Suites numériques

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels. Chaque nombre de la suite est appelé un terme. On note généralement une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou $(u_n)_{n \ge n_0}$ si elle commence à un certain rang $n_0$. Le terme $u_n$ est le terme de rang $n$.

Il existe plusieurs façons de définir une suite :

1. Forme explicite (terme général) : Chaque terme $u_n$ est exprimé directement en fonction de son rang $n$. C'est comme une fonction $f(n)$ où $u_n = f(n)$.

$u_0 = 2(0) + 1 = 1$
$u_1 = 2(1) + 1 = 3$
$u_2 = 2(2) + 1 = 5$
Avec cette formule, on peut calculer n'importe quel terme directement.

2. Forme par récurrence (relation de récurrence) : On donne le premier terme (ou les premiers termes) et une formule qui exprime $u_{n+1}$ (le terme suivant) en fonction de $u_n$ (le terme précédent).

$v_0 = 2$
$v_1 = 3v_0 - 1 = 3(2) - 1 = 5$
$v_2 = 3v_1 - 1 = 3(5) - 1 = 14$
Pour calculer $v_n$, il faut calculer tous les termes précédents.

3. Représentation graphique : On peut représenter les termes d'une suite $(u_n)$ dans un repère. * Pour une suite définie explicitement ($u_n = f(n)$), on place les points $(n, u_n)$. * Pour une suite définie par récurrence ($u_{n+1} = f(u_n)$), on peut utiliser la droite d'équation $y=x$ et la courbe de $f$. On part de $u_0$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe de $f$ pour trouver $u_1$ sur l'axe des ordonnées. On reporte $u_1$ sur l'axe des abscisses en utilisant la droite $y=x$, et on répète le processus. Cette méthode permet de visualiser le comportement de la suite (convergence, divergence).

Le sens de variation d'une suite décrit comment ses termes évoluent.

• Une suite $(u_n)$ est croissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \ge u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est strictement croissante si pour tout $n$, $u_{n+1} > u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est décroissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \le u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est strictement décroissante si pour tout $n$, $u_{n+1} < u_n$.
• Une suite est constante si pour tout $n$, $u_{n+1} = u_n$.
• Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Pour étudier le sens de variation d'une suite, on étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$.

• Si $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite est strictement croissante.
• Si $u_{n+1} - u_n < 0$, la suite est strictement décroissante.
• Si $u_{n+1} - u_n = 0$, la suite est constante.

$u_{n+1} - u_n = ((n+1)^2 - 3(n+1)) - (n^2 - 3n)$ $= (n^2 + 2n + 1 - 3n - 3) - (n^2 - 3n)$ $= n^2 - n - 2 - n^2 + 3n$ $= 2n - 2 = 2(n-1)$

• Si $n=0$, $u_1 - u_0 = 2(-1) = -2 < 0$. Donc $u_0 > u_1$.
• Si $n=1$, $u_2 - u_1 = 2(0) = 0$. Donc $u_1 = u_2$.
• Si $n \ge 2$, $n-1 > 0$, donc $2(n-1) > 0$. La suite est croissante pour $n \ge 1$. La suite n'est pas monotone sur $\mathbb{N}$ entier, mais elle est croissante à partir d'un certain rang.

Autre méthode (pour les suites à termes strictement positifs) : Comparer le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.

• Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$, la suite est strictement croissante.
• Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$, la suite est strictement décroissante.
• Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1$, la suite est constante. Cette méthode est utile pour les suites géométriques ou les suites avec des factorielles.

• Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un nombre réel $M$ tel que pour tout $n$, $u_n \le M$. $M$ est appelé un majorant.

• Une suite $(u_n)$ est minorée s'il existe un nombre réel $m$ tel que pour tout $n$, $u_n \ge m$. $m$ est appelé un minorant.

• Une suite $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Le concept de suite bornée est crucial pour la convergence.

Théorème de convergence monotone :

• Toute suite croissante et majorée converge.
• Toute suite décroissante et minorée converge. Ce théorème est très puissant car il permet de prouver qu'une suite a une limite sans connaître la valeur de cette limite.

