La loi binomiale

Imagine une expérience aléatoire très simple, qui n'a que deux issues possibles. C'est exactement ça, une épreuve de Bernoulli !

• Expérience aléatoire à deux issues : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire dont le résultat ne peut être que de deux types.
• Succès et échec : On appelle l'une des issues un "succès" (généralement ce qui nous intéresse ou ce que l'on cherche à obtenir) et l'autre un "échec". Ces termes sont arbitraires et ne portent pas de jugement de valeur.
  • Exemple : Lancer une pièce de monnaie. "Pile" pourrait être le succès, "Face" l'échec.
  • Exemple : Tirer une carte d'un jeu. "Obtenir un as" est le succès, "ne pas obtenir un as" est l'échec.
• Probabilité de succès (p) : C'est la probabilité que l'événement que l'on a défini comme "succès" se réalise. On la note $p$.
• Probabilité d'échec (1-p) : Puisqu'il n'y a que deux issues, la probabilité d'échec est forcément $1 - p$. On la note souvent $q$.
  • Il est crucial que $0 \le p \le 1$. Si $p=0$, le succès est impossible. Si $p=1$, le succès est certain.

Un joueur de basket réussit un lancer franc avec une probabilité de 0,7.

• Expérience : Un lancer franc.
• Succès : Le joueur réussit son lancer.
• Échec : Le joueur rate son lancer.
• $p = 0,7$ (probabilité de succès).
• $1-p = 0,3$ (probabilité d'échec).

Pour rendre les choses plus mathématiques, on associe des nombres aux issues de l'épreuve de Bernoulli.

• Association d'une valeur numérique aux issues : On crée une variable aléatoire $X$ qui prend une valeur numérique selon le résultat de l'épreuve.
• $X=1$ pour succès, $X=0$ pour échec : Par convention, la variable aléatoire de Bernoulli prend la valeur 1 en cas de succès et la valeur 0 en cas d'échec.
• Loi de probabilité de X : La loi de probabilité de $X$ décrit les probabilités associées à chaque valeur.
  • $P(X=1) = p$ (probabilité de succès)
  • $P(X=0) = 1-p$ (probabilité d'échec)

• Espérance et variance d'une variable de Bernoulli :
  • L'espérance $E(X)$ représente la moyenne des résultats si on répétait l'expérience un très grand nombre de fois. $E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) = 0 \times (1-p) + 1 \times p = p$. Donc, pour une variable de Bernoulli, l'espérance est égale à la probabilité de succès $p$.
  • La variance $V(X)$ mesure la dispersion des résultats autour de l'espérance. $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$. $E(X^2) = 0^2 \times (1-p) + 1^2 \times p = p$. Donc, $V(X) = p - p^2 = p(1-p)$.

Maintenant, compliquons un peu : que se passe-t-il si on répète plusieurs fois une épreuve de Bernoulli ?

• Notion d'indépendance des épreuves : Pour que la loi binomiale s'applique, il est crucial que chaque répétition de l'épreuve de Bernoulli soit indépendante des précédentes. Cela signifie que le résultat d'une épreuve n'influence pas le résultat des autres.
  • Exemple : Lancer une pièce 5 fois. Chaque lancer est indépendant des autres.
  • Contre-exemple : Tirer des billes d'une urne sans remise. Les tirages ne sont pas indépendants car la composition de l'urne change. Si c'est avec remise, alors c'est indépendant.
• Schéma de Bernoulli : Une suite de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes constitue un schéma de Bernoulli. C'est la base de la loi binomiale.
• Arbre de probabilités pour petites répétitions : Pour visualiser les résultats et calculer les probabilités quand $n$ est petit, on peut utiliser un arbre de probabilités. Chaque branche représente une issue (succès ou échec) avec sa probabilité.
  • Exemple : Répéter 2 fois une épreuve de Bernoulli avec $p=0,6$.
    • Chemin S-S : $0,6 \times 0,6 = 0,36$
    • Chemin S-E : $0,6 \times 0,4 = 0,24$
    • Chemin E-S : $0,4 \times 0,6 = 0,24$
    • Chemin E-E : $0,4 \times 0,4 = 0,16$
• Chemins et probabilités : Chaque chemin dans l'arbre correspond à une séquence particulière de succès et d'échecs. La probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités le long de ce chemin.
  • Si on a $k$ succès et $n-k$ échecs dans un ordre donné, la probabilité de cette séquence est $p^k \times (1-p)^{n-k}$.

