Fonctions exponentielles et logarithmes

La fonction exponentielle est une fonction fondamentale en mathématiques, particulièrement en Terminale. Elle est unique et possède des propriétés très spécifiques.

Définition : La fonction exponentielle, notée $\exp(x)$ ou plus couramment $e^x$, est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que :

• $f'(x) = f(x)$ (sa dérivée est égale à elle-même)
• $f(0) = 1$ (elle passe par le point $(0, 1)$)

Le nombre $e$ est une constante mathématique fondamentale, appelée nombre d'Euler (ou parfois constante de Napier), dont la valeur approchée est $e \approx 2,718$. C'est la valeur de $e^1$.

Propriétés algébriques fondamentales : Ces propriétés sont essentielles et doivent être maîtrisées pour simplifier les expressions et résoudre des équations. Elles sont très similaires aux propriétés des puissances que vous connaissez déjà.

Point clé : La fonction exponentielle est toujours strictement positive sur $\mathbb{R}$. C'est-à-dire, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$. Une exponentielle ne peut jamais être nulle ou négative.

Pour bien comprendre une fonction, il est crucial d'étudier sa dérivée, son sens de variation, ses limites et sa représentation graphique.

1. Dérivée :

• Si $f(x) = e^x$, alors $f'(x) = e^x$. C'est la propriété clé de la fonction exponentielle.
• Si $f(x) = e^{u(x)}$ où $u$ est une fonction dérivable, alors $f'(x) = u'(x)e^{u(x)}$.
  • Exemple : Si $f(x) = e^{3x^2+1}$, alors $u(x) = 3x^2+1$, donc $u'(x) = 6x$.
  • Ainsi, $f'(x) = 6x e^{3x^2+1}$.

2. Sens de variation : Puisque $f'(x) = e^x$ et que $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, la dérivée est toujours strictement positive. Donc, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Plus $x$ augmente, plus $e^x$ augmente.

3. Limites aux bornes de l'ensemble de définition : L'ensemble de définition de $e^x$ est $\mathbb{R}$, donc nous étudions les limites en $-\infty$ et $+\infty$.

• $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
• $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
  • Cela signifie que l'axe des abscisses (la droite d'équation $y=0$) est une asymptote horizontale à la courbe de $e^x$ en $-\infty$.

4. Représentation graphique : La courbe de la fonction exponentielle :

• Passe par le point $(0, 1)$ car $e^0=1$.
• Passe par le point $(1, e)$ car $e^1=e \approx 2,718$.
• Est toujours au-dessus de l'axe des abscisses ($y=0$).
• Est strictement croissante.
• Admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $-\infty$.

graph TD
    A[x] --> B[e^x]
    style A fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style B fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px;

(Note: Mermaid diagrams are not allowed, this is a placeholder to illustrate the type of content that would be omitted)

1. Croissances comparées : La fonction exponentielle croît très rapidement. Elle "bat" toutes les fonctions puissances et toutes les fonctions affines en $+\infty$.

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. (L'exponentielle l'emporte sur les puissances)
• $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. (L'exponentielle l'emporte sur les puissances en $-\infty$)
  • Exemple : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{100}} = +\infty$.
  • Exemple : $\lim_{x \to -\infty} x^5 e^x = 0$.

Ces propriétés sont très utiles pour lever les formes indéterminées dans le calcul de limites.

2. Résolution d'équations du type $e^x = k$ :

• Si $k > 0$, l'équation $e^x = k$ a une unique solution. Pour trouver cette solution, on utilise la fonction réciproque de $e^x$, qui est $\ln(x)$. Donc $x = \ln(k)$.
• Si $k \le 0$, l'équation $e^x = k$ n'a aucune solution, car $e^x$ est toujours strictement positif.
  • Exemple : $e^x = 5 \implies x = \ln(5)$.
  • Exemple : $e^x = -2$ n'a pas de solution.
  • Exemple : $e^{2x-1} = e^{x+3} \iff 2x-1 = x+3 \iff x = 4$. (Car $e^a = e^b \iff a=b$)

3. Résolution d'inéquations du type $e^x > k$ ou $e^x < k$ : Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante, elle conserve l'ordre.

• $e^a < e^b \iff a < b$
• $e^a > e^b \iff a > b$

Pour $e^x > k$:

• Si $k \le 0$, l'inéquation est toujours vraie (pour tout $x \in \mathbb{R}$), car $e^x > 0$.
• Si $k > 0$, l'inéquation $e^x > k$ se résout en $x > \ln(k)$.

