Connaitre les fonctions affines et lineaires

En mathématiques, une fonction est une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble de départ (appelé l'ensemble de définition) un unique élément d'un ensemble d'arrivée. Imaginez une machine : vous lui donnez un nombre en entrée, et elle vous donne un seul et unique nombre en sortie.

• Définition d'une fonction : Une fonction $f$ est un procédé qui, à un nombre $x$, associe un unique nombre $y$. On écrit $y = f(x)$.

  • $x$ est la variable indépendante (l'entrée).
  • $y$ est la variable dépendante (la sortie, elle dépend de $x$).

• Ensemble de définition (ou Domaine de définition) : C'est l'ensemble de toutes les valeurs que la variable $x$ peut prendre pour que la fonction soit calculable. Par exemple, pour la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$, $x$ ne peut pas être égal à 0. L'ensemble de définition serait donc $\mathbb{R}^*$ (tous les nombres réels sauf 0).

• Image et antécédent :

  • L'image d'un nombre $x$ par la fonction $f$ est le nombre $y = f(x)$. Chaque $x$ n'a qu'une seule image.
  • Un antécédent d'un nombre $y$ par la fonction $f$ est un nombre $x$ tel que $f(x) = y$. Un nombre $y$ peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

• Notation $f(x)$ : C'est la manière standard d'écrire une fonction. $f(x)$ se lit "f de x" et représente la valeur de la fonction $f$ lorsque la variable est $x$.

  • Exemple : Si $f(x) = x^2 + 3$, alors l'image de 2 est $f(2) = 2^2 + 3 = 4 + 3 = 7$. Ici, 7 est l'image de 2, et 2 est un antécédent de 7.

La représentation graphique est un moyen visuel de comprendre le comportement d'une fonction.

• Repère cartésien : Pour représenter une fonction, on utilise un repère cartésien composé de deux axes perpendiculaires :

  • L'axe des abscisses (horizontal), souvent noté $(Ox)$, où l'on place les valeurs de $x$ (les antécédents).
  • L'axe des ordonnées (vertical), souvent noté $(Oy)$, où l'on place les valeurs de $y$ (les images).
  • L'intersection des deux axes est l'origine du repère, de coordonnées $(0;0)$.

• Tracé de courbes : La représentation graphique d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les points $M(x; y)$ du plan tels que $y = f(x)$. On parle de la courbe représentative de $f$, souvent notée $\mathcal{C}_f$.

  • Pour tracer une courbe, on calcule les images de plusieurs valeurs de $x$, on place les points correspondants dans le repère, puis on les relie.

• Lecture graphique d'images et antécédents :

  • Pour trouver l'image de $x_0$ : On part de $x_0$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) verticalement jusqu'à la courbe, puis on se déplace horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées pour lire la valeur $y_0 = f(x_0)$.
  • Pour trouver les antécédents de $y_0$ : On part de $y_0$ sur l'axe des ordonnées, on se déplace horizontalement jusqu'à la courbe, puis on descend (ou monte) verticalement jusqu'à l'axe des abscisses pour lire les valeurs de $x$ telles que $f(x) = y_0$.

Maîtriser ce vocabulaire est crucial pour bien comprendre la suite.

• Variable indépendante : C'est la valeur que l'on choisit librement. Dans $y = f(x)$, c'est $x$.
• Variable dépendante : Sa valeur dépend du choix de la variable indépendante. Dans $y = f(x)$, c'est $y$ ou $f(x)$.
• Domaine de définition ($D_f$) : L'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe et est calculable.
  • Exemple : pour $f(x) = \sqrt{x}$, $D_f = [0; +\infty[$ car on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif.
• Ensemble image (ou image de la fonction) : L'ensemble de toutes les valeurs que $f(x)$ peut prendre. C'est l'ensemble de toutes les images possibles.
  • Exemple : pour $f(x) = x^2$, l'ensemble image est $[0; +\infty[$ car un carré est toujours positif ou nul.

Une fonction linéaire est une fonction $f$ qui associe à tout nombre $x$ le nombre $ax$, où $a$ est un nombre réel fixé.

• Forme $f(x) = ax$ : C'est la forme canonique d'une fonction linéaire.

  • Le nombre $a$ est appelé le coefficient directeur ou coefficient de proportionnalité.
  • Exemples : $f(x) = 2x$, $g(x) = -0.5x$, $h(x) = \frac{3}{4}x$.