La loi binomiale apparaît dans un contexte très spécifique :

• Répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes : Comme vu précédemment, c'est le schéma de Bernoulli.
• Variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès : On s'intéresse au nombre total de succès obtenus sur ces $n$ répétitions, et non à l'ordre dans lequel ils apparaissent. La variable aléatoire $X$ est le nombre de succès.
  • $X$ peut prendre n'importe quelle valeur entière de 0 (aucun succès) à $n$ (tous les succès).
• Paramètres $n$ et $p$ : La loi binomiale est entièrement définie par deux paramètres :
  • $n$ : le nombre de répétitions de l'épreuve de Bernoulli.
  • $p$ : la probabilité de succès pour chaque épreuve individuelle.
• Notation $B(n, p)$ : On dit que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, et on le note $X \sim B(n, p)$.

• Épreuve de Bernoulli : Lancer un dé, succès = "obtenir un 6".
• Probabilité de succès $p = 1/6$.
• Nombre de répétitions $n = 10$.
• La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de "6" obtenus suit une loi binomiale $B(10, 1/6)$.

C'est la formule clé de la loi binomiale ! Elle permet de calculer la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès sur $n$ épreuves.

• Coefficient binomial ($k$ parmi $n$) : Pour obtenir $k$ succès sur $n$ épreuves, il y a plusieurs façons d'y arriver. Par exemple, pour 2 succès sur 3 épreuves (S-S-E, S-E-S, E-S-S). Le nombre de ces façons est donné par le coefficient binomial, noté $\binom{n}{k}$ ou $C_n^k$.
  • $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ où $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$.
  • Ce coefficient compte le nombre de chemins dans l'arbre de probabilités qui mènent à $k$ succès et $n-k$ échecs.
• Formule $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ :
  • $\binom{n}{k}$ : le nombre de manières d'obtenir $k$ succès parmi $n$ épreuves.
  • $p^k$ : la probabilité d'avoir $k$ succès (car chaque succès a une probabilité $p$).
  • $(1-p)^{n-k}$ : la probabilité d'avoir $n-k$ échecs (car chaque échec a une probabilité $1-p$).
  • Cette formule est fondamentale ! Apprends-la par cœur.

$P(X=2) = \binom{10}{2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{10-2}$ $P(X=2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} \times \left(\frac{1}{6}\right)^2 \times \left(\frac{5}{6}\right)^8$ $P(X=2) = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} \times \frac{1}{36} \times \left(\frac{5}{6}\right)^8$ $P(X=2) = 45 \times \frac{1}{36} \times \left(\frac{5}{6}\right)^8 \approx 0,2907$

• Interprétation de la formule : Chaque terme a une signification claire. Le coefficient binomial compte les arrangements, et les puissances de $p$ et $(1-p)$ donnent la probabilité de chaque arrangement.
• Utilisation de la calculatrice : Heureusement, tu n'auras pas toujours à calculer $\binom{n}{k}$ à la main. Les calculatrices (et les logiciels) ont des fonctions dédiées pour calculer $P(X=k)$, souvent appelées binomFdp ou binomPdf. Nous verrons cela plus en détail.

Visualiser la loi binomiale aide à comprendre son comportement.