Pour $e^x < k$:

• Si $k \le 0$, l'inéquation n'a aucune solution, car $e^x > 0$.
• Si $k > 0$, l'inéquation $e^x < k$ se résout en $x < \ln(k)$.

Applications à des problèmes concrets : Les fonctions exponentielles modélisent souvent des phénomènes de croissance (population, capital) ou de décroissance (désintégration radioactive, refroidissement).

• Exemple : La population d'une ville (en milliers d'habitants) est modélisée par $P(t) = 100 e^{0,02t}$, où $t$ est le nombre d'années depuis 2000. Quand la population atteindra-t-elle 150 000 habitants ?
  • On résout $100 e^{0,02t} = 150$.
  • $e^{0,02t} = 1,5$.
  • $0,02t = \ln(1,5)$.
  • $t = \frac{\ln(1,5)}{0,02} \approx 20,27$.
  • La population atteindra 150 000 habitants vers l'année $2000 + 20,27 = 2020$.

La fonction logarithme népérien, notée $\ln(x)$, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Définition : La fonction $\ln(x)$ est définie sur $\mathbb{R}^*_+$ (c'est-à-dire pour $x > 0$). Pour tout $x > 0$ et tout $y \in \mathbb{R}$ : $y = \ln(x) \iff x = e^y$. En d'autres termes, $\ln(x)$ est l'exposant que l'on doit mettre à $e$ pour obtenir $x$.

Domaine de définition : Le domaine de définition de $\ln(x)$ est $]0, +\infty[$. On ne peut prendre le logarithme que d'un nombre strictement positif.

Propriétés algébriques fondamentales : Ces propriétés sont le "miroir" de celles de l'exponentielle et sont cruciales pour les calculs.

Relations importantes avec l'exponentielle :

• Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^{\ln(e^x)} = e^x$. (Car $\ln(e^x)=x$)
• Pour tout $x > 0$, $\ln(e^{\ln x}) = \ln x$. (Car $e^{\ln x}=x$)

1. Dérivée :

• Si $f(x) = \ln(x)$, alors $f'(x) = \frac{1}{x}$.
• Si $f(x) = \ln(u(x))$ où $u$ est une fonction dérivable et strictement positive, alors $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$.
  • Exemple : Si $f(x) = \ln(x^2+1)$, alors $u(x) = x^2+1$, donc $u'(x) = 2x$.
  • Ainsi, $f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$.

2. Sens de variation : Puisque $f'(x) = \frac{1}{x}$ et que $\ln(x)$ est définie pour $x > 0$, la dérivée est toujours strictement positive. Donc, la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.

3. Limites aux bornes de l'ensemble de définition : L'ensemble de définition de $\ln(x)$ est $]0, +\infty[$.

• $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
• $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
  • Cela signifie que l'axe des ordonnées (la droite d'équation $x=0$) est une asymptote verticale à la courbe de $\ln(x)$ en $0$.

4. Représentation graphique : La courbe de la fonction logarithme népérien :

• Passe par le point $(1, 0)$ car $\ln(1)=0$.
• Passe par le point $(e, 1)$ car $\ln(e)=1$.
• Est toujours à droite de l'axe des ordonnées ($x=0$).
• Est strictement croissante.
• Admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale en $0$.
• La courbe de $\ln(x)$ est la symétrique de la courbe de $e^x$ par rapport à la droite $y=x$.

1. Croissances comparées : La fonction logarithme népérien croît moins vite que n'importe quelle fonction puissance en $+\infty$.

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$. (Les puissances l'emportent sur le logarithme)
• $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n > 0$. (Les puissances l'emportent sur le logarithme en $0$)
  • Exemple : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
  • Exemple : $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$.

Ces propriétés sont cruciales pour lever les formes indéterminées.

2. Résolution d'équations du type $\ln(x) = k$ :

• Pour tout $k \in \mathbb{R}$, l'équation $\ln(x) = k$ a une unique solution $x = e^k$.
  • Exemple : $\ln(x) = 3 \implies x = e^3$.
  • Exemple : $\ln(2x-1) = \ln(x+3)$.
    • D'abord, conditions d'existence : $2x-1 > 0 \implies x > 1/2$ et $x+3 > 0 \implies x > -3$. Donc $x > 1/2$.
    • Ensuite, $2x-1 = x+3 \implies x=4$.
    • La solution $x=4$ est bien dans le domaine de définition ($4 > 1/2$).

3. Résolution d'inéquations du type $\ln(x) > k$ ou $\ln(x) < k$ : Puisque la fonction logarithme népérien est strictement croissante, elle conserve l'ordre.

