Calcul numérique et puissances

Un nombre relatif est un nombre qui possède un signe (+ ou -). Il est composé d'une distance à zéro et d'un signe.

• Exemple : $+5$ (ou $5$) et $-5$.
• La distance à zéro de $+5$ est $5$. La distance à zéro de $-5$ est $5$.

Représentation sur une droite graduée : Les nombres relatifs sont représentés sur une droite orientée. Le point $0$ est l'origine. Les nombres positifs sont à droite de $0$, les nombres négatifs sont à gauche.

  <-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|----->
       -3    -2    -1     0     1     2     3     4

Comparaison de nombres relatifs :

• Entre deux nombres positifs : le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro. Ex: $5 > 3$.
• Entre deux nombres négatifs : le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro. Ex: $-2 > -5$.
• Entre un nombre positif et un nombre négatif : le nombre positif est toujours plus grand. Ex: $2 > -10$.
• Un nombre négatif est toujours inférieur à $0$.

Règle d'addition de deux nombres de même signe :

1. On garde le signe commun.
2. On additionne leurs distances à zéro.

• Exemples : $(+3) + (+5) = +8$ ; $(-3) + (-5) = -8$.

Règle d'addition de deux nombres de signes différents :

1. On prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
2. On soustrait la plus petite distance à zéro à la plus grande.

• Exemples : $(+7) + (-4) = +3$ (car $7 > 4$, le signe est $+$) ; $(-9) + (+2) = -7$ (car $9 > 2$, le signe est $-$).

Transformer une soustraction en addition : Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.

• L'opposé de $+5$ est $-5$. L'opposé de $-3$ est $+3$.
• Exemple : $(+8) - (+3) = (+8) + (-3) = +5$.
• Exemple : $(-6) - (-2) = (-6) + (+2) = -4$.
• Toute soustraction peut être transformée en addition, ce qui simplifie les calculs.

Règle des signes pour la multiplication :

• $(+) \times (+) = (+)$
• $(-) \times (-) = (+)$
• $(+) \times (-) = (-)$
• $(-) \times (+) = (-)$
• En bref : Si les signes sont identiques, le résultat est positif. Si les signes sont différents, le résultat est négatif.
• Exemples : $(+4) \times (+3) = +12$ ; $(-4) \times (-3) = +12$ ; $(+4) \times (-3) = -12$.

Règle des signes pour la division : Les mêmes règles des signes s'appliquent pour la division.

• $(+) \div (+) = (+)$
• $(-) \div (-) = (+)$
• $(+) \div (-) = (-)$
• $(-) \div (+) = (-)$
• Exemples : $(+10) \div (-2) = -5$ ; $(-15) \div (-3) = +5$.

Calculs avec des parenthèses : Les parenthèses indiquent des priorités. Il faut d'abord effectuer les opérations à l'intérieur des parenthèses.

• Exemple : $(-3) \times (5 - 8) = (-3) \times (-3) = +9$.

L'ordre des opérations est crucial pour obtenir le bon résultat. On utilise l'acronyme PEMDAS (ou PEDMAS en anglais) :

1. Parenthèses (et crochets)
2. Exposants (ou Puissances)
3. Multiplication et Division (de gauche à droite)
4. Addition et Soustraction (de gauche à droite)

• Exemple : $10 - (2 + 3) \times 2^2$
  1. Parenthèses : $10 - (5) \times 2^2$
  2. Exposant : $10 - 5 \times 4$
  3. Multiplication : $10 - 20$
  4. Soustraction : $-10$

Calculs avec des fractions : Les règles de priorité s'appliquent aussi aux fractions. Le trait de fraction agit comme une parenthèse pour le numérateur et le dénominateur.

• Exemple : $\frac{10 - 2}{2 + 2} = \frac{8}{4} = 2$. Il faut calculer le numérateur et le dénominateur séparément avant la division.

Expressions numériques complexes : Il faut bien identifier chaque opération et respecter scrupuleusement l'ordre.

• Une erreur de priorité est une erreur fréquente. Prenez votre temps pour décomposer le calcul.

Une fraction représente une partie d'un tout ou un quotient. Elle s'écrit $\frac{a}{b}$, où $a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur ($b \neq 0$).

• Le dénominateur indique en combien de parts le tout est divisé.
• Le numérateur indique combien de ces parts sont prises.
• Exemple : $\frac{3}{4}$ signifie 3 parts sur 4.

Fractions égales et simplification : Deux fractions sont égales si elles représentent la même proportion. On peut simplifier une fraction en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre (leur PGCD).

• Exemple : $\frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$. La fraction $\frac{3}{4}$ est irréductible.
• Pour simplifier une fraction au maximum, on divise par le plus grand commun diviseur (PGCD) du numérateur et du dénominateur.