• Diagramme en bâtons : La loi binomiale est une loi de probabilité discrète. Sa représentation graphique est un diagramme en bâtons, où chaque bâton correspond à une valeur possible de $X$ (de 0 à $n$) et sa hauteur à la probabilité $P(X=k)$.
• Influence des paramètres $n$ et $p$ sur la forme :
  • Plus $n$ est grand, plus le diagramme s'étale et se rapproche d'une forme de "cloche".
  • La valeur de $p$ influence la position du "pic" (la valeur la plus probable) et la symétrie.
• Symétrie pour $p=0.5$ : Si $p = 0,5$ (par exemple, lancer une pièce équilibrée), la distribution est parfaitement symétrique autour de $n/2$. La probabilité d'avoir $k$ succès est la même que d'avoir $n-k$ succès.
• Asymétrie pour $p$ différent de $0.5$ :
  • Si $p < 0,5$, la distribution est asymétrique, étalée vers la droite (le pic est plus proche de 0).
  • Si $p > 0,5$, la distribution est asymétrique, étalée vers la gauche (le pic est plus proche de $n$).

• Définition de l'espérance : L'espérance $E(X)$ est la valeur moyenne ou attendue du nombre de succès si l'expérience était répétée un très grand nombre de fois.
• Formule $E(X) = n \times p$ : Pour une variable $X \sim B(n, p)$, l'espérance est simplement le produit du nombre d'épreuves par la probabilité de succès.
  • Cette formule est intuitive : si tu lances une pièce équilibrée (p=0.5) 100 fois (n=100), tu t'attends à avoir 50 "Pile" en moyenne ($100 \times 0.5 = 50$).
• Interprétation de l'espérance : C'est la valeur la plus "probable" ou la plus "attendue" du nombre de succès. Ce n'est pas forcément une valeur que $X$ peut prendre (par exemple, $E(X)=1,5$ est possible alors que $X$ ne peut prendre que des valeurs entières).
• Valeur moyenne attendue du nombre de succès : C'est une mesure de la tendance centrale de la distribution.

• Définition de la variance : La variance $V(X)$ mesure la dispersion des résultats autour de l'espérance. Plus la variance est grande, plus les résultats sont étalés.
• Formule $V(X) = n \times p \times (1-p)$ : Pour une variable $X \sim B(n, p)$, la variance est $n \times p \times q$.
• Définition de l'écart-type : L'écart-type $\sigma(X)$ est la racine carrée de la variance. Il est exprimé dans la même unité que la variable aléatoire $X$, ce qui le rend plus facile à interpréter que la variance.
• Formule $\sigma(X) = \sqrt{n \times p \times (1-p)}$ : L'écart-type est souvent utilisé pour définir des intervalles de fluctuation.

• $E(X) = 10 \times \frac{1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \approx 1,67$. En moyenne, on s'attend à obtenir environ 1,67 "6" sur 10 lancers.
• $V(X) = 10 \times \frac{1}{6} \times \left(1-\frac{1}{6}\right) = 10 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{50}{36} = \frac{25}{18} \approx 1,39$.
• $\sigma(X) = \sqrt{\frac{25}{18}} = \frac{5}{\sqrt{18}} = \frac{5}{3\sqrt{2}} \approx 1,18$.

• Mesure de la dispersion des résultats : L'écart-type donne une idée de la variabilité des résultats. Un petit écart-type signifie que les résultats sont généralement proches de la moyenne, tandis qu'un grand écart-type indique une plus grande dispersion.
• Comparaison de distributions binomiales : En comparant les espérances et les écart-types de différentes lois binomiales, on peut comparer les performances ou les caractéristiques de différents scénarios.
• Utilisation dans des problèmes concrets : L'espérance et l'écart-type sont des outils précieux pour prendre des décisions, par exemple en contrôle qualité (combien de défauts attendus ?) ou en finance.
• Prédiction de résultats : Bien que l'espérance ne soit pas une garantie, elle offre une prédiction raisonnable du nombre de succès à attendre. L'écart-type quant à lui permet d'estimer la fourchette dans laquelle les résultats vont probablement se situer.

