Introduction aux nombres complexes

Jusqu'à présent, vous avez appris à résoudre des équations du second degré de la forme $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \neq 0$. La méthode repose sur le calcul du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

• Si $\Delta > 0$, l'équation a deux solutions réelles distinctes : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta = 0$, l'équation a une unique solution réelle double : $x_0 = \frac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta < 0$, on disait jusqu'à présent que l'équation n'avait pas de solution réelle.

C'est précisément ce dernier cas qui a motivé l'introduction des nombres complexes. Par exemple, l'équation $x^2 + 1 = 0$ implique $x^2 = -1$. Or, aucun nombre réel élevé au carré ne peut donner un résultat négatif. Pour résoudre ce type d'équations, les mathématiciens ont imaginé un nouvel ensemble de nombres.

Les nombres complexes permettent de donner des solutions aux équations du second degré dont le discriminant est négatif.

Pour résoudre $x^2 = -1$, on introduit un nouveau nombre, noté i, tel que : $i^2 = -1$ Ce nombre i est appelé l'unité imaginaire.

Avec cette définition, les solutions de $x^2 = -1$ sont $x = i$ et $x = -i$.

Voyons quelques puissances de i :

• $i^0 = 1$
• $i^1 = i$
• $i^2 = -1$
• $i^3 = i^2 \times i = -1 \times i = -i$
• $i^4 = i^2 \times i^2 = (-1) \times (-1) = 1$
• $i^5 = i^4 \times i = 1 \times i = i$ On constate que les puissances de i sont cycliques, elles reviennent tous les 4 termes : $1, i, -1, -i, 1, i, \dots$

Pour calculer $i^n$, on peut trouver le reste de la division euclidienne de $n$ par 4. Si $n = 4q + r$, alors $i^n = i^r$. Exemple : $i^{23} = i^{4 \times 5 + 3} = i^3 = -i$.

Calculs simples avec i : On peut manipuler i comme n'importe quelle variable, en se rappelant que $i^2 = -1$. Exemple : $(2+3i) + (1-i) = (2+1) + (3-1)i = 3+2i$ Exemple : $3i \times 4i = 12i^2 = 12(-1) = -12$

Un nombre complexe $z$ est un nombre qui peut s'écrire sous la forme algébrique : $z = a + bi$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels, et $i$ est l'unité imaginaire.

• $a$ est appelé la partie réelle de $z$, notée $\text{Re}(z)$.
• $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$, notée $\text{Im}(z)$.

Un nombre complexe est réel si sa partie imaginaire est nulle ($b=0$). Un nombre complexe est dit imaginaire pur si sa partie réelle est nulle ($a=0$).

L'ensemble des nombres complexes est noté $\mathbb{C}$. L'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels est un sous-ensemble de $\mathbb{C}$ (correspond au cas où $\text{Im}(z)=0$).

Deux nombres complexes $z = a+bi$ et $z' = a'+b'i$ sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales : $z = z' \iff (a=a' \text{ et } b=b')$

Exemple : Si $z = 3 - 2i$, alors $\text{Re}(z) = 3$ et $\text{Im}(z) = -2$.

Pour additionner ou soustraire des nombres complexes, on additionne (ou soustrait) leurs parties réelles entre elles et leurs parties imaginaires entre elles.

Soient $z_1 = a_1 + b_1i$ et $z_2 = a_2 + b_2i$.

• Addition : $z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$
• Soustraction : $z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$

Exemple : $(3 + 2i) + (1 - 4i) = (3+1) + (2-4)i = 4 - 2i$ Exemple : $(5 - i) - (2 + 3i) = (5-2) + (-1-3)i = 3 - 4i$

Ces opérations sont associatives et commutatives, comme pour les nombres réels.

Pour multiplier des nombres complexes, on utilise la double distributivité, comme avec des expressions littérales, puis on remplace $i^2$ par $-1$.