1. Montrons par récurrence qu'elle est majorée par 2 :
   • Initialisation : $u_0 = 0 \le 2$. Vrai.
   • Hérédité : Supposons $u_n \le 2$. Alors $u_n + 2 \le 4$, donc $\sqrt{u_n + 2} \le \sqrt{4}$, soit $u_{n+1} \le 2$.
   • Conclusion : Pour tout $n$, $u_n \le 2$. La suite est majorée par 2.
2. Montrons qu'elle est croissante : $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n + 2} - u_n$. On peut étudier le signe de $f(x) = \sqrt{x+2} - x$ ou comparer $u_{n+1}$ et $u_n$. $u_{n+1} \ge u_n \Leftrightarrow \sqrt{u_n+2} \ge u_n$. Puisque $u_n \ge 0$ (facile à montrer par récurrence), on peut élever au carré : $u_n+2 \ge u_n^2 \Leftrightarrow 0 \ge u_n^2 - u_n - 2$. Les racines de $x^2 - x - 2 = 0$ sont -1 et 2. Donc $x^2 - x - 2 \le 0$ pour $x \in [-1, 2]$. Puisque $0 \le u_n \le 2$, l'inégalité $u_n^2 - u_n - 2 \le 0$ est vraie. Donc $u_{n+1} \ge u_n$. La suite est croissante.
3. Puisque $(u_n)$ est croissante et majorée, elle converge.

Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante est appelée la raison de la suite, notée $r$.

• Définition par récurrence : $u_{n+1} = u_n + r$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ (ou $n \ge n_0$).
• Formule explicite : $u_n = u_p + (n-p)r$. Si le premier terme est $u_0$, alors $u_n = u_0 + nr$. Si le premier terme est $u_1$, alors $u_n = u_1 + (n-1)r$. La formule explicite est très utile pour calculer n'importe quel terme rapidement.

$u_n = 5 + 3n$. $u_{10} = 5 + 3(10) = 35$.

• Somme des premiers termes : La somme $S_N$ des $N$ premiers termes d'une suite arithmétique (de $u_0$ à $u_{N-1}$) est donnée par la formule : $S_N = u_0 + u_1 + \dots + u_{N-1} = N \times \frac{u_0 + u_{N-1}}{2}$. En général, la somme de $k$ termes consécutifs, de $u_p$ à $u_q$, est : $S = (q - p + 1) \times \frac{u_p + u_q}{2}$. Le nombre de termes est $(dernier \text{ indice} - premier \text{ indice} + 1)$.

$u_9 = 5 + 3(9) = 32$. $S_{10} = 10 \times \frac{u_0 + u_9}{2} = 10 \times \frac{5 + 32}{2} = 10 \times \frac{37}{2} = 5 \times 37 = 185$.

• Représentation graphique : Les points $(n, u_n)$ d'une suite arithmétique sont alignés. Ils se trouvent sur une droite d'équation $y = rx + u_0$ (si la suite commence à $n=0$).

Une suite $(u_n)$ est dite géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Cette constante est appelée la raison de la suite, notée $q$.

• Définition par récurrence : $u_{n+1} = u_n \times q$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ (ou $n \ge n_0$).
• Formule explicite : $u_n = u_p \times q^{n-p}$. Si le premier terme est $u_0$, alors $u_n = u_0 \times q^n$. Si le premier terme est $u_1$, alors $u_n = u_1 \times q^{n-1}$. La formule explicite est essentielle pour les calculs rapides.

$u_n = 3 \times 2^n$. $u_5 = 3 \times 2^5 = 3 \times 32 = 96$.

• Somme des premiers termes : La somme $S_N$ des $N$ premiers termes d'une suite géométrique (de $u_0$ à $u_{N-1}$) est donnée par la formule : $S_N = u_0 + u_1 + \dots + u_{N-1} = u_0 \times \frac{1 - q^N}{1 - q}$ (si $q \ne 1$). Si $q=1$, la suite est constante et $S_N = N \times u_0$. En général, la somme de $k$ termes consécutifs, de $u_p$ à $u_q$, est : $S = u_p \times \frac{1 - q^{q-p+1}}{1 - q}$.

