Variables aléatoires discrètes

En mathématiques, une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut pas être prédit avec certitude, même si l'on connaît toutes les conditions initiales. On sait quels sont les résultats possibles, mais on ne peut pas savoir lequel sera réalisé.

Exemples :

• Lancer d'un dé à six faces.
• Tirage d'une carte dans un jeu de 32 cartes.
• Mesure de la durée de vie d'une ampoule.

L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire est appelé l'univers des possibles (ou espace des échantillons). Il est généralement noté $\Omega$ (Omega).

Exemples :

• Pour un dé à six faces : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• Pour le tirage d'une carte : $\Omega$ contient 32 cartes distinctes.

Un événement est un sous-ensemble de l'univers des possibles. C'est une réalisation particulière ou un ensemble de réalisations de l'expérience aléatoire.

Exemples :

• "Obtenir un nombre pair" au lancer de dé : $\{2, 4, 6\}$.
• "Tirer un as" au jeu de cartes.

Un événement élémentaire est un événement qui ne contient qu'un seul résultat possible.

Exemples :

• "Obtenir 3" au lancer de dé : $\{3\}$.
• "Tirer l'as de pique".

Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue (chaque événement élémentaire) d'une expérience aléatoire. On la note généralement avec une lettre majuscule, comme $X$, $Y$, $Z$.

Imaginez que vous lancez deux dés et que vous vous intéressez à la somme des points obtenus. Chaque résultat de l'expérience (par exemple, (1,1), (1,2), ..., (6,6)) est associé à un nombre (2, 3, ..., 12). Cette association est une variable aléatoire.

Une variable aléatoire est dite discrète si l'ensemble de ses valeurs possibles est fini ou dénombrable (c'est-à-dire que l'on peut les compter, même s'il y en a une infinité comme 0, 1, 2, 3, ...). En d'autres termes, les valeurs que peut prendre la variable sont des nombres isolés, il n'y a pas d'intervalle continu de valeurs.

Les valeurs prises par une variable aléatoire $X$ sont souvent notées $x_i$. Par exemple, si $X$ représente le nombre de faces obtenues en lançant trois pièces, les valeurs possibles sont $x_i \in \{0, 1, 2, 3\}$.

Notation : $X(\omega)$ représente la valeur prise par la variable aléatoire $X$ lorsque l'issue de l'expérience est $\omega$.

Une variable aléatoire discrète compte quelque chose.

Distinction Discrète vs Continue :

• Discrète : Nombres de voitures passant un péage en une heure (0, 1, 2, ...), nombre d'enfants dans une famille.
• Continue : Taille d'une personne, durée de vie d'une batterie, température. (Ces variables peuvent prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné). Nous nous concentrons ici sur les variables discrètes.

Voici quelques exemples concrets pour bien saisir le concept :

1. Lancer de dés :

   • Expérience : Lancer un dé à six faces.
   • Variable aléatoire $X$ : "Le nombre affiché sur la face supérieure".
   • Valeurs possibles : $X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
   • C'est une variable aléatoire discrète.

2. Nombre de succès :

   • Expérience : Lancer une pièce de monnaie 3 fois.
   • Variable aléatoire $X$ : "Le nombre de fois où l'on obtient Face".
   • Valeurs possibles : $X \in \{0, 1, 2, 3\}$.
   • C'est une variable aléatoire discrète.

3. Tirage de boules :

   • Expérience : Tirer 2 boules sans remise d'une urne contenant 3 boules rouges et 2 boules bleues.
   • Variable aléatoire $Y$ : "Le nombre de boules rouges tirées".
   • Valeurs possibles : $Y \in \{0, 1, 2\}$.
   • C'est une variable aléatoire discrète.

4. Jeu de pile ou face :

   • Expérience : Lancer une pièce jusqu'à obtenir Pile pour la première fois.
   • Variable aléatoire $Z$ : "Le nombre de lancers nécessaires pour obtenir Pile".
   • Valeurs possibles : $Z \in \{1, 2, 3, ...\}$. Bien que l'ensemble des valeurs soit infini, il est dénombrable, donc $Z$ est une variable aléatoire discrète.

Ces exemples montrent comment une variable aléatoire discrète quantifie un aspect numérique d'une expérience aléatoire.

La loi de probabilité (ou distribution de probabilité) d'une variable aléatoire discrète $X$ est l'ensemble de toutes les valeurs $x_i$ que $X$ peut prendre, associées à leurs probabilités respectives $P(X=x_i)$. On note $P(X=x_i)$ la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne la valeur $x_i$.