• Proportionnalité : La caractéristique principale d'une fonction linéaire est qu'elle traduit une situation de proportionnalité directe. Si $x$ est multiplié par un facteur $k$, alors $f(x)$ est aussi multiplié par le même facteur $k$.

  • $f(kx) = a(kx) = k(ax) = k \cdot f(x)$.
  • De même, $f(x_1 + x_2) = a(x_1 + x_2) = ax_1 + ax_2 = f(x_1) + f(x_2)$. C'est la propriété de linéarité.

• Passage par l'origine : Pour toute fonction linéaire $f(x) = ax$, si on calcule l'image de 0, on obtient $f(0) = a \times 0 = 0$. Cela signifie que la courbe représentative d'une fonction linéaire passe toujours par l'origine du repère $(0;0)$. C'est une propriété fondamentale pour les identifier graphiquement.

La représentation graphique d'une fonction linéaire est toujours une droite.

• Droite passant par l'origine : Comme $f(0)=0$, on sait que le point $(0;0)$ est toujours sur la droite. Pour tracer une droite, il suffit de deux points. Le point $(0;0)$ est le premier, un autre point $(x; f(x))$ suffit à la tracer.

  • Exemple : Pour $f(x) = 2x$. On a $f(0)=0$ (point $(0;0)$). Si $x=1$, $f(1)=2$ (point $(1;2)$). On relie $(0;0)$ et $(1;2)$ pour obtenir la droite.

• Coefficient directeur (pente) : Le nombre $a$ donne la pente ou l'inclinaison de la droite.

  • Si $a > 0$, la droite "monte" (la fonction est croissante).
  • Si $a < 0$, la droite "descend" (la fonction est décroissante).
  • Si $a = 0$, la fonction est $f(x) = 0x = 0$. C'est la fonction nulle, sa représentation est l'axe des abscisses.
  • Plus la valeur absolue de $a$ est grande, plus la droite est "raide".

• Interprétation graphique de 'a' : Le coefficient directeur $a$ représente la variation de $y$ lorsque $x$ augmente d'une unité. Si on se déplace d'une unité vers la droite sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) de $a$ unités sur l'axe des ordonnées pour retrouver la droite.

Pour trouver la relation $f(x) = ax$, il faut déterminer la valeur de $a$.

• Formule de calcul de 'a' : Si on connaît un point $(x_1; y_1)$ de la droite (où $x_1 \neq 0$), alors $y_1 = a x_1$, donc ==$a = \frac{y_1}{x_1}$==.

• À partir de deux points : Si la droite passe par deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ et qu'elle est linéaire (donc passe par l'origine $O(0;0)$), on peut utiliser le point $A$ ou $B$ pour calculer $a$.

  • Exemple : Une fonction linéaire passe par le point $(3; 6)$. Alors $a = \frac{6}{3} = 2$. La fonction est $f(x) = 2x$.

• À partir d'un point et de l'origine : C'est le cas précédent, car l'origine est toujours un point connu de la droite.

Les fonctions linéaires sont omniprésentes dans la vie courante et les sciences.

• Situations de proportionnalité : Chaque fois qu'une grandeur est proportionnelle à une autre, une fonction linéaire peut modéliser la situation.

  • Exemple : Le prix d'un article est proportionnel à la quantité achetée (sans réduction). Si un stylo coûte 1,50 €, le prix $P(q)$ pour $q$ stylos est $P(q) = 1,50q$. C'est une fonction linéaire avec $a = 1,50$.

• Exemples concrets (pourcentages, échelles) :

  • Pourcentages : Calculer $x\%$ d'une valeur $V$ revient à faire $V \times \frac{x}{100}$. Si $x$ est fixe, c'est une fonction linéaire de $V$.
  • Échelles : Sur une carte à l'échelle 1:10000, 1 cm sur la carte représente 10000 cm (soit 100 m) dans la réalité. La distance réelle $D_R$ en fonction de la distance sur la carte $D_C$ est $D_R = 10000 \times D_C$. C'est une fonction linéaire.
  • Conversion d'unités : Par exemple, la conversion des euros en dollars (taux de change fixe).

• Résolution de problèmes : Les fonctions linéaires permettent de résoudre des problèmes comme déterminer une quantité manquante dans une situation de proportionnalité.

