Nombres complexes

Historiquement, les mathématiciens ont rencontré un problème insoluble dans l'ensemble des nombres réels ($\mathbb{R}$) : il était impossible de trouver un nombre $x$ tel que $x^2 = -1$. Pour résoudre cette difficulté, ils ont introduit une nouvelle entité, l'unité imaginaire, notée $i$, définie par ==$i^2 = -1$==.

À partir de cette unité imaginaire, on a construit un nouvel ensemble de nombres, appelé l'ensemble des nombres complexes, noté $\mathbb{C}$. Un nombre complexe $z$ peut s'écrire sous la forme algébrique : $z = a + ib$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

• $a$ est appelé la partie réelle de $z$, notée $\text{Re}(z)$.
• $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$, notée $\text{Im}(z)$.

Un nombre complexe est dit réel pur si sa partie imaginaire est nulle ($b=0$). Il est dit imaginaire pur si sa partie réelle est nulle ($a=0$).

Deux nombres complexes $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales : $a = a'$ et $b = b'$.

Les opérations arithmétiques fondamentales s'étendent aux nombres complexes en respectant la propriété $i^2 = -1$.

Addition et soustraction

Pour $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ :

• Addition : $z + z' = (a + a') + i(b + b')$
• Soustraction : $z - z' = (a - a') + i(b - b')$

Multiplication

Pour $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ : $z \times z' = (a + ib)(a' + ib') = aa' + aib' + iba' + i^2bb'$ Puisque $i^2 = -1$ : ==$z \times z' = (aa' - bb') + i(ab' + ba')$==

Conjugué d'un nombre complexe

Le conjugué d'un nombre complexe $z = a + ib$ est le nombre complexe $\bar{z}$ défini par : $\bar{z} = a - ib$ Propriétés importantes :

• $\overline{\bar{z}} = z$
• $z + \bar{z} = 2a = 2 \text{Re}(z)$
• $z - \bar{z} = 2ib = 2i \text{Im}(z)$
• $z \bar{z} = a^2 + b^2$ (toujours un nombre réel positif)
• $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$
• $\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z'}$
• Si $z \neq 0$, $\overline{\left(\frac{1}{z}\right)} = \frac{1}{\bar{z}}$
• Si $z' \neq 0$, $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}$

Division

Pour diviser des nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur afin de rendre le dénominateur réel. Pour $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ avec $z' \neq 0$ : $\frac{z}{z'} = \frac{a + ib}{a' + ib'} = \frac{(a + ib)(a' - ib')}{(a' + ib')(a' - ib')} = \frac{(aa' + bb') + i(ba' - ab')}{a'^2 + b'^2}$ $==\frac{z}{z'} = \frac{aa' + bb'}{a'^2 + b'^2} + i\frac{ba' - ab'}{a'^2 + b'^2}==$

Les nombres complexes peuvent être représentés géométriquement. On utilise un plan complexe (aussi appelé plan d'Argand-Gauss), qui est un plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{u}, \vec{v})$.

• L'axe des abscisses est appelé l'axe des réels.
• L'axe des ordonnées est appelé l'axe des imaginaires.

À tout nombre complexe $z = a + ib$, on associe :

• Un point $M$ de coordonnées $(a, b)$ dans le plan complexe. On dit que $M$ est l'image de $z$ et que $z$ est l'affixe du point $M$, notée $z_M$.
• Un vecteur $\vec{OM}$ de coordonnées $(a, b)$. On dit que $z$ est l'affixe du vecteur $\vec{OM}$.

Affixe d'un point

Si $M(x, y)$ est un point du plan, son affixe est $z_M = x + iy$.

Affixe d'un vecteur

Si $A$ et $B$ sont deux points d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$, alors l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_{\vec{AB}} = z_B - z_A$.

Interprétation géométrique des opérations

• L'addition de deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$ correspond à l'addition vectorielle : l'image de $z_1+z_2$ est le point $M_3$ tel que $\vec{OM_3} = \vec{OM_1} + \vec{OM_2}$ (règle du parallélogramme).
• Le conjugué $\bar{z}$ de $z$ a pour image le point $M'$ qui est le symétrique de l'image $M$ de $z$ par rapport à l'axe des réels.
• La multiplication et la division ont des interprétations géométriques plus complexes qui seront abordées avec le module et l'argument.

