Calcul vectoriel et produit scalaire

Un vecteur est un objet mathématique qui possède une direction, un sens et une longueur (aussi appelée norme). Il ne dépend pas d'une position de départ fixe. On peut le voir comme une "flèche" qui indique un déplacement.

• Définition d'un vecteur : Soient deux points A et B du plan ou de l'espace. Le vecteur $\vec{AB}$ représente le déplacement de A vers B.

  • Son origine est A.
  • Son extrémité est B.
  • Sa direction est celle de la droite (AB).
  • Son sens est de A vers B.
  • Sa longueur (ou norme) est la distance AB, notée $||\vec{AB}||$ ou $AB$.

  Un vecteur peut aussi être noté par une seule lettre avec une flèche, comme $\vec{u}$ ou $\vec{v}$. Le vecteur nul, noté $\vec{0}$, a une longueur nulle et n'a pas de direction ni de sens définis.

• Représentation graphique : Un vecteur est représenté par une flèche. Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Cela signifie qu'on peut "déplacer" un vecteur sans changer sa valeur, tant qu'on respecte ces trois critères.

• Coordonnées d'un vecteur : Dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ du plan, si un point A a pour coordonnées $(x_A; y_A)$ et un point B a pour coordonnées $(x_B; y_B)$, alors les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont : $\vec{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$.

  Si un vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées $(x; y)$, on le note $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

Les vecteurs peuvent être additionnés entre eux et multipliés par un nombre réel (un scalaire).

• Addition de vecteurs : L'addition de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est un nouveau vecteur, noté $\vec{u} + \vec{v}$.

  • Règle du parallélogramme : Si $\vec{u} = \vec{OA}$ et $\vec{v} = \vec{OB}$, alors $\vec{u} + \vec{v} = \vec{OC}$ où OCAB est un parallélogramme.
  • Relation de Chasles : Pour trois points A, B, C, on a $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. C'est une méthode très utile pour simplifier des sommes de vecteurs.
  • Avec les coordonnées : Si $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$, alors $\vec{u} + \vec{v} \begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix}$.

• Multiplication par un scalaire : Multiplier un vecteur $\vec{u}$ par un nombre réel $k$ (un scalaire) donne un nouveau vecteur, noté $k\vec{u}$.

  • Le vecteur $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$.
  • Son sens est le même que $\vec{u}$ si $k > 0$, et opposé si $k < 0$. Si $k=0$, $k\vec{u} = \vec{0}$.
  • Sa longueur est $|k| \times ||\vec{u}||$.
  • Avec les coordonnées : Si $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, alors $k\vec{u} \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$.

• Propriétés des opérations :

  • Commutativité de l'addition : $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$
  • Associativité de l'addition : $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$
  • Élément neutre pour l'addition : $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$
  • Opposé d'un vecteur : $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$ (où $-\vec{u}$ est le vecteur opposé, de même longueur et direction mais de sens opposé).
  • Distributivité : $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$ et $(k+k')\vec{u} = k\vec{u} + k'\vec{u}$

La colinéarité est une notion cruciale en géométrie vectorielle.

• Définition de la colinéarité : Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction. Cela signifie que l'un est un multiple de l'autre. Il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (ou $\vec{u} = k\vec{v}$). Le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.

• Critère de colinéarité (coordonnées) : Dans un repère, si $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$, alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Cela se traduit par la condition : $xy' - yx' = 0$. Ce nombre $xy' - yx'$ est appelé le déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\text{det}(\vec{u}, \vec{v})$. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

• Alignement de points : Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

$\vec{AB} \begin{pmatrix} 3-1 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$
$\vec{AC} \begin{pmatrix} 4-1 \\ 8-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$
Déterminant : $2 \times 6 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0$.
Puisque le déterminant est nul, $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, donc A, B et C sont alignés.

Un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ est dit orthonormé si les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont orthogonaux (leurs directions sont perpendiculaires) et de même norme (généralement 1). Dans un tel repère, les calculs de longueurs et de distances sont simplifiés.