$S_5 = u_0 \times \frac{1 - q^5}{1 - q} = 3 \times \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \times \frac{1 - 32}{-1} = 3 \times \frac{-31}{-1} = 3 \times 31 = 93$.

• Représentation graphique : Les points $(n, u_n)$ d'une suite géométrique ne sont pas alignés (sauf si $q=1$ ou $u_0=0$). Ils suivent une courbe exponentielle (si $u_0 > 0$ et $q > 0$).

Les suites arithmétiques et géométriques sont omniprésentes dans de nombreux domaines.

• Intérêts simples : Augmentation d'une somme d'argent par un montant fixe à chaque période. C'est une progression arithmétique.

$C_0 = 1000$
$C_n = 1000 + 50n$. C'est une suite arithmétique de raison 50.

• Intérêts composés : Augmentation d'une somme d'argent par un pourcentage fixe du capital précédent à chaque période. C'est une progression géométrique.

$C_0 = 1000$
$C_{n+1} = C_n + 0.05 C_n = C_n (1 + 0.05) = 1.05 C_n$.
$C_n = 1000 \times (1.05)^n$. C'est une suite géométrique de raison 1.05.
<mark>Les intérêts composés sont une application très classique des suites géométriques.</mark>

• Croissance de population : Peut être modélisée par des suites arithmétiques (croissance linéaire) ou géométriques (croissance exponentielle).

• Amortissement / Dépréciation : Diminution de valeur d'un bien.

$V_0 = 20000$
$V_{n+1} = V_n - 0.1 V_n = 0.9 V_n$.
$V_n = 20000 \times (0.9)^n$. C'est une suite géométrique de raison 0.9.

• Limite finie (Convergence) : Une suite $(u_n)$ converge vers un nombre réel $L$ si les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de $L$ à mesure que $n$ devient très grand. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$. Formellement : pour tout $\epsilon > 0$, il existe un entier $N$ tel que pour tout $n > N$, $|u_n - L| < \epsilon$.

• Limite infinie (Divergence) : Une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ si ses termes deviennent arbitrairement grands à mesure que $n$ devient très grand. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. Formellement : pour tout $A > 0$, il existe un entier $N$ tel que pour tout $n > N$, $u_n > A$.

• Une suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$ si ses termes deviennent arbitrairement petits (négatifs) à mesure que $n$ devient très grand. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

• Divergence sans limite : Une suite peut diverger sans tendre vers $+\infty$ ou $-\infty$. C'est le cas des suites qui oscillent.

Une suite qui converge est nécessairement bornée. La réciproque est fausse (ex: $(-1)^n$).

Ces théorèmes sont des outils puissants pour trouver la limite d'une suite.

1. Théorème des gendarmes (ou d'encadrement) : Si $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ sont trois suites telles que :
   • Pour tout $n$ (à partir d'un certain rang), $v_n \le u_n \le w_n$
   • $\lim_{n \to +\infty} v_n = L$
   • $\lim_{n \to +\infty} w_n = L$ Alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$.

Donc $-\frac{1}{n} \le \frac{\cos(n)}{n} \le \frac{1}{n}$.
Comme $\lim_{n \to +\infty} -\frac{1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

2. Théorèmes de comparaison avec l'infini : * Si pour tout $n$, $u_n \ge v_n$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. * Si pour tout $n$, $u_n \le v_n$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Donc $u_n \ge n - 1$.
Comme $\lim_{n \to +\infty} (n-1) = +\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

3. Opérations sur les limites : Les limites se comportent bien avec l'addition, la soustraction, la multiplication et la division (sauf les formes indéterminées).