Une fonction affine est une fonction $f$ qui associe à tout nombre $x$ le nombre $ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels fixés.

• Forme $f(x) = ax + b$ : C'est la forme canonique d'une fonction affine.

  • $a$ est le coefficient directeur (ou pente).
  • $b$ est l'ordonnée à l'origine.
  • Exemples : $f(x) = 3x + 5$, $g(x) = -2x + 1$, $h(x) = x - 4$.

• Coefficient directeur et ordonnée à l'origine :

  • Le coefficient directeur $a$ a le même rôle que pour les fonctions linéaires : il détermine la pente de la droite.
  • L'ordonnée à l'origine $b$ est la valeur de $f(x)$ lorsque $x=0$. En effet, $f(0) = a \times 0 + b = b$. Cela signifie que la courbe représentative d'une fonction affine coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; b)$. C'est une propriété clé pour la lecture graphique.

• Différence avec les fonctions linéaires : Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où $b = 0$. Donc, toute fonction linéaire est affine, mais toute fonction affine n'est pas linéaire (sauf si $b=0$). Les fonctions affines ne passent pas nécessairement par l'origine.

La représentation graphique d'une fonction affine est toujours une droite.

• Droite dans un repère : Pour tracer la droite représentative d'une fonction affine $f(x) = ax + b$, il suffit de connaître deux points.

  1. Le premier point est toujours $(0; b)$ (l'ordonnée à l'origine).
  2. Le deuxième point peut être n'importe quel point calculé, par exemple $(1; f(1)) = (1; a+b)$.
  • Exemple : Pour $f(x) = 2x + 3$. L'ordonnée à l'origine est 3, donc la droite passe par $(0;3)$. Si $x=1$, $f(1) = 2(1) + 3 = 5$, donc la droite passe par $(1;5)$.

• Interprétation de 'a' (pente) : Comme pour les fonctions linéaires, $a$ indique la pente de la droite. Pour un déplacement d'une unité vers la droite sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) de $a$ unités sur l'axe des ordonnées.

• Interprétation de 'b' (ordonnée à l'origine) : $b$ est la hauteur à laquelle la droite coupe l'axe vertical (l'axe des ordonnées). C'est la valeur de $y$ lorsque $x=0$.

Pour trouver l'expression $f(x) = ax + b$, il faut déterminer les valeurs de $a$ et $b$.

• À partir de deux points : Si la droite passe par deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ avec $x_A \neq x_B$.

  1. Calcul du coefficient directeur $a$ : ==$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$==.
  2. Calcul de l'ordonnée à l'origine $b$ : On utilise un des points (par exemple $A$) et l'équation $y_A = a x_A + b$. On remplace $a$, $x_A$ et $y_A$ par leurs valeurs pour trouver $b$.
     • Exemple : La droite passe par $A(1; 5)$ et $B(3; 11)$.
       • $a = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$.
       • On utilise $A(1; 5)$ : $5 = 3 \times 1 + b \Rightarrow 5 = 3 + b \Rightarrow b = 2$.
       • La fonction est $f(x) = 3x + 2$.

• À partir d'un point et du coefficient directeur : Si on connaît $a$ et un point $A(x_A; y_A)$.

  1. On utilise l'équation $y_A = a x_A + b$.
  2. On remplace $a$, $x_A$ et $y_A$ par leurs valeurs pour trouver $b$.
     • Exemple : Le coefficient directeur est $a=2$ et la droite passe par $P(4; -3)$.
       • $-3 = 2 \times 4 + b \Rightarrow -3 = 8 + b \Rightarrow b = -11$.
       • La fonction est $f(x) = 2x - 11$.

• Méthodes de calcul de 'a' et 'b' : Les méthodes ci-dessus sont les plus courantes. Il est important de bien les maîtriser.

Certains cas particuliers méritent d'être notés.

• Fonctions constantes ($a=0$) : Si $a=0$, la fonction s'écrit $f(x) = 0x + b = b$.

  • La représentation graphique est une droite horizontale qui passe par le point $(0; b)$.
  • L'image de tout $x$ est toujours $b$.
  • Exemple : $f(x) = 5$.

• Fonctions linéaires ($b=0$) : Si $b=0$, la fonction s'écrit $f(x) = ax + 0 = ax$.