• Norme d'un vecteur : Si $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormé, la norme (longueur) de $\vec{u}$ est donnée par la formule : $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

• Distance entre deux points : La distance entre deux points A$(x_A; y_A)$ et B$(x_B; y_B)$ est la norme du vecteur $\vec{AB}$. $AB = ||\vec{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Cette formule dérive directement du théorème de Pythagore.

• Milieu d'un segment : Le milieu M d'un segment [AB] a pour coordonnées la moyenne des coordonnées des points A et B : $M \left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2} \right)$.

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

• Projection orthogonale : Soient $\vec{u} = \vec{OA}$ et $\vec{v} = \vec{OB}$. Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (OA). Alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{OA} \cdot \vec{OH}$.

  • Si $\vec{OH}$ et $\vec{OA}$ ont le même sens, $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{OA}|| \times ||\vec{OH}||$.
  • Si $\vec{OH}$ et $\vec{OA}$ ont des sens opposés, $\vec{u} \cdot \vec{v} = -||\vec{OA}|| \times ||\vec{OH}||$.

• Formule avec les normes et l'angle : Si $\theta$ est l'angle non orienté entre les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (avec $0 \le \theta \le \pi$), alors le produit scalaire est défini par : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$. Cette formule est très utile pour calculer des angles ou pour relier les longueurs aux angles dans des figures géométriques.

• Cas particuliers (vecteurs orthogonaux, colinéaires) :

  • Vecteurs orthogonaux : Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux (perpendiculaires), alors $\theta = \frac{\pi}{2}$ (ou $90^\circ$). Dans ce cas, $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, donc $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
  • Vecteurs colinéaires de même sens : Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires et de même sens, alors $\theta = 0$. Dans ce cas, $\cos(0) = 1$, donc $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||$.
  • Vecteurs colinéaires de sens opposé : Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires et de sens opposé, alors $\theta = \pi$. Dans ce cas, $\cos(\pi) = -1$, donc $\vec{u} \cdot \vec{v} = -||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||$.
  • Carré scalaire : Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est appelé le carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{u}|| \times \cos(0) = ||\vec{u}||^2$. Donc $\vec{u}^2 = ||\vec{u}||^2$.

La définition analytique est particulièrement pratique pour les calculs dans un repère orthonormé.

• Formule avec les coordonnées : Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, si $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$, alors le produit scalaire est : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.

• Calcul dans un repère orthonormé :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(-1) + (3)(4) = -2 + 12 = 10$.

• Équivalence des définitions : Les deux définitions (géométrique et analytique) sont équivalentes. C'est une propriété fondamentale qui permet de choisir la méthode la plus adaptée à chaque problème. La définition analytique est souvent plus rapide pour les calculs numériques.

Le produit scalaire possède plusieurs propriétés importantes qui facilitent les calculs et les démonstrations.

• Symétrie : Le produit scalaire est commutatif. $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$.

• Bilinéarité : Le produit scalaire est linéaire par rapport à chaque argument.

  • Homogénéité : $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ et $\vec{u} \cdot (k\vec{v}) = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$.
  • Distributivité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}$. Ces propriétés sont très utiles pour développer des expressions vectorielles, par exemple : $(\vec{u} + \vec{v})^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u}^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 = ||\vec{u}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2$. De même, $(\vec{u} - \vec{v})^2 = ||\vec{u}||^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2$. Et $(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2$.

• Positivité et nullité :

  • $\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2 \ge 0$.
  • $\vec{u} \cdot \vec{u} = 0 \iff \vec{u} = \vec{0}$. Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est toujours positif ou nul, et il est nul si et seulement si le vecteur est le vecteur nul.

• Détermination de l'angle entre deux vecteurs : À partir de la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$, on peut isoler le cosinus de l'angle : $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||}$. Une fois $\cos(\theta)$ connu, on peut trouver $\theta$ en utilisant la fonction arccos (cosinus inverse) sur une calculatrice.