Le module d'un nombre complexe $z = a + ib$, noté $|z|$, est la distance entre l'origine $O$ du plan complexe et le point $M$ d'affixe $z$. En utilisant le théorème de Pythagore, on a : $==|z| = \sqrt{a^2 + b^2}==$

Distance dans le plan complexe

Le module de la différence de deux nombres complexes $z_A$ et $z_B$ représente la distance entre les points $A$ et $B$ : $AB = |z_B - z_A|$

Propriétés du module

Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ :

• $|z| \ge 0$ et $|z| = 0 \iff z = 0$
• $|z| = |\bar{z}|$
• $z \bar{z} = |z|^2$
• $|z z'| = |z| |z'|$
• $\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$ (si $z' \neq 0$)
• $|z^n| = |z|^n$ pour tout entier $n$
• Inégalité triangulaire : $<mark>|z + z'| \le |z| + |z'|</mark>$ (l'égalité a lieu si $z$ et $z'$ sont colinéaires et de même sens)

Module et conjugué

L'égalité $z \bar{z} = |z|^2$ est particulièrement utile pour le calcul de l'inverse : $\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$

L'argument d'un nombre complexe non nul $z = a + ib$, noté $\arg(z)$, est la mesure de l'angle orienté $(\vec{u}, \vec{OM})$ où $M$ est le point d'affixe $z$. L'argument est défini à $2\pi$ près. On choisit souvent l'argument principal, noté $\text{Arg}(z)$, qui appartient à l'intervalle $]-\pi, \pi]$. Si $\theta = \arg(z)$, alors : $a = |z|\cos(\theta) \quad \text{et} \quad b = |z|\sin(\theta)$ D'où : $\cos(\theta) = \frac{a}{|z|} \quad \text{et} \quad \sin(\theta) = \frac{b}{|z|}$ Ces relations permettent de trouver l'argument à partir de la forme algébrique.

$\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\theta = \frac{\pi}{4} \pmod{2\pi}$.

Propriétés de l'argument

Pour tous nombres complexes non nuls $z$ et $z'$ :

• $\arg(z z') = \arg(z) + \arg(z') \pmod{2\pi}$
• $\arg\left(\frac{z}{z'}\right) = \arg(z) - \arg(z') \pmod{2\pi}$
• $\arg(z^n) = n \arg(z) \pmod{2\pi}$ pour tout entier $n$
• $\arg(\bar{z}) = -\arg(z) \pmod{2\pi}$
• $\arg(-z) = \arg(z) + \pi \pmod{2\pi}$
• $z$ est un réel pur $\iff \arg(z) = 0 \pmod{\pi}$ (si $z \neq 0$)
• $z$ est un imaginaire pur $\iff \arg(z) = \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$ (si $z \neq 0$)

Un nombre complexe $z$ non nul peut s'écrire sous sa forme trigonométrique : $==z = |z|(\cos(\theta) + i\sin(\theta))==$ où $|z|$ est le module de $z$ et $\theta$ est un argument de $z$. On note parfois $z = [|z|, \theta]$.

Passage forme algébrique à trigonométrique

1. Calculer le module $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
2. Résoudre le système $\cos(\theta) = \frac{a}{|z|}$ et $\sin(\theta) = \frac{b}{|z|}$ pour trouver $\theta$.

Passage forme trigonométrique à algébrique

1. Calculer $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$.
2. Multiplier par le module $|z|$. $z = |z|\cos(\theta) + i|z|\sin(\theta)$.

Opérations en forme trigonométrique

La forme trigonométrique simplifie grandement les multiplications et divisions. Soient $z = |z|(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$ et $z' = |z'|(\cos(\theta') + i\sin(\theta'))$.

• Multiplication : $z z' = |z||z'|(\cos(\theta + \theta') + i\sin(\theta + \theta'))$ Les modules se multiplient, les arguments s'additionnent.
• Division : (si $z' \neq 0$) $\frac{z}{z'} = \frac{|z|}{|z'|}(\cos(\theta - \theta') + i\sin(\theta - \theta'))$ Les modules se divisent, les arguments se soustraient.
• Puissance : (Formule de De Moivre, voir section suivante) $z^n = |z|^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$

Interprétation géométrique

• La multiplication par un nombre complexe $z'$ correspond à une rotation d'angle $\arg(z')$ et une homothétie de rapport $|z'|$.
• Le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ a pour module $\frac{AC}{AB}$ et pour argument l'angle $(\vec{AB}, \vec{AC})$.