| Opération | $\lim u_n = L$ | $\lim u_n = L$ | $\lim u_n = L \ne 0$ | $\lim u_n = L$ | $\lim u_n = \pm \infty$ | $\lim u_n = \pm \infty$ | $\lim u_n = 0^+$ | $\lim u_n = 0^-$ |
| :-------- | :------------- | :------------- | :------------------- | :------------- | :--------------------- | :--------------------- | :--------------- | :--------------- |
| $u_n + v_n$ | $L+L'$         | $L+\infty = \infty$ |                      |                      | $\infty+\infty = \infty$ | $\infty+L=\infty$      |                  |                  |
| $u_n \times v_n$ | $L \times L'$ | $L \times \infty = \pm \infty$ | $\infty \times L = \pm \infty$ |                      | $\infty \times \infty = \infty$ | $\infty \times L = \pm \infty$ |                  |                  |
| $\frac{u_n}{v_n}$ | $\frac{L}{L'}$ | $\frac{L}{\infty}=0$ | $\frac{L}{0^+} = \pm \infty$ | $\frac{L}{0^-} = \mp \infty$ | $\frac{\infty}{L} = \pm \infty$ | $\frac{L}{\infty}=0$   |                  |                  |

**Formes indéterminées (FI)** :
*   $\frac{\infty}{\infty}$
*   $\frac{0}{0}$
*   $\infty - \infty$
*   $0 \times \infty$
*   $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ (moins fréquentes en Terminale)

Pour lever une FI, on utilise souvent :
*   La factorisation par le terme de plus haut degré (pour les polynômes ou fractions rationnelles).
*   La conjugaison (pour les expressions avec des racines carrées).
*   Les croissances comparées.

Connaître les limites de suites usuelles est essentiel.

1. Limite de $q^n$ :
   • Si $q > 1$, $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
   • Si $q = 1$, $\lim_{n \to +\infty} q^n = 1$.
   • Si $-1 < q < 1$, $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
   • Si $q \le -1$, la suite $q^n$ n'a pas de limite (elle diverge sans tendre vers l'infini).

2. Limite de $n^p$ :
   • Si $p > 0$, $\lim_{n \to +\infty} n^p = +\infty$.
   • Si $p = 0$, $\lim_{n \to +\infty} n^0 = \lim_{n \to +\infty} 1 = 1$.
   • Si $p < 0$, $\lim_{n \to +\infty} n^p = 0$. (Ex: $n^{-1} = 1/n$)

3. Limite de $\frac{1}{n^p}$ : Pour $p > 0$, $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^p} = 0$. C'est un cas particulier de $n^p$ avec $p < 0$.

4. Limite de suites arithmétiques :

   • Si $r > 0$, $\lim_{n \to +\infty} (u_0 + nr) = +\infty$.
   • Si $r < 0$, $\lim_{n \to +\infty} (u_0 + nr) = -\infty$.
   • Si $r = 0$, $\lim_{n \to +\infty} (u_0 + nr) = u_0$. Les suites arithmétiques divergent, sauf si la raison est nulle.

5. Limite de suites géométriques : Le comportement dépend de la raison $q$, comme vu avec la limite de $q^n$.

   • Si $u_0 > 0$ et $q > 1$, $\lim_{n \to +\infty} u_0 q^n = +\infty$.
   • Si $u_0 < 0$ et $q > 1$, $\lim_{n \to +\infty} u_0 q^n = -\infty$.
   • Si $q = 1$, $\lim_{n \to +\infty} u_0 q^n = u_0$.
   • Si $-1 < q < 1$, $\lim_{n \to +\infty} u_0 q^n = 0$.
   • Si $q \le -1$ ou $q > 1$ avec $u_0 = 0$, la suite diverge (pas de limite).

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes si :

1. L'une est croissante et l'autre est décroissante (par exemple, $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante).
2. $\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0$.

Critère de convergence : Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes, alors elles convergent toutes les deux vers la même limite $L$. De plus, si $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante, alors pour tout $n$, $u_n \le L \le v_n$. Ce théorème est très utile pour prouver l'existence d'une limite et pour l'encadrer.

• Intervalle emboîté : L'idée derrière les suites adjacentes est qu'elles définissent une suite d'intervalles $[u_n, v_n]$ qui se "resserre" autour d'un point unique.