• $\ln(a) < \ln(b) \iff a < b$ (pour $a,b > 0$)
• $\ln(a) > \ln(b) \iff a > b$ (pour $a,b > 0$)

Pour $\ln(x) > k$:

• On doit avoir $x > 0$.
• L'inéquation $\ln(x) > k$ se résout en $x > e^k$.
• L'ensemble solution est $]e^k, +\infty[$.

Pour $\ln(x) < k$:

• On doit avoir $x > 0$.
• L'inéquation $\ln(x) < k$ se résout en $x < e^k$.
• L'ensemble solution est $]0, e^k[$. N'oubliez jamais la condition $x>0$ !

Applications à des problèmes concrets : Les logarithmes sont utilisés pour résoudre des équations où l'inconnue est en exposant, ou pour modéliser des phénomènes qui croissent ou décroissent de manière proportionnelle à leur valeur actuelle, mais avec des échelles logarithmiques (ex: pH, décibels).

• Exemple : Un capital de 1000€ est placé à un taux d'intérêt annuel de 3%. Au bout de combien d'années le capital aura-t-il doublé ?
  • Le capital après $n$ années est $C(n) = 1000 \times (1+0,03)^n = 1000 \times (1,03)^n$.
  • On cherche $n$ tel que $1000 \times (1,03)^n = 2000$.
  • $(1,03)^n = 2$.
  • On applique le logarithme népérien des deux côtés : $\ln((1,03)^n) = \ln(2)$.
  • $n \ln(1,03) = \ln(2)$.
  • $n = \frac{\ln(2)}{\ln(1,03)} \approx \frac{0,693}{0,0296} \approx 23,4$.
  • Le capital aura doublé au bout de la 24ème année.

Jusqu'à présent, nous avons manipulé des fonctions puissances $x^n$ avec $n$ entier. Grâce aux fonctions exponentielle et logarithme, nous pouvons généraliser cette notion à des exposants réels.

Définition : Pour tout $x > 0$ et pour tout réel $a$, la fonction puissance $x^a$ est définie par : $x^a = e^{a \ln(x)}$.

• Exemple : $x^{\sqrt{2}} = e^{\sqrt{2} \ln(x)}$.
• Exemple : $\sqrt{x} = x^{1/2} = e^{\frac{1}{2}\ln(x)}$.

Propriétés algébriques : Les propriétés des puissances restent valables pour les exposants réels :

• $x^a \times x^b = x^{a+b}$
• $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$
• $(x^a)^b = x^{ab}$
• $(xy)^a = x^a y^a$
• $(\frac{x}{y})^a = \frac{x^a}{y^a}$

Dérivée de $x^a$ : Pour $x > 0$ et $a \in \mathbb{R}$ : Si $f(x) = x^a$, alors $f'(x) = a x^{a-1}$. Cette formule que vous connaissiez pour les entiers s'étend aux exposants réels !

• Démonstration : $f(x) = e^{a \ln(x)}$. En utilisant la formule de dérivation de $e^{u(x)}$, avec $u(x) = a \ln(x)$, on a $u'(x) = a \times \frac{1}{x}$.
• Donc $f'(x) = u'(x) e^{u(x)} = \frac{a}{x} e^{a \ln(x)} = \frac{a}{x} x^a = a x^{a-1}$.

Étude de la fonction $x^a$ : Le domaine de définition est $]0, +\infty[$. Le sens de variation dépend du signe de $a$:

• Si $a > 0$, $f'(x) = a x^{a-1} > 0$ pour $x > 0$. La fonction est strictement croissante.
  • $\lim_{x \to 0^+} x^a = 0$
  • $\lim_{x \to +\infty} x^a = +\infty$
• Si $a < 0$, $f'(x) = a x^{a-1} < 0$ pour $x > 0$. La fonction est strictement décroissante.
  • $\lim_{x \to 0^+} x^a = +\infty$
  • $\lim_{x \to +\infty} x^a = 0$
• Si $a = 0$, $x^0 = 1$ (fonction constante).

La fonction exponentielle de base $e$ est $e^x$. On peut généraliser cela à n'importe quelle base $a$ strictement positive et différente de 1.

Définition : Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour tout réel $a > 0, a \ne 1$, la fonction exponentielle de base $a$ est définie par : $a^x = e^{x \ln(a)}$.

• Exemple : $2^x = e^{x \ln(2)}$.
• Exemple : $10^x = e^{x \ln(10)}$.

Propriétés algébriques : Les propriétés sont les mêmes que pour $e^x$, en remplaçant $e$ par $a$:

• $a^{x+y} = a^x a^y$
• $a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y}$
• $(a^x)^y = a^{xy}$
• $a^0 = 1$
• $a^1 = a$

Dérivée de $a^x$ : Si $f(x) = a^x$, alors $f'(x) = \ln(a) a^x$.