• Utilisation de la formule cosinus : Pour calculer l'angle entre deux vecteurs $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormé :

  1. Calculer le produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
  2. Calculer les normes : $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$ et $||\vec{v}|| = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}$.
  3. Appliquer la formule : $\cos(\theta) = \frac{xx' + yy'}{\sqrt{x^2 + y^2} \sqrt{(x')^2 + (y')^2}}$.

• Angles dans un triangle : Dans un triangle ABC, pour trouver l'angle $\widehat{BAC}$, on calcule l'angle entre les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{||\vec{AB}|| \times ||\vec{AC}||}$. Ceci est à la base du théorème d'Al-Kashi.

• Critère d'orthogonalité : Comme vu précédemment, deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(3) + (-1)(6) = 6 - 6 = 0$. Oui, ils sont orthogonaux.

• Vecteurs normaux : Un vecteur normal à une droite (D) est un vecteur non nul qui est orthogonal à tous les vecteurs directeurs de cette droite. Si une droite (D) a pour équation cartésienne $ax + by + c = 0$, alors le vecteur $\vec{n} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à (D).

• Droites perpendiculaires : Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux (ou si un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur normal de l'autre, etc.). Si (D1) a pour vecteur directeur $\vec{u_1}$ et (D2) a pour vecteur directeur $\vec{u_2}$, alors (D1) $\perp$ (D2) $\iff \vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0$.

• Distance d'un point à une droite : Soit un point A et une droite (D) définie par un point B et un vecteur directeur $\vec{u}$ (ou un vecteur normal $\vec{n}$). La distance du point A à la droite (D) est la longueur AH, où H est le projeté orthogonal de A sur (D). Si (D) a pour équation $ax + by + c = 0$ et A a pour coordonnées $(x_A; y_A)$, la distance est donnée par la formule : $d(A, D) = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$. Cette formule est très pratique et découle des propriétés du produit scalaire.

• Projection orthogonale d'un vecteur sur un autre : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. La projection orthogonale de $\vec{v}$ sur $\vec{u}$ est un vecteur $\vec{p}$ colinéaire à $\vec{u}$ tel que $\vec{v} - \vec{p}$ est orthogonal à $\vec{u}$. On peut montrer que $\vec{p} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}||^2} \vec{u}$.

• Hauteurs et médianes :

  • Les hauteurs d'un triangle sont des droites issues d'un sommet et perpendiculaires au côté opposé. L'orthogonalité se vérifie avec le produit scalaire.
  • Les médianes d'un triangle relient un sommet au milieu du côté opposé. Le théorème de la médiane (voir plus bas) utilise le produit scalaire pour calculer leur longueur.

• Vecteur normal à une droite : Une droite (D) est entièrement déterminée par un de ses points et un vecteur normal $\vec{n}$. Soit A un point de la droite (D) et $\vec{n} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ un vecteur normal à (D). Alors pour tout point M$(x; y)$ appartenant à (D), le vecteur $\vec{AM}$ est orthogonal à $\vec{n}$. Donc $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$. Si A$(x_A; y_A)$, alors $\vec{AM} \begin{pmatrix} x - x_A \\ y - y_A \end{pmatrix}$. L'équation devient $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$, ce qui se développe en $ax + by - ax_A - by_A = 0$. En posant $c = -ax_A - by_A$, on obtient l'équation cartésienne générale : $ax + by + c = 0$.

• Détermination de l'équation : Pour trouver l'équation d'une droite :

  • Si on connaît un point A et un vecteur normal $\vec{n} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, on utilise la forme $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$.
  • Si on connaît un point A et un vecteur directeur $\vec{u} \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ (ou $\begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix}$), on peut en déduire le vecteur normal $\vec{n} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$.

• Passage d'une forme à l'autre :

  • De l'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ : Un vecteur normal est $\vec{n} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$. Un vecteur directeur est $\vec{u} \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ (car $\vec{n} \cdot \vec{u} = a(-b) + b(a) = 0$).
  • De la forme réduite $y = mx + p$ : On peut la réécrire $mx - y + p = 0$. Ici, $a=m$, $b=-1$, $c=p$. Un vecteur normal est $\vec{n} \begin{pmatrix} m \\ -1 \end{pmatrix}$. Un vecteur directeur est $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$ (la pente $m$ est $\frac{\Delta y}{\Delta x}$).