Soient $z_1 = a_1 + b_1i$ et $z_2 = a_2 + b_2i$. $z_1 \times z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i)$ $= a_1 a_2 + a_1 b_2i + b_1i a_2 + b_1i b_2i$ $= a_1 a_2 + (a_1 b_2 + b_1 a_2)i + b_1 b_2 i^2$ $= a_1 a_2 + (a_1 b_2 + b_1 a_2)i - b_1 b_2$ En regroupant les parties réelle et imaginaire : $z_1 \times z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2)i$

Exemple : $(2 + 3i)(1 - i)$ $= 2 \times 1 + 2 \times (-i) + 3i \times 1 + 3i \times (-i)$ $= 2 - 2i + 3i - 3i^2$ $= 2 + i - 3(-1)$ $= 2 + i + 3$ $= 5 + i$

La multiplication est également associative et commutative.

Le conjugué d'un nombre complexe $z = a+bi$ est le nombre complexe noté $\bar{z}$ (lire "z barre") défini par : $\bar{z} = a - bi$ On change le signe de la partie imaginaire.

Exemple : Si $z = 3 + 4i$, alors $\bar{z} = 3 - 4i$. Exemple : Si $z = -2i$, alors $\bar{z} = 2i$. Exemple : Si $z = 5$ (nombre réel), alors $\bar{z} = 5$.

Propriétés du conjugué :

• $\overline{\bar{z}} = z$
• $z + \bar{z} = (a+bi) + (a-bi) = 2a = 2 \text{Re}(z)$ (un nombre réel)
• $z - \bar{z} = (a+bi) - (a-bi) = 2bi = 2i \text{Im}(z)$ (un imaginaire pur)
• $z$ est réel si et seulement si $z = \bar{z}$.
• $z$ est imaginaire pur si et seulement si $z = -\bar{z}$.
• $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}$
• $\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1} \bar{z_2}$
• $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$ (si $z_2 \neq 0$)
• $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$

Le produit $z \times \bar{z}$ est particulièrement important : $z \bar{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2$. Le produit d'un nombre complexe par son conjugué est toujours un nombre réel positif ou nul. Ce résultat est crucial pour la division.

Pour diviser un nombre complexe $z_1$ par un nombre complexe $z_2$ (non nul), on utilise une technique qui consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Cela permet de rendre le dénominateur réel.

Soient $z_1 = a_1 + b_1i$ et $z_2 = a_2 + b_2i$ avec $z_2 \neq 0$. $\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)}$ Le dénominateur devient $a_2^2 + b_2^2$ (un nombre réel). Le numérateur est un produit de nombres complexes que l'on développe : $(a_1 a_2 + b_1 b_2) + (-a_1 b_2 + b_1 a_2)i$. Donc : $\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \frac{b_1 a_2 - a_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2}i$ Cette expression est de la forme $A+Bi$.

Exemple : Écrire $\frac{2+i}{1-3i}$ sous forme algébrique. $\frac{2+i}{1-3i} = \frac{(2+i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)}$ Numérateur : $(2+i)(1+3i) = 2 \times 1 + 2 \times 3i + i \times 1 + i \times 3i = 2 + 6i + i + 3i^2 = 2 + 7i - 3 = -1 + 7i$. Dénominateur : $(1-3i)(1+3i) = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$. Donc $\frac{2+i}{1-3i} = \frac{-1+7i}{10} = -\frac{1}{10} + \frac{7}{10}i$.

On utilise un plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{u}, \vec{v})$. Ce plan est appelé le plan complexe (ou plan d'Argand-Cauchy).

• L'axe des abscisses est l'axe des réels.
• L'axe des ordonnées est l'axe des imaginaires.

À tout nombre complexe $z = a+bi$, on peut associer :

• Un point $M$ de coordonnées $(a, b)$. Ce point $M$ est appelé l'image de $z$.
• Un vecteur $\vec{OM}$ dont les coordonnées sont $(a, b)$. Ce nombre complexe $z$ est appelé l'affixe du point $M$ ou l'affixe du vecteur $\vec{OM}$.

Notation : $M(z)$ pour indiquer que $M$ est l'image de $z$.