Propriétés fondamentales d'une loi de probabilité :

1. Pour chaque valeur $x_i$, la probabilité associée doit être positive ou nulle : $P(X=x_i) \ge 0$.
2. La somme de toutes les probabilités doit être égale à 1. C'est-à-dire, si $x_1, x_2, ..., x_n$ sont toutes les valeurs possibles de $X$, alors : $\sum_{i=1}^{n} P(X=x_i) = P(X=x_1) + P(X=x_2) + ... + P(X=x_n) = 1$ Cette propriété est cruciale car elle garantit que toutes les issues possibles sont prises en compte.

Un tableau de loi de probabilité est une façon courante de présenter la loi d'une variable aléatoire discrète :

Exemple : Lancer d'un dé équilibré Soit $X$ la variable aléatoire représentant le résultat du lancer d'un dé équilibré. Les valeurs possibles sont $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Comme le dé est équilibré, chaque face a la même probabilité d'apparaître : $1/6$.

Vérification des propriétés :

1. Toutes les probabilités sont $1/6$, qui est $\ge 0$.
2. La somme est $1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1$. La loi est bien définie.

À partir de la loi de probabilité, on peut calculer diverses probabilités liées à la variable aléatoire $X$.

• $P(X=k)$ : C'est directement la probabilité donnée dans le tableau pour la valeur $k$. Exemple : $P(X=3)$ pour le dé est $1/6$.

• $P(X \le k)$ : La probabilité que $X$ prenne une valeur inférieure ou égale à $k$. On somme les probabilités des valeurs $x_i$ qui sont inférieures ou égales à $k$. $P(X \le k) = \sum_{x_i \le k} P(X=x_i)$ Exemple (dé) : $P(X \le 2) = P(X=1) + P(X=2) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3$.

• $P(X > k)$ : La probabilité que $X$ prenne une valeur strictement supérieure à $k$. On peut la calculer en sommant les probabilités des valeurs $x_i > k$, ou plus simplement en utilisant l'événement contraire : $P(X > k) = 1 - P(X \le k)$ Exemple (dé) : $P(X > 4) = P(X=5) + P(X=6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3$. Ou $P(X > 4) = 1 - P(X \le 4) = 1 - (P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)) = 1 - (4/6) = 2/6 = 1/3$.

• $P(a \le X \le b)$ : La probabilité que $X$ prenne une valeur entre $a$ et $b$ (inclus). On somme les probabilités des valeurs $x_i$ qui sont comprises dans l'intervalle $[a, b]$. $P(a \le X \le b) = \sum_{a \le x_i \le b} P(X=x_i)$ Exemple (dé) : $P(2 \le X \le 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3$.

Ces calculs sont essentiels pour répondre à des questions pratiques sur les variables aléatoires.

Les lois de probabilité peuvent être visualisées pour en faciliter la compréhension.

• Diagramme en bâtons : C'est la représentation la plus courante pour une variable aléatoire discrète. Sur l'axe des abscisses, on place les valeurs $x_i$ que peut prendre la variable aléatoire. Sur l'axe des ordonnées, on représente la probabilité $P(X=x_i)$ par un bâton (une ligne verticale) dont la hauteur est proportionnelle à cette probabilité. La hauteur de chaque bâton représente la probabilité de la valeur correspondante.

  Exemple (dé) :
  Probabilité
  1/6 |   |   |   |   |   |   |
      +---+---+---+---+---+---+---
      1   2   3   4   5   6   Valeurs de X
  

• Interprétation graphique : Un diagramme en bâtons permet de voir rapidement quelles sont les valeurs les plus probables (les bâtons les plus hauts) et comment les probabilités sont réparties. On peut visuellement estimer la tendance centrale ou la dispersion de la distribution.

• Fonction de répartition (mention) : Pour une variable aléatoire discrète, la fonction de répartition $F(x)$ est définie par $F(x) = P(X \le x)$. Elle donne la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une valeur inférieure ou égale à $x$. C'est une fonction en escalier qui est constante entre deux valeurs consécutives de $X$ et qui "saute" à chaque valeur possible de $X$. Bien que moins utilisée graphiquement que le diagramme en bâtons pour les discrètes, elle est fondamentale en théorie des probabilités.

L'espérance mathématique de $X$, notée $E(X)$, est la moyenne pondérée des valeurs que $X$ peut prendre, chaque valeur étant pondérée par sa probabilité. C'est, en quelque sorte, la valeur moyenne que l'on s'attend à obtenir si l'expérience est répétée un très grand nombre de fois.