  • C'est une fonction linéaire, dont la représentation est une droite passant par l'origine $(0;0)$.

• Droites parallèles aux axes :

  • Les droites horizontales sont des fonctions constantes de la forme $y = b$.
  • Les droites verticales sont de la forme $x = c$ (où $c$ est une constante). Attention, une droite verticale n'est pas la représentation graphique d'une fonction, car à une valeur de $x$ correspondrait une infinité de $y$ (ce qui contredit la définition d'une fonction).

Le coefficient directeur $a$ détermine si une fonction affine (et donc linéaire) est croissante, décroissante ou constante.

• Fonction croissante ($a > 0$) : Si $a$ est positif, la fonction est croissante. Cela signifie que lorsque $x$ augmente, $f(x)$ augmente aussi. Graphiquement, la droite "monte" de gauche à droite.

  • Exemple : $f(x) = 3x - 1$.

• Fonction décroissante ($a < 0$) : Si $a$ est négatif, la fonction est décroissante. Cela signifie que lorsque $x$ augmente, $f(x)$ diminue. Graphiquement, la droite "descend" de gauche à droite.

  • Exemple : $f(x) = -0.5x + 4$.

• Fonction constante ($a = 0$) : Si $a$ est nul, la fonction est constante. $f(x) = b$. La valeur de $f(x)$ ne change pas quelle que soit la valeur de $x$. Graphiquement, la droite est horizontale.

  • Exemple : $f(x) = 7$.

Le tableau de signes permet de visualiser pour quelles valeurs de $x$ la fonction $f(x)$ est positive, négative ou nulle.

• Détermination du signe de $f(x)$ : Pour une fonction affine $f(x) = ax + b$ (avec $a \neq 0$), il y a une seule valeur de $x$ pour laquelle $f(x)=0$. On appelle cette valeur la racine de la fonction.

  • $ax + b = 0 \Rightarrow ax = -b \Rightarrow x = -\frac{b}{a}$.

• Point d'intersection avec l'axe des abscisses : La racine $x = -\frac{b}{a}$ est l'abscisse du point où la droite coupe l'axe des abscisses. Les coordonnées de ce point sont $(-\frac{b}{a}; 0)$.

• Résolution de $f(x) > 0$ ou $f(x) < 0$ :

  • Si $a > 0$ (fonction croissante) :
    • $f(x) < 0$ pour $x < -\frac{b}{a}$
    • $f(x) = 0$ pour $x = -\frac{b}{a}$
    • $f(x) > 0$ pour $x > -\frac{b}{a}$
  • Si $a < 0$ (fonction décroissante) :
    • $f(x) > 0$ pour $x < -\frac{b}{a}$
    • $f(x) = 0$ pour $x = -\frac{b}{a}$
    • $f(x) < 0$ pour $x > -\frac{b}{a}$

  Tableau de signes général pour $f(x) = ax+b$ :

  $x$	$-\infty$	$-\frac{b}{a}$	$+\infty$
  Signe de $ax+b$	Signe de $-a$	$0$	Signe de $a$

  • Astuce : le signe est contraire à $a$ avant la racine, et identique à $a$ après la racine.

Déterminer le point d'intersection de deux droites revient à trouver le $x$ pour lequel leurs images sont égales.

• Résolution d'un système d'équations : Soient deux fonctions affines $f(x) = a_1x + b_1$ et $g(x) = a_2x + b_2$. Pour trouver leur point d'intersection, on pose $f(x) = g(x)$.

  • $a_1x + b_1 = a_2x + b_2$
  • On résout cette équation pour trouver la valeur de $x$.
  • $(a_1 - a_2)x = b_2 - b_1$
  • $x = \frac{b_2 - b_1}{a_1 - a_2}$ (si $a_1 \neq a_2$)

• Point d'intersection (coordonnées) : Une fois $x$ trouvé, on remplace cette valeur dans l'une des deux fonctions (par exemple $f(x)$) pour trouver l'ordonnée $y$. Le point d'intersection est $(x; y)$.

  • Exemple : $f(x) = 2x+1$ et $g(x) = -x+7$.
    • $2x+1 = -x+7$
    • $3x = 6 \Rightarrow x = 2$.
    • $y = f(2) = 2(2)+1 = 5$. (On peut vérifier avec $g(2) = -2+7 = 5$).
    • Le point d'intersection est $(2; 5)$.

