Les équations différentielles

Une équation différentielle est une équation qui met en relation une fonction inconnue, ses dérivées et la variable dont dépend cette fonction. En d'autres termes, c'est une équation dont l'inconnue n'est pas un nombre, mais une fonction !

• Fonction inconnue : C'est la fonction que l'on cherche à déterminer. On la note souvent $y(x)$ ou simplement $y$.
• Dérivées : L'équation contient les dérivées de cette fonction inconnue, comme $y'$ (première dérivée), $y''$ (seconde dérivée), etc.
• Ordre d'une équation différentielle : C'est l'ordre le plus élevé de la dérivée de la fonction inconnue qui apparaît dans l'équation.
  • Exemple : $y' + 2y = x^2$ est d'ordre 1 (car la dérivée la plus haute est $y'$).
  • Exemple : $y'' - 3y' + y = 0$ est d'ordre 2 (car la dérivée la plus haute est $y''$).
• Solution d'une équation différentielle : C'est une fonction qui, lorsqu'elle est substituée dans l'équation avec ses dérivées, rend l'égalité vraie pour toutes les valeurs de la variable. Une équation différentielle admet souvent une infinité de solutions. Ces solutions sont appelées solutions générales.

Comprendre l'ordre est crucial car il détermine les méthodes de résolution à utiliser.

Les équations différentielles sont omniprésentes en sciences pour modéliser des phénomènes où le taux de changement d'une quantité dépend de la quantité elle-même ou d'autres facteurs.

• Croissance démographique : Le taux de croissance d'une population est souvent proportionnel à la taille de la population elle-même.
  • Modèle simple : $N'(t) = kN(t)$, où $N(t)$ est la population au temps $t$ et $k$ est le taux de croissance.
• Désintégration radioactive : La vitesse de désintégration d'une substance radioactive est proportionnelle à la quantité de substance restante.
  • Modèle : $m'(t) = -\lambda m(t)$, où $m(t)$ est la masse de substance au temps $t$ et $\lambda$ est la constante de désintégration.
• Circuit RC (Résistance-Condensateur) : La charge ou la décharge d'un condensateur dans un circuit électrique est décrite par une équation différentielle.
  • Modèle : $RC \frac{dU_C}{dt} + U_C = E$, où $U_C$ est la tension aux bornes du condensateur, $R$ la résistance, $C$ la capacité et $E$ la tension du générateur.
• Loi de Newton sur le refroidissement : Le taux de refroidissement d'un objet est proportionnel à la différence de température entre l'objet et son environnement.
  • Modèle : $T'(t) = -k(T(t) - T_{amb})$, où $T(t)$ est la température de l'objet, $T_{amb}$ la température ambiante et $k$ une constante de proportionnalité.

Ces exemples montrent la puissance des équations différentielles pour décrire des dynamiques et des évolutions.

Pour vérifier si une fonction donnée est une solution d'une équation différentielle, il faut suivre des étapes précises :

1. Dériver la fonction proposée autant de fois que l'ordre de l'équation l'exige.
2. Substituer la fonction et ses dérivées dans l'équation différentielle.
3. Simplifier l'expression obtenue et vérifier si l'égalité est satisfaite pour toutes les valeurs de la variable.

Exemple : Vérifions si $y(x) = Ce^{2x}$ est une solution de l'équation différentielle $y' - 2y = 0$.

1. On dérive $y(x)$ : $y'(x) = C \times 2e^{2x} = 2Ce^{2x}$.
2. On substitue dans l'équation : $(2Ce^{2x}) - 2(Ce^{2x}) = 0$.
3. On simplifie : $2Ce^{2x} - 2Ce^{2x} = 0$, ce qui donne $0 = 0$. L'égalité est vraie. Donc, $y(x) = Ce^{2x}$ est bien une solution générale de l'équation $y' - 2y = 0$.

Une condition initiale est une information supplémentaire qui permet de trouver une solution unique parmi l'infinité de solutions générales. Par exemple, si on sait que $y(0) = 5$, on peut trouver la valeur de la constante $C$. Pour $y(x) = Ce^{2x}$ et $y(0)=5$ : $5 = Ce^{2 \times 0} = C \times 1 = C$. Donc $C=5$. La solution particulière est alors $y(x) = 5e^{2x}$. Une condition initiale transforme une famille de solutions en une solution unique.