• Fonction 'binomFdp' ou 'binomPdf' : La plupart des calculatrices scientifiques ou graphiques possèdent une fonction pour calculer directement $P(X=k)$.
  • Sur TI (Texas Instruments) : binomFdp(n, p, k)
  • Sur Casio : BinomialPD(k, n, p)
• Saisie des paramètres $n, p, k$ : Assure-toi de bien saisir le nombre d'épreuves ($n$), la probabilité de succès ($p$) et le nombre de succès souhaité ($k$).
• Vérification des résultats : Il est toujours bon de faire une estimation mentale ou de vérifier avec un petit exemple pour s'assurer que le résultat est cohérent.
• Exemples pratiques :
  • $X \sim B(20, 0.3)$. Calculer $P(X=5)$.
    • TI : binomFdp(20, 0.3, 5) $\approx 0.1789$.
    • Casio : BinomialPD(5, 20, 0.3) $\approx 0.1789$.

C'est très utile pour calculer des probabilités cumulées, c'est-à-dire la probabilité d'obtenir "au plus $k$ succès".

• Fonction 'binomFRép' ou 'binomCdf' :
  • Sur TI : binomFRép(n, p, k)
  • Sur Casio : BinomialCD(k, n, p)
• Saisie des paramètres $n, p, k$ : Toujours les mêmes paramètres.
• Calcul de probabilités cumulées : Cette fonction calcule $P(X \le k) = P(X=0) + P(X=1) + \dots + P(X=k)$.
• Calcul de $P(X>k)$ :
  • $P(X>k) = 1 - P(X \le k)$.
  • Exemple : $P(X>5) = 1 - P(X \le 5)$. Utilise 1 - binomFRép(n, p, 5).
• Calcul de $P(X<k)$ :
  • $P(X<k) = P(X \le k-1)$.
  • Exemple : $P(X<5) = P(X \le 4)$. Utilise binomFRép(n, p, 4).
• Calcul de $P(a \le X \le b)$ :
  • $P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a-1)$.
  • Exemple : $P(3 \le X \le 7) = P(X \le 7) - P(X \le 2)$. Utilise binomFRép(n, p, 7) - binomFRép(n, p, 2).
  • Ces manipulations sont cruciales pour résoudre de nombreux problèmes. Entraîne-toi à les faire !

• Utilisation de tableurs ou logiciels de statistiques : Des outils comme Excel, Python (avec la bibliothèque scipy.stats), R, ou GeoGebra permettent de simuler des lois binomiales.
• Génération de nombres aléatoires : Ces logiciels peuvent générer des échantillons d'une loi binomiale, simulant ainsi un grand nombre de répétitions de l'expérience.
• Visualisation de la distribution : Tu peux ensuite créer des histogrammes de ces échantillons pour visualiser la distribution observée.
• Comparaison avec la théorie : En comparant l'histogramme de la simulation avec le diagramme en bâtons théorique, tu peux voir comment la loi binomiale prédit le comportement des données. Plus le nombre de simulations est grand, plus la distribution observée se rapprochera de la distribution théorique.

• Identification des épreuves de Bernoulli : La première étape est de vérifier si la situation peut être décomposée en une série d'épreuves de Bernoulli. Y a-t-il seulement deux issues possibles pour chaque "tentative" ? La probabilité de succès est-elle constante ? Les tentatives sont-elles indépendantes ?
• Détermination des paramètres $n$ et $p$ : Une fois que c'est une épreuve de Bernoulli, identifie clairement le nombre de répétitions ($n$) et la probabilité de succès ($p$).
• Justification de l'utilisation de la loi binomiale : Il est important de toujours justifier pourquoi la loi binomiale est appropriée pour le problème donné en mentionnant les trois conditions :
  1. Répétition de $n$ expériences identiques.
  2. Chaque expérience a deux issues (succès/échec).
  3. Les expériences sont indépendantes et la probabilité de succès $p$ est constante.
• Exemples : contrôle qualité, sondages, jeux :
  • Contrôle qualité : Dans une production de 1000 pièces, si la probabilité qu'une pièce soit défectueuse est de 0,01, le nombre de pièces défectueuses suit une $B(1000, 0,01)$.
  • Sondages : Si 60% des électeurs sont favorables à un candidat, et qu'on interroge 50 personnes au hasard (avec remise, ou si l'échantillon est petit par rapport à la population), le nombre de personnes favorables suit une $B(50, 0,6)$.
  • Jeux : Dans un jeu où on a 1 chance sur 3 de gagner, si on joue 15 parties, le nombre de victoires suit une $B(15, 1/3)$.