• Cas des droites parallèles : Si $a_1 = a_2$ (les coefficients directeurs sont égaux), les droites sont parallèles.

  • Si $b_1 \neq b_2$, les droites sont strictement parallèles et ne se coupent jamais (pas de solution au système).
  • Si $b_1 = b_2$, les droites sont confondues (elles représentent la même fonction, il y a une infinité de points d'intersection).

• Traduction d'un problème en fonction affine/linéaire : Il s'agit d'identifier les grandeurs en jeu et la relation qui les lie.

  • Chercher si une grandeur est proportionnelle à une autre (fonction linéaire).
  • Chercher si une grandeur varie de façon constante par rapport à une autre, avec une valeur de départ (fonction affine).
  • Exemple : Un forfait téléphonique coûte 10€ par mois plus 0,15€ par minute de communication.
    • Coût mensuel $C(m)$ en fonction du nombre de minutes $m$.
    • Le coût de base (10€) est fixe, le coût par minute (0,15€) est variable.
    • $C(m) = 0,15m + 10$. C'est une fonction affine.

• Choix des variables : Il est crucial de bien définir ce que représentent $x$ et $f(x)$ (ou $y$).

  • $x$ est la variable indépendante (ce que l'on contrôle ou ce qui varie naturellement).
  • $f(x)$ est la variable dépendante (ce que l'on cherche à calculer ou à modéliser).

• Établissement de la formule : Une fois les variables identifiées, on cherche la relation $f(x) = ax$ ou $f(x) = ax + b$.

  • Si un tarif est de 5€ par article, sans frais fixes : $f(x) = 5x$ (linéaire).
  • Si un tarif est de 5€ par article plus 10€ de frais de port : $f(x) = 5x + 10$ (affine).

Une fois le problème modélisé, on utilise les propriétés des fonctions affines et linéaires pour le résoudre.

• Utilisation des propriétés étudiées :

  • Calculer une image : Quel est le coût pour 20 minutes de communication ? $C(20) = 0,15 \times 20 + 10 = 3 + 10 = 13$ euros.
  • Calculer un antécédent : Combien de minutes peut-on communiquer pour 25€ ? $0,15m + 10 = 25 \Rightarrow 0,15m = 15 \Rightarrow m = \frac{15}{0,15} = 100$ minutes.
  • Comparer des situations : Voir la section suivante.

• Interprétation des résultats : Toujours remettre le résultat dans le contexte du problème. Un $x$ négatif pour une quantité, par exemple, n'aurait pas de sens.

• Vérification de la cohérence : S'assurer que les résultats sont réalistes et répondent à la question posée.

Comparer plusieurs fonctions affines est une application très courante, notamment pour faire des choix économiques.

• Détermination du point d'équilibre : C'est le point où deux fonctions affines ont la même valeur. Graphiquement, c'est le point d'intersection de leurs droites représentatives.

  • Exemple : Comparer deux forfaits téléphoniques.
    • Forfait A : $C_A(m) = 0,20m + 5$
    • Forfait B : $C_B(m) = 0,10m + 10$
    • Pour quel nombre de minutes les coûts sont-ils égaux ? $C_A(m) = C_B(m)$
    • $0,20m + 5 = 0,10m + 10$
    • $0,10m = 5 \Rightarrow m = 50$ minutes.
    • Le point d'équilibre est à 50 minutes. Pour $m=50$, $C_A(50) = 0,20 \times 50 + 5 = 10 + 5 = 15$ euros.

• Analyse des coûts/bénéfices : Une fois le point d'équilibre trouvé, on peut déterminer quelle option est la plus avantageuse selon les conditions.

  • Dans l'exemple précédent :
    • Si $m < 50$ minutes, $C_A(m) < C_B(m)$ (Forfait A est moins cher).
    • Si $m > 50$ minutes, $C_A(m) > C_B(m)$ (Forfait B est moins cher).

• Prise de décision : Cette analyse permet de prendre une décision éclairée. Par exemple, si vous communiquez en moyenne 30 minutes par mois, le forfait A est plus intéressant. Si vous communiquez 100 minutes, le forfait B est préférable.

En maîtrisant ces concepts, vous serez capable d'analyser et de résoudre une grande variété de problèmes en utilisant les fonctions affines et linéaires, des outils indispensables en mathématiques et dans de nombreux domaines d'application.