Une équation différentielle linéaire du premier ordre sans second membre (aussi appelée homogène) est de la forme :

$y' = ay$

où $a$ est une constante réelle.

La solution générale de cette équation est donnée par :

$y(x) = Ce^{ax}$

où $C$ est une constante réelle arbitraire.

• La fonction exponentielle $e^{ax}$ est la clé de la résolution de ces équations.
• Le signe de $a$ détermine le comportement de la solution :
  • Si $a > 0$, la fonction $y(x)$ est une exponentielle croissante.
  • Si $a < 0$, la fonction $y(x)$ est une exponentielle décroissante.
  • Si $a = 0$, l'équation devient $y' = 0$, dont les solutions sont des fonctions constantes $y(x) = C$.

Exemple : Résoudre $y' = 3y$. Ici, $a=3$. La solution générale est $y(x) = Ce^{3x}$.

Exemple : Résoudre $y' = -0.5y$. Ici, $a=-0.5$. La solution générale est $y(x) = Ce^{-0.5x}$.

La solution $y(x) = Ce^{ax}$ décrit des courbes dont la pente en chaque point $(x, y)$ est $ay$.

• Pente de la tangente : L'équation $y' = ay$ signifie que la pente de la tangente à la courbe solution au point $(x, y)$ est directement proportionnelle à la valeur de $y$ en ce point.
• Champ de vecteurs (ou champ de pentes) : On peut visualiser les solutions en traçant de petits segments de droite (vecteurs) en de nombreux points du plan, dont la pente est $ay$. Les courbes solutions suivent ces pentes.
• Croissance/décroissance exponentielle :
  • Si $a > 0$, les solutions non nulles s'éloignent de l'axe des $x$ (croissance exponentielle si $C>0$, décroissance vers $-\infty$ si $C<0$).
  • Si $a < 0$, les solutions non nulles tendent vers 0 quand $x \to +\infty$ (décroissance exponentielle vers 0).
• Point d'équilibre : Si $y=0$, alors $y'=0$. La fonction $y(x)=0$ (l'axe des abscisses) est une solution de l'équation $y' = ay$. C'est un point d'équilibre car si la solution atteint 0, elle y reste. Pour $a<0$, cet équilibre est stable (les autres solutions s'en rapprochent). Pour $a>0$, il est instable.

Le signe de $a$ est déterminant pour le comportement à l'infini des solutions.

Pour trouver une solution particulière, on a besoin d'une condition initiale. Une condition initiale est une valeur de la fonction $y$ à un point spécifique, par exemple $y(x_0) = y_0$.

Le problème consistant à trouver une solution d'une équation différentielle qui satisfait une condition initiale est appelé problème de Cauchy.

Étapes pour déterminer une solution particulière :

1. Trouver la solution générale $y(x) = Ce^{ax}$.
2. Utiliser la condition initiale $y(x_0) = y_0$ pour trouver la valeur de la constante $C$. $y_0 = Ce^{ax_0} \implies C = \frac{y_0}{e^{ax_0}} = y_0e^{-ax_0}$
3. Substituer la valeur de $C$ dans la solution générale pour obtenir la solution particulière.

Exemple : Résoudre $y' = 2y$ avec la condition initiale $y(0) = 4$.

1. Solution générale : $y(x) = Ce^{2x}$.
2. Utilisation de la condition initiale : $y(0) = 4 \implies 4 = Ce^{2 \times 0} \implies 4 = C \times 1 \implies C = 4$.
3. Solution particulière : $y(x) = 4e^{2x}$.

Une propriété fondamentale des équations linéaires est l'unicité de la solution pour un problème de Cauchy donné. Pour chaque condition initiale, il n'existe qu'une seule solution particulière.

Une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre est de la forme :

$y' = ay + b(x)$

où $a$ est une constante réelle et $b(x)$ est une fonction de $x$ (le second membre).