Définition : $E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i)$ où $x_i$ sont les valeurs possibles de $X$ et $P(X=x_i)$ leurs probabilités respectives.

Calcul de E(X) : Reprenons l'exemple du dé : $E(X) = 1 \cdot (1/6) + 2 \cdot (1/6) + 3 \cdot (1/6) + 4 \cdot (1/6) + 5 \cdot (1/6) + 6 \cdot (1/6)$ $E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5$. On s'attend donc à obtenir en moyenne 3.5 si on lance le dé un grand nombre de fois.

Interprétation de l'espérance : L'espérance est un indicateur de la tendance centrale de la distribution. C'est la valeur "moyenne" ou "attendue". L'espérance n'est pas nécessairement une valeur que la variable aléatoire peut prendre. (Exemple : 3.5 n'est pas une face du dé).

Jeu équitable : Dans le contexte des jeux de hasard, un jeu est dit équitable si l'espérance de gain (ou de perte) du joueur est nulle. Si $E(X) > 0$, le jeu est favorable au joueur. Si $E(X) < 0$, il est défavorable.

Alors que l'espérance nous donne une idée de la valeur moyenne, la variance et l'écart-type nous renseignent sur la dispersion des valeurs autour de cette moyenne.

La variance de $X$, notée $V(X)$ ou $\sigma^2(X)$, mesure l'écart quadratique moyen des valeurs de $X$ par rapport à son espérance. Plus la variance est élevée, plus les valeurs sont dispersées autour de l'espérance.

Définition : $V(X) = E((X - E(X))^2) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot P(X=x_i)$

Formule de König-Huygens (plus pratique pour le calcul) : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ où $E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot P(X=x_i)$.

Calcul de V(X) (exemple du dé) : D'abord, calculons $E(X^2)$ : $E(X^2) = 1^2 \cdot (1/6) + 2^2 \cdot (1/6) + 3^2 \cdot (1/6) + 4^2 \cdot (1/6) + 5^2 \cdot (1/6) + 6^2 \cdot (1/6)$ $E(X^2) = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)/6 = 91/6 \approx 15.17$ Maintenant, $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 91/6 - (3.5)^2 = 91/6 - (7/2)^2 = 91/6 - 49/4 = 182/12 - 147/12 = 35/12 \approx 2.92$.

L'écart-type de $X$, noté $\sigma(X)$, est la racine carrée de la variance. Il s'exprime dans la même unité que la variable aléatoire $X$, ce qui le rend plus facile à interpréter que la variance.

Définition : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

Calcul de $\sigma(X)$ (exemple du dé) : $\sigma(X) = \sqrt{35/12} \approx \sqrt{2.92} \approx 1.71$.

Interprétation de la dispersion :

• L'écart-type donne une mesure de l'étalement des valeurs de la variable aléatoire autour de l'espérance.
• Un petit écart-type signifie que les valeurs sont généralement proches de l'espérance.
• Un grand écart-type signifie que les valeurs sont plus dispersées, plus éloignées de l'espérance. L'écart-type est souvent utilisé pour évaluer la "prise de risque" ou la "variabilité".

Ces propriétés sont très utiles pour simplifier les calculs lorsque la variable aléatoire est transformée linéairement. Soient $X$ une variable aléatoire, $a$ et $b$ des constantes réelles.

1. Linéarité de l'espérance : $E(aX + b) = aE(X) + b$ Cela signifie que l'espérance d'une transformation linéaire est la transformation linéaire de l'espérance. Exemple : Si on gagne 2€ pour chaque point d'un dé ($X$) et qu'on reçoit un bonus de 5€, le gain est $Y = 2X+5$. $E(Y) = E(2X+5) = 2E(X) + 5 = 2(3.5) + 5 = 7 + 5 = 12€$.

2. Propriétés de la variance : $V(aX + b) = a^2 V(X)$ Notez que l'ajout d'une constante $b$ ne change pas la dispersion (la variance) car cela ne fait que décaler toutes les valeurs sans changer leurs écarts mutuels. La multiplication par $a$ multiplie les écarts par $|a|$, et donc les écarts au carré par $a^2$. Exemple : Pour le même gain $Y = 2X+5$. $V(Y) = V(2X+5) = 2^2 V(X) = 4 \cdot (35/12) = 35/3 \approx 11.67$. Et $\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{35/3} \approx 3.42$. On a aussi $\sigma(aX+b) = |a|\sigma(X)$.

Ces propriétés sont des outils puissants pour analyser les effets des changements d'échelle ou de décalage sur les caractéristiques d'une variable aléatoire.