• Démonstration : $f(x) = e^{x \ln(a)}$. En utilisant la formule de dérivation de $e^{u(x)}$, avec $u(x) = x \ln(a)$, on a $u'(x) = \ln(a)$ (car $\ln(a)$ est une constante).
• Donc $f'(x) = u'(x) e^{u(x)} = \ln(a) e^{x \ln(a)} = \ln(a) a^x$.
  • Exemple : La dérivée de $2^x$ est $\ln(2) 2^x$.

Étude de la fonction $a^x$ : Le domaine de définition est $\mathbb{R}$. Le sens de variation dépend de la base $a$:

• Si $a > 1$, alors $\ln(a) > 0$. Donc $f'(x) = \ln(a) a^x > 0$. La fonction est strictement croissante.
  • $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0$
  • $\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty$
• Si $0 < a < 1$, alors $\ln(a) < 0$. Donc $f'(x) = \ln(a) a^x < 0$. La fonction est strictement décroissante.
  • $\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty$
  • $\lim_{x \to +\infty} a^x = 0$

De même que $\ln(x)$ est la réciproque de $e^x$, le logarithme de base $a$, noté $\log_a(x)$, est la réciproque de $a^x$.

Définition : Pour tout $x > 0$ et pour tout réel $a > 0, a \ne 1$, la fonction logarithme de base $a$ est définie par : $y = \log_a(x) \iff x = a^y$. Le domaine de définition est $]0, +\infty[$.

Relation avec $\ln(x)$ : La relation fondamentale qui permet de calculer n'importe quel logarithme de base $a$ à partir du logarithme népérien est : $\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$.

• Exemple : $\log_{10}(100) = \frac{\ln(100)}{\ln(10)} = \frac{\ln(10^2)}{\ln(10)} = \frac{2 \ln(10)}{\ln(10)} = 2$. (Ce qui est logique car $10^2=100$). Le logarithme décimal (base 10) est souvent noté $\log(x)$ sans indice.

Propriétés algébriques : Elles sont similaires à celles de $\ln(x)$:

• $\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$
• $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y)$
• $\log_a(x^n) = n \log_a(x)$
• $\log_a(1) = 0$
• $\log_a(a) = 1$

Dérivée de $\log_a(x)$ : Si $f(x) = \log_a(x)$, alors $f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)}$.

• Démonstration : $f(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)} = \frac{1}{\ln(a)} \times \ln(x)$.
• Donc $f'(x) = \frac{1}{\ln(a)} \times \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln(a)}$.

Les fonctions exponentielles et logarithmes sont des outils puissants pour modéliser des phénomènes naturels ou économiques qui évoluent de manière proportionnelle à leur valeur actuelle.

1. Croissance exponentielle : Un phénomène présente une croissance exponentielle si son taux de croissance est constant. La formule générale est $N(t) = N_0 \times e^{kt}$, où :

• $N(t)$ est la quantité à l'instant $t$.
• $N_0$ est la quantité initiale (à $t=0$).
• $k$ est le taux de croissance (positif, $k > 0$).
• $t$ est le temps.
• Exemples : croissance d'une population (bactéries, habitants), capital placé à intérêts composés sans retrait.
  • Si $k$ est exprimé en pourcentage, par exemple 5%, alors $k = 0,05$.

2. Décroissance exponentielle : Un phénomène présente une décroissance exponentielle si son taux de décroissance est constant. La formule générale est $N(t) = N_0 \times e^{kt}$, où cette fois $k$ est un taux de décroissance (négatif, $k < 0$).

• Exemples : désintégration radioactive (datation au carbone 14), refroidissement d'un corps, amortissement d'une vibration.
  • La demi-vie (ou période radioactive) $T$ est le temps nécessaire pour que la quantité initiale soit divisée par deux. On a alors $N_0/2 = N_0 e^{kT}$, d'où $1/2 = e^{kT}$, ce qui donne $\ln(1/2) = kT$, soit $-\ln(2) = kT$, et donc $T = -\frac{\ln(2)}{k}$.

Détermination des paramètres à partir de données : Pour trouver $N_0$ et $k$, on a généralement besoin de deux points de données $(t_1, N_1)$ et $(t_2, N_2)$.

• $N_0$ est souvent la valeur à $t=0$.
• Si on a $N_0$ et $N_1$ à $t_1$, on peut écrire $N_1 = N_0 e^{kt_1}$, puis $e^{kt_1} = N_1/N_0$, et $kt_1 = \ln(N_1/N_0)$, d'où $k = \frac{\ln(N_1/N_0)}{t_1}$.