Comparaison de fractions :

• Si elles ont le même dénominateur : on compare les numérateurs. Ex: $\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$.
• Si elles ont le même numérateur : la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur. Ex: $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$.
• Si elles n'ont ni le même numérateur ni le même dénominateur : il faut les réduire au même dénominateur commun (souvent le PPCM).
  • Exemple : Comparer $\frac{1}{2}$ et $\frac{2}{3}$. Dénominateur commun $6$. $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ et $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$. Donc $\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$.

Mettre au même dénominateur : C'est l'étape essentielle pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents. On cherche un multiple commun aux dénominateurs, le plus petit commun multiple (PPCM) est idéal.

• Exemple : Pour $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$, le PPCM de $3$ et $4$ est $12$.
  • $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$
  • $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$

Addition de fractions :

1. Mettre les fractions au même dénominateur.
2. Additionner les numérateurs.
3. Garder le dénominateur commun.
4. Simplifier si possible.

• Exemple : $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$.

Soustraction de fractions :

1. Mettre les fractions au même dénominateur.
2. Soustraire les numérateurs.
3. Garder le dénominateur commun.
4. Simplifier si possible.

• Exemple : $\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Règle de multiplication des fractions : On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

• $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$
• Exemple : $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$.
• Il n'est pas nécessaire d'avoir le même dénominateur pour la multiplication. On peut simplifier avant de multiplier pour faciliter le calcul. Ex: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{3 \times 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Inverse d'une fraction : L'inverse d'une fraction $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$ (pour $a \neq 0$). Le produit d'une fraction par son inverse est $1$.

• Exemple : L'inverse de $\frac{2}{3}$ est $\frac{3}{2}$. $\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$.

Règle de division des fractions : Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

• $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$
• Exemple : $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

Calculer une fraction d'une quantité : Pour calculer $\frac{a}{b}$ d'une quantité $Q$, on multiplie la fraction par la quantité.

• Exemple : Les $\frac{2}{5}$ de $150$ € sont $\frac{2}{5} \times 150 = \frac{2 \times 150}{5} = \frac{300}{5} = 60$ €.

Résoudre des problèmes concrets : Les fractions sont très utilisées dans la vie quotidienne pour partager, comparer des proportions, etc.

• Exemple : Un gâteau est partagé en $8$ parts. Si Jean en mange $\frac{1}{4}$ et Marie $\frac{3}{8}$, quelle fraction du gâteau a été mangée ?
  • $\frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$.

Opérations mixtes avec des fractions : Il faut appliquer les priorités opératoires.

• Exemple : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}$
  • Multiplication d'abord : $\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
  • Addition ensuite : $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Une puissance entière positive est une façon d'écrire une multiplication répétée du même nombre.

• $a^n = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ fois)
• $a$ est la base, $n$ est l'exposant.
• Exemple : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.

Cas particuliers :

• Exposant 1 : Tout nombre élevé à la puissance $1$ est égal à lui-même. $a^1 = a$. Ex: $5^1 = 5$.
• Exposant 0 : Tout nombre (non nul) élevé à la puissance $0$ est égal à $1$. $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$). Ex: $7^0 = 1$.
• Attention : $0^0$ n'est pas défini.

Les puissances de $10$ sont très importantes en science et pour l'écriture des grands et petits nombres.

• Définition : $10^n = 1 \underbrace{00\dots0}_{n \text{ zéros}}$ et $10^{-n} = 0,\underbrace{00\dots0}_{n-1 \text{ zéros}}1$.
• Exemples : $10^3 = 1000$ ; $10^1 = 10$ ; $10^0 = 1$.
• L'exposant indique le nombre de zéros après le 1 pour les puissances positives.

Écriture décimale des puissances de 10 :

• $10^2 = 100$
• $10^{-1} = 0,1$
• $10^{-2} = 0,01$
• $10^{-3} = 0,001$
• Pour les exposants négatifs, l'exposant indique le rang du 1 après la virgule.

Utilisation dans les grands et petits nombres : Elles permettent d'écrire des nombres très grands ou très petits de manière concise (voir écriture scientifique).

• Distance Terre-Soleil : $1,5 \times 10^8$ km.
• Taille d'une bactérie : $5 \times 10^{-6}$ m.

Produit de puissances de même base : Pour multiplier des puissances ayant la même base, on garde la base et on additionne les exposants.

• $a^n \times a^m = a^{n+m}$
• Exemple : $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$.

Quotient de puissances de même base : Pour diviser des puissances ayant la même base, on garde la base et on soustrait les exposants.

• $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
• Exemple : $\frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3$.

Puissance d'une puissance : Pour élever une puissance à une autre puissance, on garde la base et on multiplie les exposants.

• $(a^n)^m = a^{n \times m}$
• Exemple : $( (5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6$.

Définition d'une puissance d'exposant négatif : Un nombre élevé à une puissance négative est l'inverse de ce nombre élevé à la puissance positive correspondante.

• $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (pour $a \neq 0$)
• Exemple : $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
• Exemple : $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$.