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles :

• Un "succès" (généralement noté S)
• Un "échec" (généralement noté E ou $\bar{S}$)

La probabilité de succès est notée $p$. La probabilité d'échec est alors $1-p$.

• Lancer une pièce : "obtenir Face" (succès), "obtenir Pile" (échec). $p = 0.5$.
• Réussir un examen : "réussite" (succès), "échec" (échec). $p$ dépend de l'étudiant.
• Un produit est défectueux ou non : "défectueux" (succès ou échec, selon ce qu'on étudie).

La Loi de Bernoulli $B(p)$ est la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec. Le paramètre $p$ est la probabilité de succès.

Tableau de la loi de Bernoulli :

Caractéristiques de la loi de Bernoulli $B(p)$ :

• $E(X) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p$
• $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = (0^2 \cdot (1-p) + 1^2 \cdot p) - p^2 = p - p^2 = p(1-p)$
• $\sigma(X) = \sqrt{p(1-p)}$

Un schéma de Bernoulli est une répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Par exemple, lancer une pièce 10 fois de suite est un schéma de Bernoulli où $n=10$.

La Loi Binomiale $B(n,p)$ décrit la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès obtenus au cours de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes, où $p$ est la probabilité de succès à chaque épreuve. Les paramètres de la loi binomiale sont :

• $n$ : le nombre de répétitions de l'épreuve.
• $p$ : la probabilité de succès pour une seule épreuve.

Les valeurs possibles de $X$ (le nombre de succès) sont $0, 1, 2, ..., n$.

Exemple : On lance une pièce 5 fois. $X$ est le nombre de Faces obtenues.

• $n=5$ (nombre de lancers)
• $p=0.5$ (probabilité d'obtenir Face à chaque lancer)
• $X$ suit une loi binomiale $B(5, 0.5)$. Les valeurs possibles de $X$ sont $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.

La probabilité d'obtenir exactement $k$ succès en $n$ épreuves est donnée par la formule : $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ où :

• $\binom{n}{k}$ (lu "k parmi n") est le coefficient binomial, qui représente le nombre de façons de choisir $k$ succès parmi $n$ épreuves. Il est calculé comme : $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ avec $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$ (factorielle de n) et $0! = 1$.
• $p^k$ est la probabilité d'avoir $k$ succès.
• $(1-p)^{n-k}$ est la probabilité d'avoir $n-k$ échecs.

Exemple : Lancer 5 pièces, probabilité d'obtenir exactement 3 Faces $n=5$, $p=0.5$, $k=3$. $P(X=3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (1-0.5)^{5-3}$ $\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$. $P(X=3) = 10 \times (0.5)^3 \times (0.5)^2 = 10 \times 0.125 \times 0.25 = 10 \times 0.03125 = 0.3125$.

Utilisation de la calculatrice : Les calculatrices graphiques (comme celles de Texas Instruments ou Casio) ont des fonctions dédiées au calcul des probabilités binomiales :

• binomFdp(n, p, k) pour $P(X=k)$ (Fonction de Densité de Probabilité)
• binomFRep(n, p, k) pour $P(X \le k)$ (Fonction de Répartition Cumulative)

Pour calculer $P(X \ge k)$, on utilise $1 - P(X \le k-1)$. Pour $P(a \le X \le b)$, on utilise $P(X \le b) - P(X \le a-1)$.

Les caractéristiques numériques de la loi binomiale $B(n,p)$ sont remarquablement simples :

• Espérance : $E(X) = n \cdot p$ C'est le nombre moyen de succès attendu. Exemple (5 lancers de pièce) : $E(X) = 5 \times 0.5 = 2.5$. En moyenne, on s'attend à 2.5 Faces.

• Variance : $V(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$ Exemple (5 lancers de pièce) : $V(X) = 5 \times 0.5 \times (1-0.5) = 5 \times 0.5 \times 0.5 = 1.25$.

• Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ Exemple (5 lancers de pièce) : $\sigma(X) = \sqrt{1.25} \approx 1.118$.

Ces formules sont très pratiques car elles évitent de longues sommations. Retenez bien ces formules pour l'espérance et la variance de la loi binomiale, elles sont très souvent utilisées !

La première étape pour résoudre un problème de probabilités avec des variables aléatoires est de le modéliser correctement.

1. Choix de la variable aléatoire : Identifier clairement ce que la variable aléatoire $X$ représente. Elle doit être numérique et discrète.

   • Exemple : "Le nombre de clients qui achètent un produit sur 10 qui entrent dans le magasin."