Les fonctions exponentielles et logarithmes apparaissent souvent dans des problèmes d'optimisation (recherche de maximum ou de minimum).

Méthode générale :

1. Modéliser le problème par une fonction $f(x)$ à optimiser.
2. Calculer la dérivée première $f'(x)$.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ pour trouver les points critiques (où $f'(x)=0$) et les intervalles de variation.
4. Construire le tableau de variation pour identifier les maximums et minimums locaux.
5. Si nécessaire, calculer la dérivée seconde $f''(x)$. Si $f'(x_0)=0$ et $f''(x_0) > 0$, c'est un minimum. Si $f''(x_0) < 0$, c'est un maximum.
6. Interpréter le résultat dans le contexte du problème.

• Exemple : Une entreprise fabrique un produit. Le coût de production $C(x)$ (en milliers d'euros) pour $x$ centaines d'unités est donné par $C(x) = x^2 e^{-0,1x}$ pour $x \in [0, 20]$. Déterminer le nombre d'unités à produire pour minimiser le coût moyen par unité.
  • Le coût moyen par unité est $CM(x) = \frac{C(x)}{x} = x e^{-0,1x}$.
  • On dérive $CM(x)$: $CM'(x) = 1 \cdot e^{-0,1x} + x \cdot (-0,1 e^{-0,1x}) = e^{-0,1x}(1 - 0,1x)$.
  • $CM'(x) = 0 \iff 1 - 0,1x = 0 \iff x = 10$.
  • Pour $x < 10$, $CM'(x) > 0$ (fonction croissante). Pour $x > 10$, $CM'(x) < 0$ (fonction décroissante).
  • Le minimum se situe en $x=10$.
  • L'entreprise doit produire 10 centaines d'unités, soit 1000 unités, pour minimiser le coût moyen.

Certaines relations non linéaires peuvent être transformées en relations linéaires en utilisant les logarithmes, ce qui facilite leur analyse graphique.

Principe : Si une relation est de la forme $y = A \cdot x^b$ ou $y = A \cdot e^{Bx}$, elle peut être linéarisée.

1. Relation de type puissance : $y = A \cdot x^b$ En prenant le logarithme népérien des deux côtés : $\ln(y) = \ln(A \cdot x^b)$ $\ln(y) = \ln(A) + \ln(x^b)$ (propriété du produit) $\ln(y) = \ln(A) + b \ln(x)$ (propriété de la puissance) Si on pose $Y = \ln(y)$, $X = \ln(x)$, et $K = \ln(A)$, l'équation devient $Y = bX + K$. C'est l'équation d'une droite de pente $b$ et d'ordonnée à l'origine $K$. En traçant $\ln(y)$ en fonction de $\ln(x)$, on obtient une droite. La pente donne $b$, et l'ordonnée à l'origine donne $\ln(A)$, d'où $A = e^K$.

2. Relation de type exponentielle : $y = A \cdot e^{Bx}$ En prenant le logarithme népérien des deux côtés : $\ln(y) = \ln(A \cdot e^{Bx})$ $\ln(y) = \ln(A) + \ln(e^{Bx})$ $\ln(y) = \ln(A) + Bx$ Si on pose $Y = \ln(y)$, $K = \ln(A)$, l'équation devient $Y = Bx + K$. C'est l'équation d'une droite de pente $B$ et d'ordonnée à l'origine $K$. En traçant $\ln(y)$ en fonction de $x$, on obtient une droite. La pente donne $B$, et l'ordonnée à l'origine donne $\ln(A)$, d'où $A = e^K$.

Utilisation de papier semi-logarithmique : Le papier semi-logarithmique a une échelle linéaire sur un axe et une échelle logarithmique sur l'autre.

• Si on représente $y$ en fonction de $x$ sur un papier semi-logarithmique (échelle logarithmique pour $y$), et que les points s'alignent, c'est que la relation est de type exponentielle $y = A \cdot e^{Bx}$.
• Si on représente $\ln(y)$ en fonction de $\ln(x)$ (ou $y$ en fonction de $x$ sur un papier log-log, double échelle logarithmique), et que les points s'alignent, c'est que la relation est de type puissance $y = A \cdot x^b$.

Ajustement affine et prévisions : Une fois les données linéarisées, on peut utiliser des méthodes d'ajustement linéaire (comme la régression linéaire par moindres carrés) pour trouver l'équation de la droite. Cela permet ensuite de faire des prévisions et d'extrapoler les résultats.