La loi binomiale est essentielle pour prendre des décisions basées sur des observations.

• Intervalle de fluctuation à 95% : C'est un intervalle $[a, b]$ tel que la probabilité que le nombre de succès $X$ (suivant une loi $B(n, p)$) tombe dans cet intervalle est d'au moins 95%. Plus précisément, $P(X \le a-1) \le 0,025$ et $P(X \ge b+1) \le 0,025$.
  • On cherche les plus petits $a$ et plus grands $b$ tels que $P(X \le a-1) < 0,025$ et $P(X \le b) \ge 0,975$.
  • On le détermine souvent à l'aide de la fonction binomFRép de la calculatrice en testant des valeurs de $k$.
• Utilisation pour tester une hypothèse : L'intervalle de fluctuation permet de vérifier si un résultat observé est "normal" ou "exceptionnel" par rapport à une hypothèse de départ.
  • Hypothèse $H_0$ : La probabilité de succès est $p$.
  • On observe une fréquence $f_{obs}$ de succès sur $n$ épreuves.
• Décision d'accepter ou rejeter une hypothèse :
  • Si la fréquence observée $f_{obs}$ (ou le nombre de succès observés $k_{obs}$) tombe dans l'intervalle de fluctuation, on considère que l'observation est compatible avec l'hypothèse $H_0$. On ne rejette pas l'hypothèse.
  • Si $f_{obs}$ (ou $k_{obs}$) tombe en dehors de l'intervalle de fluctuation, on considère que l'observation est trop éloignée de ce qui est attendu sous $H_0$. On rejette l'hypothèse $H_0$ avec un risque d'erreur de 5%.
• Risque d'erreur : Le risque de se tromper en rejetant une hypothèse vraie est de 5% (ou le seuil choisi, souvent $\alpha=0,05$).

• Hypothèse $H_0$ : $p=0,8$. $X \sim B(100, 0,8)$.
• On cherche l'intervalle de fluctuation à 95%.
  • On cherche $a$ tel que $P(X \le a-1) < 0,025$.
  • On cherche $b$ tel que $P(X \le b) \ge 0,975$.
  • Avec la calculatrice : $P(X \le 72) \approx 0,027$ et $P(X \le 73) \approx 0,047$. Donc $a-1=72$, $a=73$.
  • $P(X \le 86) \approx 0,978$. Donc $b=86$.
  • L'intervalle de fluctuation est $[73, 86]$.
• Le nombre de produits conformes observés est $k_{obs} = 70$.
• Comme $70 \notin [73, 86]$, on rejette l'hypothèse du fabricant. L'affirmation de 80% de conformité semble douteuse.

Même si la loi binomiale est très utile, elle n'est pas applicable partout.

• Importance de l'indépendance des épreuves : Si les épreuves ne sont pas indépendantes (par exemple, tirage sans remise dans une petite population), la loi binomiale n'est plus valide. On devrait alors utiliser la loi hypergéométrique.
• Constance de la probabilité de succès : Si la probabilité $p$ change d'une épreuve à l'autre, la loi binomiale ne s'applique pas.
• Taille de l'échantillon : Pour que l'approximation par l'intervalle de fluctuation soit pertinente, $n$ doit être suffisamment grand. En général, on considère que $n \ge 30$, $np \ge 5$ et $n(1-p) \ge 5$ sont des conditions suffisantes.
• Cas où la loi binomiale n'est pas adaptée :
  • Si le nombre d'issues est supérieur à deux (par exemple, lancer un dé et s'intéresser à l'obtention d'un 1, un 2 ou un 3).
  • Si le nombre d'épreuves n'est pas fixe.
  • Si les événements sont rares sur un grand intervalle de temps ou d'espace (on utilise alors la loi de Poisson).

En maîtrisant ces concepts, tu seras bien équipé pour aborder les problèmes de probabilités qui relèvent de la loi binomiale !