Lien avec l'inverse : $a^{-1} = \frac{1}{a}$ est l'inverse de $a$.

• Exemple : L'inverse de $4$ est $4^{-1} = \frac{1}{4}$.

Calculs avec des exposants négatifs : Les règles des opérations sur les puissances s'appliquent aussi aux exposants négatifs.

• Exemple : $3^2 \times 3^{-4} = 3^{2+(-4)} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
• Exemple : $\frac{5^3}{5^{-1}} = 5^{3-(-1)} = 5^{3+1} = 5^4$.

L'écriture scientifique est une manière d'écrire les nombres très grands ou très petits pour les rendre plus lisibles et faciliter les comparaisons.

• Un nombre est écrit en écriture scientifique s'il est de la forme $a \times 10^n$, où :
  • $a$ est la mantisse : un nombre décimal tel que $1 \le |a| < 10$.
  • $n$ est un entier relatif (l'ordre de grandeur).
• Exemple : La vitesse de la lumière est environ $300\,000\,000$ m/s. En écriture scientifique : $3 \times 10^8$ m/s.
• Exemple : La masse d'un atome d'hydrogène est environ $0,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,00167$ g. En écriture scientifique : $1,67 \times 10^{-24}$ g.

Intérêt de l'écriture scientifique :

• Facilite la lecture.
• Permet de comparer rapidement les ordres de grandeur.
• Simplifie les calculs avec des nombres très grands ou très petits.

Écrire un nombre positif en écriture scientifique :

1. Déplacer la virgule pour que le nombre ait un seul chiffre non nul avant la virgule (ce sera la mantisse).
2. Déterminer l'exposant de 10 : Il correspond au nombre de places dont la virgule a été déplacée.
   • Si la virgule a été déplacée vers la gauche, l'exposant est positif.
   • Si la virgule a été déplacée vers la droite, l'exposant est négatif.

• Exemple : Convertir $123\,400$.

  • Déplacer la virgule : $1,234$.
  • Déplacement de $5$ rangs vers la gauche.
  • Donc $123\,400 = 1,234 \times 10^5$.

• Exemple : Convertir $0,000\,045$.

  • Déplacer la virgule : $4,5$.
  • Déplacement de $5$ rangs vers la droite.
  • Donc $0,000\,045 = 4,5 \times 10^{-5}$.

• La mantisse doit toujours être comprise entre $1$ (inclus) et $10$ (exclus).

Multiplication de nombres en écriture scientifique :

1. Multiplier les mantisses entre elles.
2. Multiplier les puissances de 10 entre elles (en additionnant les exposants).
3. Ajuster le résultat si la nouvelle mantisse n'est pas entre $1$ et $10$.

• Exemple : $(2 \times 10^3) \times (3 \times 10^4)$
  • $(2 \times 3) \times (10^3 \times 10^4) = 6 \times 10^{3+4} = 6 \times 10^7$.

Division de nombres en écriture scientifique :

1. Diviser les mantisses.
2. Diviser les puissances de 10 (en soustrayant les exposants).
3. Ajuster le résultat si nécessaire.

• Exemple : $(8 \times 10^5) \div (2 \times 10^2)$
  • $(8 \div 2) \times (10^5 \div 10^2) = 4 \times 10^{5-2} = 4 \times 10^3$.

Addition et soustraction (même ordre de grandeur) : Pour additionner ou soustraire, les nombres doivent avoir le même exposant de $10$. Si ce n'est pas le cas, on doit ajuster un des nombres.

• Exemple : $(2 \times 10^3) + (3 \times 10^3) = (2+3) \times 10^3 = 5 \times 10^3$.
• Exemple : $(2 \times 10^3) + (4 \times 10^2)$
  • On convertit $4 \times 10^2$ en $0,4 \times 10^3$.
  • $(2 \times 10^3) + (0,4 \times 10^3) = (2+0,4) \times 10^3 = 2,4 \times 10^3$.

L'écriture scientifique est fondamentale en physique-chimie pour exprimer des mesures et des calculs.

• Unités de mesure et préfixes : Les préfixes comme "kilo" ($10^3$), "milli" ($10^{-3}$), "micro" ($10^{-6}$), "nano" ($10^{-9}$), "giga" ($10^9$) sont des puissances de $10$.
  • Exemple : $1$ km $= 1 \times 10^3$ m. $1$ nm $= 1 \times 10^{-9}$ m.

Ordres de grandeur dans l'univers : L'écriture scientifique permet de comparer des échelles très différentes, du microscopique à l'astronomique.

• Diamètre d'un atome : $\approx 10^{-10}$ m.
• Rayon de la Terre : $\approx 6,4 \times 10^6$ m.
• Distance de la Terre à la Lune : $\approx 3,84 \times 10^8$ m.
• Elle rend intelligibles des nombres que l'on aurait du mal à saisir sous leur forme décimale complète.