La méthode de résolution repose sur le principe de superposition. La solution générale $y_G(x)$ de cette équation est la somme de deux parties :

$y_G(x) = y_H(x) + y_P(x)$

• $y_H(x)$ est la solution générale de l'équation homogène associée (l'équation sans second membre) : $y' = ay$. On sait que $y_H(x) = Ce^{ax}$.
• $y_P(x)$ est une solution particulière de l'équation complète $y' = ay + b(x)$. Il suffit d'en trouver une seule.

Le défi principal est de trouver $y_P(x)$. Il n'y a pas de formule générale pour $y_P(x)$ pour toutes les fonctions $b(x)$, mais il existe des méthodes pour certains types courants de $b(x)$.

Le cas le plus simple du second membre est lorsque $b(x)$ est une constante, notons-la $b$. L'équation devient alors :

$y' = ay + b$

Pour trouver une solution particulière constante $y_P(x) = K$, on dérive $K$ ($K'=0$) et on substitue dans l'équation : $0 = aK + b \implies aK = -b$. Si $a \ne 0$, alors $K = -\frac{b}{a}$. Donc, $y_P(x) = -\frac{b}{a}$ est une solution particulière.

La solution générale est alors :

$y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$

où $C$ est une constante réelle.

Le comportement asymptotique de ces solutions est important :

• Si $a < 0$, alors $e^{ax} \to 0$ lorsque $x \to +\infty$. Dans ce cas, $y(x) \to -\frac{b}{a}$ lorsque $x \to +\infty$. La solution converge vers une valeur d'équilibre.
• Si $a > 0$, alors $e^{ax} \to +\infty$ lorsque $x \to +\infty$ (si $C \ne 0$). La solution diverge.

Exemple : Résoudre $y' = -2y + 6$.

1. Équation homogène $y' = -2y$. Solution $y_H(x) = Ce^{-2x}$.
2. Solution particulière constante $y_P(x) = K$. $0 = -2K + 6 \implies 2K = 6 \implies K = 3$.
3. Solution générale : $y(x) = Ce^{-2x} + 3$. En utilisant une condition initiale, par exemple $y(0)=1$, on trouve $1 = Ce^0 + 3 \implies 1 = C + 3 \implies C = -2$. La solution particulière est $y(x) = -2e^{-2x} + 3$. Lorsque $x \to +\infty$, $y(x) \to 3$.

Ces équations modélisent de nombreux phénomènes réels où il y a un taux de changement proportionnel à la quantité, mais aussi une influence externe constante.

• Charge d'un condensateur : Dans un circuit RC série alimenté par une tension constante $E$, la tension aux bornes du condensateur $U_C(t)$ suit l'équation : $RC \frac{dU_C}{dt} + U_C = E \implies U_C'(t) = -\frac{1}{RC}U_C(t) + \frac{E}{RC}$. C'est une équation de la forme $y' = ay + b$. La solution asymptotique est $U_C(t) \to E$, ce qui signifie que le condensateur se charge jusqu'à la tension du générateur.
• Concentration d'un produit : Un réservoir contient un liquide. On y injecte un produit à un certain débit et une certaine concentration, et le mélange est évacué. La concentration du produit dans le réservoir peut être modélisée par une équation de ce type.
• Modèle de Malthus avec immigration : Si une population a un taux de croissance proportionnel à sa taille ($kN$), mais qu'il y a aussi un flux constant d'immigration ($m$), le modèle devient $N'(t) = kN(t) + m$.
  • Si $k<0$ (population en déclin naturel), l'immigration peut stabiliser la population à une valeur d'équilibre.
  • Si $k>0$, l'immigration accélère la croissance.

L'interprétation des paramètres $a$ et $b$ est essentielle pour comprendre le modèle.

• $a$ représente le taux de changement intrinsèque (croissance ou décroissance).
• $b$ représente un apport ou une perte externe constante.
• La valeur d'équilibre $-\frac{b}{a}$ (lorsque $a \ne 0$) est la valeur vers laquelle le système tend si $a < 0$.

Lorsque les équations différentielles sont trop complexes pour être résolues analytiquement (c'est-à-dire par des formules exactes), on utilise des méthodes numériques pour trouver une approximation de la solution. La méthode d'Euler est la plus simple de ces méthodes.