• Définition du cercle : Un cercle est l'ensemble des points M du plan qui sont à une distance fixe (le rayon $R$) d'un point donné (le centre $\Omega$).

• Équation cartésienne (forme développée et réduite) : Soit $\Omega(x_0; y_0)$ le centre du cercle et $R$ son rayon. Un point M$(x; y)$ appartient au cercle si et seulement si $\Omega M = R$. En utilisant la formule de distance, cela donne $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = R$. En élevant au carré, on obtient l'équation réduite du cercle : $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. En développant, on obtient l'équation développée : $x^2 - 2x_0x + x_0^2 + y^2 - 2y_0y + y_0^2 = R^2$ $x^2 + y^2 - 2x_0x - 2y_0y + x_0^2 + y_0^2 - R^2 = 0$. Cette forme est de type $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$.

• Détermination du centre et du rayon :

  • Depuis la forme réduite : $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, le centre est $\Omega(x_0; y_0)$ et le rayon est $R$.
  • Depuis la forme développée $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ : On procède par complétion du carré pour retrouver la forme réduite. $(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) + F = 0$ $(x + \frac{D}{2})^2 - (\frac{D}{2})^2 + (y + \frac{E}{2})^2 - (\frac{E}{2})^2 + F = 0$ $(x + \frac{D}{2})^2 + (y + \frac{E}{2})^2 = (\frac{D}{2})^2 + (\frac{E}{2})^2 - F$. Le centre est $\Omega(-\frac{D}{2}; -\frac{E}{2})$. Le rayon au carré est $R^2 = (\frac{D}{2})^2 + (\frac{E}{2})^2 - F$. ==Un cercle existe si et seulement si $R^2 > 0$. Si $R^2 = 0$, c'est un point. Si $R^2 < 0$, il n'y a pas de cercle.==

Le produit scalaire est utile pour étudier les intersections entre objets géométriques.

• Point et cercle : Soit un cercle de centre $\Omega$ et de rayon $R$. Un point M est :

  • Sur le cercle si $\Omega M = R$.
  • À l'intérieur du cercle si $\Omega M < R$.
  • À l'extérieur du cercle si $\Omega M > R$. On peut utiliser la formule de distance pour calculer $\Omega M$.

• Droite et cercle : Pour déterminer la position relative d'une droite (D) et d'un cercle (C) de centre $\Omega$ et rayon $R$, on calcule la distance $d(\Omega, D)$ du centre du cercle à la droite.

  • Si $d(\Omega, D) > R$ : la droite ne coupe pas le cercle (pas de point d'intersection).
  • Si $d(\Omega, D) = R$ : la droite est tangente au cercle (un seul point d'intersection).
  • Si $d(\Omega, D) < R$ : la droite est sécante au cercle (deux points d'intersection).

• Tangente à un cercle : La tangente à un cercle (C) en un point T de ce cercle est la droite perpendiculaire au rayon $[\Omega T]$ en T. Cela signifie que le vecteur $\vec{\Omega T}$ est un vecteur normal à la tangente en T. Si $\Omega(x_0; y_0)$ et $T(x_T; y_T)$, alors le vecteur normal est $\vec{n} = \vec{\Omega T} \begin{pmatrix} x_T - x_0 \\ y_T - y_0 \end{pmatrix}$. L'équation de la tangente est alors $(x_T - x_0)(x - x_T) + (y_T - y_0)(y - y_T) = 0$.

Le théorème d'Al-Kashi, aussi connu sous le nom de loi des cosinus, est une généralisation du théorème de Pythagore à tous les triangles.

• Formulation du théorème : Dans un triangle quelconque ABC, si on note $a = BC$, $b = AC$ et $c = AB$, et si $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ sont les angles aux sommets A, B, C respectivement, alors : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\widehat{A})$ $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\widehat{B})$ $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\widehat{C})$

• Application dans un triangle quelconque : Ce théorème est très utile pour :

  • Calculer la longueur d'un côté si l'on connaît les longueurs des deux autres côtés et l'angle entre eux.
  • Calculer les angles d'un triangle si l'on connaît les longueurs de ses trois côtés.