Exemple : Le nombre complexe $z = 3+2i$ est représenté par le point $M(3,2)$.

L'affixe d'un vecteur $\vec{AB}$ où $A$ a pour affixe $z_A = x_A + i y_A$ et $B$ a pour affixe $z_B = x_B + i y_B$ est donnée par : $\text{aff}(\vec{AB}) = z_B - z_A = (x_B - x_A) + i(y_B - y_A)$

• Addition et soustraction : L'addition de complexes correspond à l'addition vectorielle. Si $z_1 = \text{aff}(\vec{OM_1})$ et $z_2 = \text{aff}(\vec{OM_2})$, alors $z_1+z_2 = \text{aff}(\vec{OM_1} + \vec{OM_2})$. De même pour la soustraction.
  • Si $A$ et $B$ sont les images de $z_A$ et $z_B$, alors le point $C$ d'affixe $z_A+z_B$ est tel que $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$.
• Conjugaison : L'image de $\bar{z}$ est le point $M'$ symétrique de $M$ (image de $z$) par rapport à l'axe des réels. Si $M(a,b)$, alors $M'(a,-b)$.
• Multiplication par un réel $k$ : Si $z' = kz$, alors le point $M'$ (image de $z'$) est sur la droite $(OM)$ et $OM' = |k| OM$. C'est une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$.
• Multiplication par i : Si $z' = iz$, cela correspond à une rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ (ou $90^\circ$) dans le sens direct.

Le module d'un nombre complexe $z = a+bi$, noté $|z|$, est la distance entre l'origine $O$ et le point $M$ image de $z$ dans le plan complexe. En utilisant le théorème de Pythagore : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ Notez que $|z|$ est un nombre réel positif ou nul. Le module d'un nombre complexe est sa "taille" ou sa "longueur" dans le plan complexe.

Propriétés du module :

• $|z| = 0 \iff z = 0$
• $|z| = |\bar{z}|$
• $|z|^2 = z \bar{z} = a^2 + b^2$ (très utile pour les calculs !)
• $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$
• $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ (si $z_2 \neq 0$)
• $|z^n| = |z|^n$
• Inégalité triangulaire : $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$. L'égalité a lieu si $z_1$ et $z_2$ ont même argument (sont colinéaires de même sens).

Interprétation géométrique :

• $|z|$ est la distance $OM$.
• $|z_B - z_A|$ est la distance entre les points $A$ et $B$. $AB = |z_B - z_A|$.

Exemple : Calculer le module de $z = 3 - 4i$. $|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Pour un nombre complexe $z = a+bi$ non nul, l'argument de $z$, noté $\arg(z)$, est la mesure en radians de l'angle $(\vec{u}, \vec{OM})$ où $M$ est l'image de $z$.

• L'argument n'est pas unique : si $\theta$ est un argument, alors $\theta + 2k\pi$ (avec $k \in \mathbb{Z}$) est aussi un argument.
• On appelle argument principal l'unique argument $\theta$ qui appartient à l'intervalle $]-\pi, \pi]$.

Pour calculer l'argument $\theta$ d'un nombre complexe $z = a+bi$ (avec $z \neq 0$) : On sait que $a = |z| \cos \theta$ et $b = |z| \sin \theta$. Donc $\cos \theta = \frac{a}{|z|}$ et $\sin \theta = \frac{b}{|z|}$. On utilise ces deux valeurs pour trouver $\theta$ à l'aide du cercle trigonométrique.

Exemple : Trouver l'argument principal de $z = 1 + i$. $|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Donc $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. L'angle $\theta$ dans $]-\pi, \pi]$ qui satisfait ces conditions est $\theta = \frac{\pi}{4}$. Donc $\arg(1+i) = \frac{\pi}{4}$.