La forme exponentielle est une notation compacte et très pratique pour les nombres complexes, basée sur la formule d'Euler. La formule d'Euler établit un lien fondamental entre l'exponentielle complexe et les fonctions trigonométriques : $==e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)==$ Cette formule permet d'écrire tout nombre complexe non nul $z$ sous la forme exponentielle : $z = |z|e^{i\theta}$ où $|z|$ est le module de $z$ et $\theta$ est un argument de $z$.

Passage forme trigonométrique à exponentielle

C'est direct : on remplace $(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$ par $e^{i\theta}$.

Opérations en forme exponentielle

Les règles de calcul avec les puissances s'appliquent naturellement : Soient $z = |z|e^{i\theta}$ et $z' = |z'|e^{i\theta'}$.

• Multiplication : $z z' = |z||z'|e^{i(\theta + \theta')}$
• Division : $\frac{z}{z'} = \frac{|z|}{|z'|}e^{i(\theta - \theta')}$ (si $z' \neq 0$)
• Puissance : $z^n = |z|^n e^{in\theta}$ pour tout entier $n$.

$z_1 z_2 = (2 \times 3)e^{i(\pi/4 + \pi/6)} = 6e^{i(3\pi/12 + 2\pi/12)} = 6e^{i5\pi/12}$. $\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{3}e^{i(\pi/4 - \pi/6)} = \frac{2}{3}e^{i\pi/12}$.

La formule de Moivre est une conséquence directe de la forme exponentielle et de la propriété $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$. Elle est particulièrement utile pour calculer les puissances de nombres complexes et pour les applications trigonométriques. Pour tout nombre réel $\theta$ et tout entier relatif $n$ : $==(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)==$

Application au calcul de $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$

La formule de Moivre permet d'exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en fonction de $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$.

En développant le membre de gauche : $\cos^2(\theta) + 2i\cos(\theta)\sin(\theta) + i^2\sin^2(\theta) = (\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)) + i(2\sin(\theta)\cos(\theta))$. Par identification des parties réelles et imaginaires : $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)$ $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ Ce sont les formules de duplication bien connues.

Linéarisation de polynômes trigonométriques

On peut aussi exprimer $\cos^n(\theta)$ et $\sin^n(\theta)$ en fonction de $\cos(k\theta)$ et $\sin(k\theta)$ (linéarisation). On utilise pour cela les formules d'Euler : $\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$.

$\cos^3(\theta) = \left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}(e^{i3\theta} + 3e^{i2\theta}e^{-i\theta} + 3e^{i\theta}e^{-i2\theta} + e^{-i3\theta})$ $= \frac{1}{8}(e^{i3\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-i3\theta})$ $= \frac{1}{8}((e^{i3\theta} + e^{-i3\theta}) + 3(e^{i\theta} + e^{-i\theta}))$ $= \frac{1}{8}(2\cos(3\theta) + 3 \times 2\cos(\theta))$ $= <mark>\frac{1}{4}\cos(3\theta) + \frac{3}{4}\cos(\theta)</mark>$.

Les racines n-ièmes de l'unité sont les nombres complexes $z$ qui vérifient l'équation $z^n = 1$, où $n$ est un entier naturel non nul.

Calcul des racines n-ièmes de 1

Soit $z = \rho e^{i\theta}$ une racine $n$-ième de l'unité. Alors $z^n = \rho^n e^{in\theta} = 1 = 1e^{i0}$. Par identification des modules et des arguments :

• $\rho^n = 1 \implies \rho = 1$ (car $\rho$ est un module, donc réel positif)
• $n\theta = 0 + 2k\pi \implies \theta = \frac{2k\pi}{n}$ pour $k \in \mathbb{Z}$. Pour obtenir $n$ racines distinctes, on prend $k = 0, 1, \dots, n-1$. Les $n$ racines $n$-ièmes de l'unité sont donc : $==z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}} = \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right) \quad \text{pour } k = 0, 1, \dots, n-1==$

Représentation géométrique des racines

Les images des racines $n$-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité (cercle de rayon 1 centré à l'origine). Le premier sommet est toujours le point d'affixe 1.