• Démonstration rapide avec le produit scalaire : $a^2 = BC^2 = ||\vec{BC}||^2 = ||\vec{BA} + \vec{AC}||^2 = ||-\vec{AB} + \vec{AC}||^2$ $a^2 = ||\vec{AC} - \vec{AB}||^2 = (\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB})$ $a^2 = ||\vec{AC}||^2 - 2\vec{AC} \cdot \vec{AB} + ||\vec{AB}||^2$ $a^2 = b^2 - 2(b \times c \times \cos(\widehat{A})) + c^2$ $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\widehat{A})$.

Le théorème de la médiane établit une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle et la longueur d'une de ses médianes.

• Formulation du théorème : Dans un triangle ABC, soit M le milieu du segment [BC]. Alors : $AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + \frac{BC^2}{2}$. On peut aussi l'écrire $AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$.

• Application dans un triangle : Ce théorème permet de calculer la longueur d'une médiane si l'on connaît les longueurs des trois côtés du triangle, ou la longueur d'un côté si l'on connaît les autres longueurs et la médiane.

• Démonstration rapide avec le produit scalaire : $AB^2 = ||\vec{AB}||^2 = ||\vec{AM} + \vec{MB}||^2 = ||\vec{AM}||^2 + 2\vec{AM} \cdot \vec{MB} + ||\vec{MB}||^2$ $AC^2 = ||\vec{AC}||^2 = ||\vec{AM} + \vec{MC}||^2 = ||\vec{AM}||^2 + 2\vec{AM} \cdot \vec{MC} + ||\vec{MC}||^2$ En additionnant les deux expressions : $AB^2 + AC^2 = 2||\vec{AM}||^2 + 2\vec{AM} \cdot (\vec{MB} + \vec{MC}) + ||\vec{MB}||^2 + ||\vec{MC}||^2$. Puisque M est le milieu de [BC], $\vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}$. De plus, $||\vec{MB}|| = ||\vec{MC}|| = \frac{BC}{2}$, donc $||\vec{MB}||^2 = ||\vec{MC}||^2 = \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = \frac{BC^2}{4}$. Donc, $AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + 2\vec{AM} \cdot \vec{0} + \frac{BC^2}{4} + \frac{BC^2}{4}$ $AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + \frac{2BC^2}{4} = 2AM^2 + \frac{BC^2}{2}$.

Le produit scalaire ne calcule pas directement l'aire, mais il est lié à des concepts qui le font.

• Aire d'un triangle avec le produit scalaire : L'aire d'un triangle ABC est donnée par la formule classique $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}$. On sait que l'aire peut aussi être exprimée avec les longueurs et un sinus d'angle : Aire(ABC) $= \frac{1}{2} AB \times AC \times \sin(\widehat{BAC})$. Bien que le produit scalaire utilise le cosinus, il existe une relation fondamentale : $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$. On peut donc exprimer $\sin(\theta)$ à partir de $\cos(\theta)$ (en faisant attention au signe, mais pour un angle de triangle, $\sin(\theta) \ge 0$). $\sin(\widehat{BAC}) = \sqrt{1 - \cos^2(\widehat{BAC})}$. En remplaçant $\cos(\widehat{BAC})$ par sa formule avec le produit scalaire, on peut calculer l'aire.

• Formule de Héron (rappel) : La formule de Héron permet de calculer l'aire d'un triangle uniquement à partir des longueurs de ses côtés $a, b, c$. Soit $p = \frac{a+b+c}{2}$ le demi-périmètre du triangle. Aire(ABC) $= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. Cette formule est utile quand les angles ne sont pas connus.

• Applications géométriques : Ces formules d'aire sont utilisées dans de nombreux contextes, des calculs de surfaces dans des terrains aux résolutions de problèmes de géométrie complexe, en passant par la trigonométrie. Le produit scalaire offre une flexibilité pour aborder ces problèmes sous différents angles.