Propriétés de l'argument (pour $z_1, z_2 \neq 0$) :

• $\arg(\bar{z}) = -\arg(z) \pmod{2\pi}$
• $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) \pmod{2\pi}$
• $\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2) \pmod{2\pi}$
• $\arg(z^n) = n \arg(z) \pmod{2\pi}$

La forme trigonométrique d'un nombre complexe $z$ non nul est : $z = |z| (\cos \theta + i \sin \theta)$ où $|z|$ est le module de $z$ et $\theta$ est un argument de $z$.

Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique :

1. Calculer le module $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$.
2. Calculer un argument $\theta$ en résolvant $\cos \theta = \frac{a}{|z|}$ et $\sin \theta = \frac{b}{|z|}$.

Exemple : Mettre $z = \sqrt{3} + i$ sous forme trigonométrique.

1. $|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
2. $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \theta = \frac{1}{2}$. Donc $\theta = \frac{\pi}{6}$. La forme trigonométrique est $z = 2 \left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$.

Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique : On calcule les valeurs de $\cos \theta$ et $\sin \theta$ et on distribue le module. Exemple : Mettre $z = 4 \left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)$ sous forme algébrique. $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ et $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $z = 4 \left(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2 + 2i\sqrt{3}$.

Interprétation géométrique : La forme trigonométrique décrit un point par sa distance à l'origine $(|z|)$ et l'angle qu'il forme avec l'axe réel positif $(\theta)$. C'est le système de coordonnées polaires.

La formule d'Euler établit un lien fondamental entre les fonctions trigonométriques et l'exponentielle complexe : $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ Grâce à cette formule, la forme trigonométrique peut être réécrite sous une forme plus compacte, la forme exponentielle : $z = |z| e^{i\theta}$ où $|z|$ est le module et $\theta$ est un argument de $z$.

La forme exponentielle est très pratique pour les calculs de produits, quotients et puissances.

Exemple : $z = 2 \left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$ devient $z = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$. Exemple : $z = -1 + i\sqrt{3}$. On a $|z|=2$ et $\arg(z) = \frac{2\pi}{3}$. Donc $z = 2e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

Passage entre formes trigonométrique et exponentielle : Ils sont directs grâce à la formule d'Euler. Il suffit de remplacer $\cos \theta + i \sin \theta$ par $e^{i\theta}$ ou inversement.

Ces formes simplifient grandement certaines opérations :

Soient $z_1 = |z_1| e^{i\theta_1}$ et $z_2 = |z_2| e^{i\theta_2}$.

• Multiplication : On multiplie les modules et on additionne les arguments. $z_1 z_2 = (|z_1| e^{i\theta_1}) (|z_2| e^{i\theta_2}) = |z_1| |z_2| e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$ En forme trigonométrique : $z_1 z_2 = |z_1| |z_2| (\cos(\theta_1+\theta_2) + i \sin(\theta_1+\theta_2))$.

• Division : On divise les modules et on soustrait les arguments. $\frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1| e^{i\theta_1}}{|z_2| e^{i\theta_2}} = \frac{|z_1|}{|z_2|} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$ En forme trigonométrique : $\frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|} (\cos(\theta_1-\theta_2) + i \sin(\theta_1-\theta_2))$.

• Puissances (Formule de Moivre) : Pour un entier $n$, $z^n = (|z| e^{i\theta})^n = |z|^n e^{in\theta}$ En forme trigonométrique, c'est la Formule de Moivre : $(|z| (\cos \theta + i \sin \theta))^n = |z|^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$ Un cas particulier important est $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$, soit $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$.

Exemple : Calculer $(1+i)^8$.

1. Mettre $1+i$ sous forme exponentielle : $|1+i| = \sqrt{2}$, $\arg(1+i) = \frac{\pi}{4}$. Donc $1+i = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$.
2. Appliquer la formule de Moivre (ou la propriété de puissance de l'exponentielle) : $(1+i)^8 = (\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}})^8 = (\sqrt{2})^8 e^{i(8 \times \frac{\pi}{4})} = (2^{1/2})^8 e^{i2\pi} = 2^4 e^{i2\pi} = 16 (\cos(2\pi) + i \sin(2\pi)) = 16(1+0i) = 16$.