2. Détermination de la loi : Identifier la loi de probabilité la plus appropriée pour modéliser $X$.

   • S'il s'agit d'un simple comptage d'issues avec des probabilités connues (comme le lancer de dé), on peut construire une loi "à la main".
   • S'il s'agit d'un nombre de succès dans une série d'épreuves indépendantes, la loi binomiale est souvent la bonne candidate.
   • S'il s'agit d'une seule épreuve à deux issues, c'est la loi de Bernoulli.

3. Paramètres de la loi : Déterminer les paramètres spécifiques de la loi choisie.

   • Pour une loi binomiale $B(n,p)$, il faut identifier $n$ (le nombre d'essais) et $p$ (la probabilité de succès par essai).
   • Exemple : Si 30% des clients achètent le produit ($p=0.3$), et on observe 10 clients ($n=10$), alors $X \sim B(10, 0.3)$.

4. Problèmes de la vie courante :

   • Contrôle qualité : Si un processus de fabrication produit 5% de pièces défectueuses, quelle est la probabilité d'avoir 2 pièces défectueuses dans un échantillon de 20 ? ($X \sim B(20, 0.05)$).
   • Sondages d'opinion : Quel est le nombre de personnes qui soutiennent un parti politique dans un échantillon, sachant le pourcentage de la population qui le soutient ?
   • Biologie/Médecine : Nombre de patients réagissant positivement à un traitement.

Les calculs de probabilités et les caractéristiques numériques permettent d'éclairer des décisions.

• Seuils de probabilité : On peut fixer des seuils. Par exemple, si la probabilité qu'un événement rare se produise est supérieure à 5%, on pourrait considérer cela comme "significatif" et déclencher une alerte ou une investigation.

  • Exemple : Est-il probable d'avoir 0 pièce défectueuse sur 20 si le taux est de 5% ? $P(X=0) = \binom{20}{0} (0.05)^0 (0.95)^{20} \approx 0.358$. C'est assez probable.

• Risque : L'espérance et l'écart-type sont des mesures clés du risque. Un jeu avec une espérance de gain négative est un risque financier. Un investissement avec un grand écart-type est plus "volatil" (plus risqué) même si son espérance est élevée.

• Décision basée sur l'espérance : En l'absence d'autres informations, choisir l'option avec l'espérance de gain la plus élevée (ou de perte la plus faible) est souvent une stratégie rationnelle.

  • Exemple : Deux projets d'investissement. Le projet A a un $E(X)=1000€$ et le projet B a un $E(Y)=1200€$. Si les risques sont comparables, on choisirait B.

• Interprétation des résultats : Toujours replacer les résultats dans le contexte du problème. Un chiffre seul n'a pas de sens.

  • Si $E(X)=2.5$ pour le nombre de faces en 5 lancers, cela ne veut pas dire qu'on aura 2.5 faces, mais qu'en moyenne, sur un grand nombre d'expériences, on se rapprochera de cette valeur.

Les calculs de probabilités, surtout avec la loi binomiale pour de grands $n$, peuvent être fastidieux à la main. Les outils numériques sont indispensables.

• Calculatrice graphique : Comme mentionné, elles intègrent des fonctions pour les lois de probabilité (binomFdp, binomFRep). Maîtrisez l'utilisation de votre calculatrice.

  • binomFdp(n, p, k) : calcule $P(X=k)$.
  • binomFRep(n, p, k) : calcule $P(X \le k)$.

• Logiciels : Des logiciels comme Python (avec des bibliothèques comme scipy.stats), R, ou des tableurs comme Excel/LibreOffice Calc (LOI.BINOMIALE.N) peuvent calculer des probabilités, simuler des expériences et visualiser des distributions.

  • scipy.stats.binom.pmf(k, n, p) pour $P(X=k)$. (pmf = probability mass function)
  • scipy.stats.binom.cdf(k, n, p) pour $P(X \le k)$. (cdf = cumulative distribution function)

• Simulation d'expériences aléatoires : Ces outils permettent de simuler des milliers d'expériences pour observer empiriquement les distributions et vérifier les résultats théoriques. C'est une excellente façon de développer l'intuition sur les probabilités.

• Vérification des résultats : Toujours utiliser les outils numériques pour vérifier vos calculs manuels ou pour explorer des scénarios complexes. Cela vous permet de gagner du temps et de réduire les erreurs.

La maîtrise des concepts des variables aléatoires discrètes et de leurs outils de calcul vous donne une base solide pour aborder des problèmes plus complexes en probabilités et en statistiques.