Elle repose sur l'idée d'approximer la courbe solution par une suite de petits segments de droite. Soit l'équation différentielle $y' = f(x, y)$ avec la condition initiale $y(x_0) = y_0$. On choisit un pas de discrétisation $h > 0$. On construit une suite de points $(x_n, y_n)$ qui approximent les points de la courbe solution.

• $x_{n+1} = x_n + h$
• $y_{n+1} = y_n + h \times f(x_n, y_n)$

L'idée est que sur un petit intervalle $[x_n, x_{n+1}]$, la pente de la tangente $y'(x_n) = f(x_n, y_n)$ est utilisée pour estimer la valeur de $y_{n+1}$. C'est une méthode itérative : on calcule le point suivant à partir du point actuel.

Exemple : $y' = y$, avec $y(0)=1$ et $h=0.1$. $x_0 = 0, y_0 = 1$. $x_1 = 0 + 0.1 = 0.1$. $y_1 = y_0 + h \times y_0 = 1 + 0.1 \times 1 = 1.1$. $x_2 = 0.1 + 0.1 = 0.2$. $y_2 = y_1 + h \times y_1 = 1.1 + 0.1 \times 1.1 = 1.21$. On continue ainsi. La solution exacte est $y(x) = e^x$. On peut comparer les valeurs obtenues.

Les limites de la méthode d'Euler sont :

• Elle est d'une précision limitée : l'erreur s'accumule à chaque pas.
• La précision dépend du pas $h$ : un pas plus petit donne une meilleure approximation mais nécessite plus de calculs.
• Elle peut être instable pour certains problèmes.

La méthode d'Euler est une approximation, pas une solution exacte, et sa précision dépend du pas choisi.

Les calculatrices graphiques (comme la TI-83/84, Casio Graph) et les logiciels de calcul formel (comme GeoGebra, Python avec SciPy, Wolfram Alpha) peuvent aider à visualiser et résoudre des équations différentielles.

• Représentation graphique des solutions : On peut tracer les solutions obtenues par la méthode d'Euler pour visualiser leur comportement.
• Champ de pentes : Certains logiciels permettent de tracer directement le champ de pentes, ce qui donne une intuition visuelle des solutions sans les calculer explicitement. On peut ensuite superposer des courbes solutions issues de différentes conditions initiales.
• Résolution numérique : Les calculatrices et logiciels intègrent des algorithmes plus sophistiqués que la simple méthode d'Euler (comme Runge-Kutta) pour obtenir des solutions numériques avec une meilleure précision.
• Comparaison avec la solution exacte : Si une solution analytique est connue, les logiciels permettent de la tracer et de la comparer avec les solutions numériques pour évaluer la précision de la méthode numérique.

Ces outils sont précieux pour explorer le comportement des solutions, surtout quand une résolution analytique est difficile ou impossible.

La modélisation mathématique est un processus qui consiste à traduire un phénomène réel en termes mathématiques, puis à utiliser ces outils pour analyser, comprendre et prédire le comportement du phénomène.

Étapes de la modélisation avec des équations différentielles :

1. Choix du modèle : Identifier les variables pertinentes et les relations entre elles. Par exemple, si le taux de changement est proportionnel à la quantité, c'est un indice d'une équation $y'=ay$.
2. Formulation de l'équation différentielle : Écrire l'équation en tenant compte des hypothèses et des données initiales.
3. Résolution de l'équation : Trouver la solution analytique ou numérique.
4. Validation du modèle : Comparer les résultats du modèle avec des données expérimentales ou des observations réelles. Si les résultats ne correspondent pas, il faut revoir les hypothèses ou le modèle.
5. Prédictions et interprétation : Utiliser le modèle validé pour faire des prédictions sur le comportement futur du système et en tirer des conclusions concrètes.

Les limites de la modélisation sont importantes à considérer :

• Un modèle n'est jamais une représentation parfaite de la réalité ; il simplifie le phénomène.
• Les prédictions sont valables dans les limites des hypothèses du modèle.
• Les paramètres du modèle (comme $a$ ou $b$) sont souvent des approximations ou des moyennes, et peuvent changer au fil du temps.

Un modèle mathématique est un outil puissant, mais il est toujours une simplification de la réalité et doit être utilisé avec un esprit critique.