• $z_0 = e^{i0} = 1$
• $z_1 = e^{i\frac{2\pi}{3}} = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $z_2 = e^{i\frac{4\pi}{3}} = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ Ces trois points forment un triangle équilatéral dans le plan complexe.

Propriétés des racines de l'unité

• Le produit des racines $n$-ièmes de l'unité est $(-1)^{n-1}$.
• La somme des racines $n$-ièmes de l'unité est 0 (pour $n > 1$).
• Si $\omega$ est une racine $n$-ième de l'unité, alors $\omega^k$ est aussi une racine $n$-ième de l'unité.

Une transformation du plan est une fonction qui associe à chaque point $M$ d'affixe $z$ un nouveau point $M'$ d'affixe $z'$.

Translation

Une translation de vecteur $\vec{w}$ d'affixe $z_{\vec{w}}$ transforme un point $M(z)$ en $M'(z')$ telle que $\vec{MM'} = \vec{w}$. L'écriture complexe de la translation est : $==z' = z + z_{\vec{w}}==$

Homothétie

Une homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k$ (réel non nul) transforme un point $M(z)$ en $M'(z')$ telle que $\vec{\Omega M'} = k\vec{\Omega M}$. L'écriture complexe de l'homothétie est : $z' - \omega = k(z - \omega) \iff z' = k(z - \omega) + \omega$

Rotation

Une rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\alpha$ transforme un point $M(z)$ en $M'(z')$. L'écriture complexe de la rotation est : $z' - \omega = e^{i\alpha}(z - \omega) \iff z' = e^{i\alpha}(z - \omega) + \omega$

Similitude directe

Une similitude directe est une transformation qui combine une rotation, une homothétie et éventuellement une translation. C'est une transformation du plan qui conserve les angles orientés et multiplie les distances par un facteur constant (le rapport de la similitude). L'écriture complexe générale d'une similitude directe est : $==z' = az + b==$ où $a \in \mathbb{C}^*$ et $b \in \mathbb{C}$.

• Le rapport de la similitude est $|a|$.
• L'angle de la similitude est $\arg(a)$.
• Si $a=1$, c'est une translation.
• Si $a \neq 1$, le centre de la similitude est le point invariant $\Omega$ d'affixe $\omega = \frac{b}{1-a}$.

Les nombres complexes permettent de caractériser l'alignement de points et l'orthogonalité de vecteurs.

Condition d'alignement de trois points

Trois points distincts $A, B, C$ d'affixes $z_A, z_B, z_C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Cela se traduit par le fait que le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un nombre réel. $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R} \iff \arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) = 0 \pmod{\pi}$

Condition d'orthogonalité de deux vecteurs

Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ d'affixes $z_B - z_A$ et $z_D - z_C$ sont orthogonaux si et seulement si l'angle entre eux est $\frac{\pi}{2}$ ou $-\frac{\pi}{2}$. Cela se traduit par le fait que le rapport $\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}$ est un nombre imaginaire pur. $\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}^* \iff \arg\left(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right) = \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$

Utilisation des arguments

L'argument d'un rapport de la forme $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est égal à l'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AC})$. $\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) = (\vec{AB}, \vec{AC}) \pmod{2\pi}$.

Les nombres complexes sont très efficaces pour décrire des ensembles de points géométriques.

Ensembles de points $|z-a| = R$

L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - a| = R$ (où $a$ est l'affixe d'un point fixe $A$ et $R > 0$ est un réel) est le cercle de centre $A$ et de rayon $R$. En effet, $|z - a|$ représente la distance $AM$.

Ensembles de points $|z-a| = |z-b|$

L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - a| = |z - b|$ (où $a$ et $b$ sont les affixes de deux points fixes distincts $A$ et $B$) est la médiatrice du segment $[AB]$. En effet, $|z - a| = AM$ et $|z - b| = BM$, donc $AM = BM$.

Ensembles de points $\arg\left(\frac{z-a}{z-b}\right) = k$

L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\arg\left(\frac{z-a}{z-b}\right) = k \pmod{2\pi}$ (où $a$ et $b$ sont les affixes de deux points fixes $A$ et $B$, et $k$ est un réel) est un arc de cercle passant par $A$ et $B$. Si $k = 0 \pmod{\pi}$, les points $M, A, B$ sont alignés. Si $M$ est distinct de $A$ et $B$, alors $M$ est sur la droite $(AB)$. Si $k = \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$, alors l'angle $(\vec{BM}, \vec{AM})$ est droit. L'ensemble des points $M$ distincts de $A$ et $B$ est le cercle de diamètre $[AB]$ (privé de $A$ et $B$).

