ se lee como "tres octavos".

Representación gráfica: Para representar $\frac{2}{5}$, dibujamos una figura (un rectángulo o círculo), la dividimos en 5 partes iguales y coloreamos 2 de esas partes.

Una fracción es, en esencia, una operación de división sin realizar. El numerador es el dividendo y el denominador es el divisor.

• Conversión a decimal: Para obtener el valor numérico de una fracción, dividimos el numerador entre el denominador. Ejemplo: $\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0,75$.
• Fracciones propias: Son aquellas donde el numerador es menor que el denominador ($\frac{2}{5}$). Su valor es menor que 1.
• Fracciones impropias: El numerador es mayor o igual que el denominador ($\frac{7}{4}$). Su valor es mayor o igual que 1. Estas pueden expresarse como números mixtos (una parte entera y una fraccionaria).

A menudo necesitamos calcular una parte de un número entero (por ejemplo, los $\frac{2}{3}$ de 60 euros).

Algoritmo de resolución: Para calcular la fracción de un número, seguimos estos pasos:

1. Multiplicamos el número por el numerador.
2. Dividimos el resultado entre el denominador.

$\frac{a}{b} \text{ de } C = \frac{(C \cdot a)}{b}$

Ejemplo práctico: Si en una clase de 30 alumnos, los $\frac{3}{5}$ son chicas: $(30 \cdot 3) : 5 = 90 : 5 = 18$ chicas.

Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte de la unidad, aunque sus números sean distintos. Por ejemplo, comer $\frac{1}{2}$ de una tarta es lo mismo que comer $\frac{2}{4}$.

Comprobación (Productos cruzados): Dos fracciones $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ son equivalentes si al multiplicar en cruz obtenemos el mismo resultado: $a \cdot d = b \cdot c$.

• Ejemplo: $\frac{2}{5}$ y $\frac{4}{10} \rightarrow 2 \cdot 10 = 20$ y $5 \cdot 4 = 20$. ¡Son equivalentes!

En la recta numérica, las fracciones equivalentes ocupan exactamente el mismo punto.

Podemos obtener infinitas fracciones equivalentes a una dada mediante dos procesos:

1. Amplificación: Multiplicamos numerador y denominador por el mismo número (distinto de cero). $\frac{2}{3} \xrightarrow{\cdot 4} \frac{8}{12}$
2. Simplificación: Dividimos numerador y denominador por un divisor común. $\frac{15}{20} \xrightarrow{: 5} \frac{3}{4}$

Cuando una fracción no se puede simplificar más, decimos que es una fracción irreducible. Para hallarla directamente, dividimos ambos términos por su Máximo Común Divisor (M.C.D.).

Para comparar fracciones, debemos fijarnos en sus términos:

• Igual denominador: Es mayor la que tiene el numerador más grande. ($\frac{7}{9} > \frac{4}{9}$)
• Igual numerador: Es mayor la que tiene el denominador más pequeño (porque las partes son más grandes). ($\frac{3}{5} > \frac{3}{8}$)
• Distinto denominador: Debemos transformarlas primero a común denominador utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores.

Esta es la situación más sencilla. Para sumar o restar fracciones que tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

$\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3+2}{8} = \frac{5}{8}$

Visualmente, si tienes 3 porciones de una pizza de 8 y añades 2 más, sigues teniendo porciones de tamaño "octavo".

No podemos sumar directamente fracciones con distintos denominadores (no podemos sumar "peras con manzanas"). Debemos reducirlas a común denominador:

1. Calculamos el m.c.m. de los denominadores. Este será el nuevo denominador común.
2. Ajustamos los numeradores: dividimos el nuevo denominador entre el antiguo y multiplicamos por el numerador original.
3. Sumamos o restamos los nuevos numeradores.

Ejemplo: $\frac{1}{4} + \frac{2}{3}$

• m.c.m.(4, 3) = 12.
• $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ ; $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$
• Resultado: $\frac{3+8}{12} = \frac{11}{12}$

Para operar un número entero con una fracción, tratamos al entero como una fracción con denominador 1.

Ejemplo: $2 + \frac{1}{3} = \frac{2}{1} + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

A diferencia de la suma, para multiplicar fracciones no hace falta buscar un denominador común. La multiplicación se realiza en línea:

• Numerador por numerador.
• Denominador por denominador.

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Fracción de una fracción: Si queremos calcular la mitad ($\frac{1}{2}$) de un tercio ($\frac{1}{3}$), multiplicamos: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.

Dividir una fracción por otra equivale a multiplicar la primera por la inversa de la segunda. En la práctica, esto se traduce en una multiplicación en cruz:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Ejemplo: $\frac{3}{5} : \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 2} = \frac{21}{10}$

Cuando aparecen varias operaciones juntas, debemos respetar la jerarquía de operaciones:

1. Paréntesis y corchetes.
2. Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).
3. Sumas y restas (de izquierda a derecha).

Es fundamental simplificar los resultados parciales siempre que sea posible para trabajar con números más pequeños.

Para resolver problemas, el primer paso es identificar qué representa la fracción.

• Escenario: Un depósito de 100 litros tiene ocupadas las $\frac{3}{4}$ partes. ¿Cuántos litros hay?
• Solución: Calculamos la fracción de una cantidad: $(100 \cdot 3) : 4 = 75$ litros.

En estos problemas, tras una primera acción, trabajamos con lo que queda.

• Ejemplo: "Gasto $\frac{1}{3}$ de mi dinero y luego $\frac{1}{2}$ de lo que queda".
• Si gasto $\frac{1}{3}$, me quedan $\frac{2}{3}$.
• Luego gasto $\frac{1}{2}$ de $\frac{2}{3}$, que es $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
• Total gastado: $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

A veces conocemos el valor de la parte y queremos hallar el total.

• Escenario: "Los $\frac{2}{5}$ de una parcela son 200 $m^2$. ¿Cuál es la superficie total?"
• Estrategia: Si 2 partes son 200, 1 parte ($\frac{1}{5}$) son $200 : 2 = 100$.
• Como el total son 5 partes, el total es $100 \cdot 5 = 500$ $m^2$.

Regla rápida para el problema inverso: Para hallar el total, dividimos la cantidad entre el numerador y multiplicamos por el denominador.