• Équations du second degré avec $\Delta < 0$ : Si $ax^2 + bx + c = 0$ avec $\Delta < 0$, les solutions sont complexes conjuguées : $x_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}$. Exemple : $x^2 + x + 1 = 0$. $\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$. $x_1 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ et $x_2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$.

• Racines n-ièmes de l'unité : Ce sont les solutions de l'équation $z^n = 1$. En forme exponentielle, $z^n = 1 \iff (|z|e^{i\theta})^n = 1e^{i0} \iff |z|^n e^{in\theta} = 1e^{i(0+2k\pi)}$. Cela implique $|z|^n = 1 \implies |z|=1$ (car $|z|$ est réel et positif). Et $n\theta = 2k\pi \implies \theta = \frac{2k\pi}{n}$ pour $k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$. Les $n$ racines n-ièmes de l'unité sont $z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ pour $k=0, 1, \dots, n-1$. Géométriquement, elles sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, avec un sommet en 1.

• Théorème fondamental de l'algèbre (admis) : Tout polynôme non constant à coefficients complexes (ou réels) de degré $n$ admet exactement $n$ racines complexes, comptées avec leur multiplicité. Cela signifie que toute équation polynomiale $P(z)=0$ a toujours des solutions dans $\mathbb{C}$.

• Racines complexes conjuguées : Si un polynôme à coefficients réels a une racine complexe $z_0$, alors son conjugué $\bar{z_0}$ est aussi une racine.

Les nombres complexes sont un outil puissant pour décrire et manipuler les transformations géométriques du plan.

• Translation : Une translation du vecteur $\vec{w}$ d'affixe $z_{\vec{w}}$ transforme un point $M(z)$ en $M'(z')$ telle que $z' = z + z_{\vec{w}}$.
• Rotation : Une rotation de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et d'angle $\alpha$ transforme $M(z)$ en $M'(z')$ telle que $z' - \omega = e^{i\alpha}(z - \omega)$.
• Homothétie : Une homothétie de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et de rapport $k$ (réel non nul) transforme $M(z)$ en $M'(z')$ telle que $z' - \omega = k(z - \omega)$.
• Similitudes directes : Une similitude directe est une transformation qui conserve les formes (angles et rapports de longueurs). Elle est la composée d'une homothétie et d'une rotation. Sa forme complexe est $z' = az + b$ où $a \in \mathbb{C}^*$ et $b \in \mathbb{C}$.
  • Si $a=1$, c'est une translation.
  • Si $b=0$ et $|a|=1$, c'est une rotation.
  • Si $b=0$ et $a$ est réel, c'est une homothétie.

Les nombres complexes permettent de traduire des propriétés géométriques en relations algébriques.

• Alignement de points : Trois points distincts $A, B, C$ d'affixes $z_A, z_B, z_C$ sont alignés si et seulement si $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un nombre réel. Cela signifie que le vecteur $\vec{AC}$ est colinéaire au vecteur $\vec{AB}$, donc leurs arguments sont égaux ou diffèrent de $\pi$.
• Orthogonalité de droites : Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales si et seulement si $\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}$ est un imaginaire pur. Cela signifie que l'angle entre les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ est $\frac{\pi}{2}$ ou $-\frac{\pi}{2}$, donc l'argument du quotient est $\frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$.
• Nature de triangles :
  • Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ si $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un imaginaire pur (l'angle $\widehat{BAC}$ est $\pm \frac{\pi}{2}$).
  • Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ si $|z_C - z_A| = |z_B - z_A|$ (les longueurs $AC=AB$).
  • Le triangle $ABC$ est équilatéral si $|z_C - z_A| = |z_B - z_A| = |z_C - z_B|$ et l'angle entre deux côtés est $\pm \frac{\pi}{3}$. Cela se traduit par exemple par $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{i\frac{\pi}{3}}$ ou $e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

En résumé, les nombres complexes offrent une perspective unifiée et élégante pour aborder de nombreux problèmes de géométrie et d'algèbre.