Considérons l'équation $az^2 + bz + c = 0$ avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$. Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$.

Discriminant négatif

Si $\Delta < 0$, l'équation n'a pas de solutions réelles. Cependant, elle possède deux solutions complexes conjuguées : $==z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}==$ Notez que $\sqrt{-\Delta}$ est un nombre réel puisque $-\Delta > 0$.

Cas des coefficients complexes

Si les coefficients $a, b, c$ sont eux-mêmes des nombres complexes, la formule de résolution reste la même : $z = \frac{-b \pm \delta}{2a}$ où $\delta$ est une racine carrée complexe de $\Delta = b^2 - 4ac$. Pour trouver $\delta$, on pose $\delta = x+iy$ et on résout $(x+iy)^2 = \Delta$. Cela mène à un système de deux équations réelles.

Racines complexes conjuguées

Si un polynôme $P(z)$ à coefficients réels admet une racine complexe $z_0$, alors son conjugué $\bar{z_0}$ est aussi une racine de $P(z)$. C'est une propriété très utile pour la factorisation. Si $z_0$ est une racine, alors $(z - z_0)$ est un facteur. Si $\bar{z_0}$ est aussi une racine, alors $(z - \bar{z_0})$ est un autre facteur. Le produit $(z - z_0)(z - \bar{z_0}) = z^2 - (z_0 + \bar{z_0})z + z_0\bar{z_0} = z^2 - 2\text{Re}(z_0)z + |z_0|^2$, qui est un polynôme du second degré à coefficients réels.

Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$

Le Théorème fondamental de l'algèbre (ou théorème de d'Alembert-Gauss) stipule que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine complexe. Une conséquence est que tout polynôme $P(z)$ de degré $n \ge 1$ à coefficients complexes peut être factorisé de manière unique (à l'ordre des facteurs près) sous la forme : $P(z) = a(z - z_1)(z - z_2)\dots(z - z_n)$ où $a$ est le coefficient dominant de $P(z)$ et $z_1, z_2, \dots, z_n$ sont les $n$ racines de $P(z)$ (comptées avec leur multiplicité).

Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$

Si le polynôme $P(z)$ est à coefficients réels, sa factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ sera différente. Les racines complexes non réelles apparaissent par paires conjuguées. On peut alors factoriser $P(z)$ en un produit de polynômes irréductibles de degré 1 (pour les racines réelles) et de degré 2 (pour les paires de racines complexes conjuguées).

Les racines sont $1, -1, i, -i$. Dans $\mathbb{C}[X]$ : $P(z) = (z-1)(z+1)(z-i)(z+i)$. Dans $\mathbb{R}[X]$ : $P(z) = (z-1)(z+1)(z^2+1)$.

Pour les équations polynomiales de degré supérieur à 2, il n'existe pas de formule générale simple comme pour le second degré. On utilise souvent des stratégies spécifiques :

Recherche de racines évidentes

On teste des racines "simples" comme $1, -1, i, -i, 2, -2$, etc. Si $z_0$ est une racine, alors $(z - z_0)$ est un facteur du polynôme.

Division polynomiale

Si on trouve une racine $z_0$, on peut effectuer la division euclidienne du polynôme $P(z)$ par $(z - z_0)$. Cela réduit le degré du polynôme à résoudre. On peut utiliser la méthode de Horner pour simplifier les calculs.

Utilisation des racines n-ièmes

Certaines équations peuvent être ramenées à la recherche de racines $n$-ièmes d'un nombre complexe. Par exemple, $z^n = Z_0$. Si $Z_0 = \rho e^{i\phi}$, alors les solutions sont $z_k = \sqrt[n]{\rho} e^{i\frac{\phi + 2k\pi}{n}}$ pour $k = 0, 1, \dots, n-1$.

Polynômes réciproques

Ce sont des polynômes dont les coefficients sont symétriques. Par exemple $az^4 + bz^3 + cz^2 + bz + a = 0$. On peut souvent les résoudre en divisant par $z^k$ et en posant un changement de variable comme $y = z + \frac{1}{z}$.