Ces suites sont appelées suites récurrentes. Leur comportement dépend fortement de la fonction $f$.

• Point fixe : Si une suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers une limite $L$, alors cette limite $L$ est un point fixe de $f$. C'est-à-dire que $L$ doit vérifier l'équation $L = f(L)$. Attention : Le fait que $L = f(L)$ soit vrai ne garantit pas que la suite converge vers $L$.

• Convergence vers un point fixe : Pour qu'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers un point fixe $L$, il faut souvent que :

  1. La suite soit monotone et bornée (théorème de convergence monotone).
  2. $L = f(L)$ ait une solution.
  3. La fonction $f$ soit continue en $L$.

• Représentation graphique en escalier/spirale : Pour visualiser le comportement d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$, on trace la courbe de $f$ et la droite $y=x$.

  1. Placez $u_0$ sur l'axe des abscisses.
  2. Montez (ou descendez) verticalement jusqu'à la courbe de $f$ pour trouver $f(u_0) = u_1$ sur l'axe des ordonnées.
  3. Reportez $u_1$ sur l'axe des abscisses en allant horizontalement jusqu'à la droite $y=x$.
  4. Répétez les étapes 2 et 3.
  • Si les points forment un "escalier" qui se rapproche de l'intersection de $f(x)$ et $y=x$, la suite converge.
  • Si les points forment une "spirale" qui se rapproche de l'intersection, la suite converge.
  • Si les points s'éloignent, la suite diverge.

• Théorème du point fixe (cas simple) : Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ stable par $f$ (c'est-à-dire $f(I) \subset I$) et que la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ est monotone et bornée (donc converge), alors sa limite est l'unique point fixe de $f$ dans $I$. Un cas plus général (hors programme Terminale mais utile) utilise la dérivée de $f$: si $|f'(x)| < k < 1$ sur un intervalle, alors il y a convergence.

La démonstration par récurrence est une technique fondamentale pour prouver qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tous les entiers naturels $n$ (à partir d'un certain rang). Elle se déroule en trois étapes :

1. Initialisation : Vérifier que la propriété $P(n)$ est vraie pour le premier rang $n_0$ (souvent $n_0=0$ ou $n_0=1$).

2. Hérédité : Supposer que la propriété $P(k)$ est vraie pour un certain entier $k \ge n_0$ (c'est l'hypothèse de récurrence), puis montrer qu'elle est vraie pour le rang suivant, $P(k+1)$.

3. Conclusion : Si l'initialisation et l'hérédité sont vérifiées, alors la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$.

Application aux propriétés de suites : La récurrence est très utilisée pour :

• Prouver une formule explicite pour une suite définie par récurrence.

• Démontrer le sens de variation d'une suite.

• Démontrer qu'une suite est majorée ou minorée.

• Prouver des inégalités concernant les termes d'une suite.

Exemple détaillé de démonstration par récurrence : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n < 2$.

1. Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 0$. On a bien $0 < 2$. La propriété est vraie pour $n=0$.

2. Hérédité : Supposons que la propriété est vraie pour un entier $k \ge 0$, c'est-à-dire $u_k < 2$. (Hypothèse de récurrence) Nous voulons montrer que $u_{k+1} < 2$. D'après l'hypothèse de récurrence : $u_k < 2$ Multiplions par $\frac{1}{2}$ (qui est positif, donc l'inégalité est conservée) : $\frac{1}{2}u_k < \frac{1}{2} \times 2$ $\frac{1}{2}u_k < 1$ Ajoutons 1 aux deux membres de l'inégalité : $\frac{1}{2}u_k + 1 < 1 + 1$ $u_{k+1} < 2$ La propriété est donc vraie pour $k+1$.

3. Conclusion : Puisque la propriété est vraie pour $n=0$ et qu'elle est héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel $n$. C'est-à-dire, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n < 2$.

La récurrence est un pilier de la logique mathématique et est indispensable pour travailler avec les suites.