Nombres relatifs

Un nombre relatif est un nombre qui peut être soit positif (supérieur à zéro), soit négatif (inférieur à zéro). Il est composé d'un signe (+ ou -) et d'une distance à zéro (sa valeur numérique).

• Nombres positifs : Ils sont précédés d'un signe "+" ou n'ont pas de signe du tout (ex: $+5$, $7$). Ils sont supérieurs à 0.
• Nombres négatifs : Ils sont précédés d'un signe "-" (ex: $-3$, $-12,5$). Ils sont inférieurs à 0.
• Zéro : C'est le seul nombre qui est à la fois positif et négatif. Il n'a pas de signe.

• Température : $5^\circ C$ (positif) signifie "5 degrés au-dessus de zéro". $-3^\circ C$ (négatif) signifie "3 degrés en dessous de zéro".
• Altitude : $+8848$ m pour le Mont Everest (8848 m au-dessus du niveau de la mer). $-10994$ m pour la Fosse des Mariannes (10994 m en dessous du niveau de la mer).
• Argent : Avoir $20$ € sur son compte, c'est $+20$. Devoir $15$ € à un ami, c'est $-15$.

Une droite graduée est une ligne sur laquelle chaque point est associé à un nombre.

Pour la construire, il faut :

1. Choisir une origine (le point $0$).
2. Choisir un sens (généralement vers la droite pour les nombres positifs).
3. Choisir une unité de longueur (l'écart entre $0$ et $1$, par exemple).

Sur cette droite :

• Les nombres positifs sont à droite de l'origine.
• Les nombres négatifs sont à gauche de l'origine.

Placer des nombres relatifs : Pour placer le point A d'abscisse $+3$, on compte 3 unités à droite de $0$. Pour placer le point B d'abscisse $-2$, on compte 2 unités à gauche de $0$.

La distance à zéro (ou valeur absolue) d'un nombre relatif est la distance entre ce nombre et $0$ sur la droite graduée. Elle est toujours positive. On la note avec des barres verticales : $|...|$.

• $| +5 | = 5$
• $| -3 | = 3$
• $| 0 | = 0$ La valeur absolue ne tient pas compte du signe.

Comparer des nombres relatifs, c'est dire lequel est le plus grand ou le plus petit.

Règles de comparaison :

1. Nombres positifs : Plus la distance à zéro est grande, plus le nombre est grand. Ex: $7 > 3$.
2. Nombres négatifs : Plus la distance à zéro est grande, plus le nombre est petit. Ex: $-7 < -3$ (Car $-7$ est plus "loin" dans le négatif que $-3$).
3. Un positif et un négatif : Un nombre positif est toujours plus grand qu'un nombre négatif. Ex: $5 > -10$.
4. Par rapport à zéro : Les nombres positifs sont supérieurs à $0$. Les nombres négatifs sont inférieurs à $0$.

Utilisation des symboles :

• $<$ : "est inférieur à"
• $>$ : "est supérieur à"

Sur la droite graduée, $-5$ est plus à gauche que $-2$. Donc, $-5 < -2$.

Ordonner une liste de nombres : Pour ordonner une liste (par exemple, du plus petit au plus grand) :

1. Place d'abord tous les nombres négatifs (le plus "loin" de zéro en premier).
2. Puis $0$.
3. Enfin les nombres positifs (le plus "loin" de zéro en dernier).

Exemple : Ordonner $-4 ; 2 ; -1 ; 0 ; 5$ du plus petit au plus grand. Réponse : $-4 < -1 < 0 < 2 < 5$.

1. Si les deux nombres sont positifs :
   • Le résultat est positif.
   • On additionne leurs distances à zéro.
   • Exemple : $(+3) + (+5) = +8$ (ou $3+5=8$)
2. Si les deux nombres sont négatifs :
   • Le résultat est négatif.
   • On additionne leurs distances à zéro.
   • Exemple : $(-3) + (-5) = -8$
   • Interprétation : Je perds $3$€, puis je perds $5$€. Au total, je perds $8$€.

Sur la droite graduée :

• $(+3) + (+5)$ : Je pars de 0, j'avance de 3, puis j'avance encore de 5. J'arrive à 8.
• $(-3) + (-5)$ : Je pars de 0, je recule de 3, puis je recule encore de 5. J'arrive à -8.

1. Le signe du résultat est celui du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
2. On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.

Exemples :

• $(+7) + (-4)$ :
  • $| +7 | = 7$ et $| -4 | = 4$. C'est $7$ qui est le plus grand. Le signe sera donc $+$.
  • On fait $7 - 4 = 3$.
  • Donc, $(+7) + (-4) = +3$.
• $(-9) + (+2)$ :
  • $| -9 | = 9$ et $| +2 | = 2$. C'est $9$ qui est le plus grand. Le signe sera donc $-$.
  • On fait $9 - 2 = 7$.
  • Donc, $(-9) + (+2) = -7$.

Retiens : quand les signes sont différents, on "compense" ou "soustrait" les valeurs.

Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé. L'opposé d'un nombre est le même nombre avec le signe opposé.

• L'opposé de $+5$ est $-5$.
• L'opposé de $-3$ est $+3$.

Règle : $A - B = A + (\text{opposé de } B)$

Exemples pratiques :

• $(+7) - (+4) = (+7) + (-4) = +3$
• $(+5) - (-3) = (+5) + (+3) = +8$
• $(-6) - (+2) = (-6) + (-2) = -8$
• $(-10) - (-4) = (-10) + (+4) = -6$

Pour simplifier l'écriture et effectuer des calculs en ligne, on peut :

1. Supprimer les parenthèses et les signes d'addition inutiles.
   • $(+5) + (-3)$ devient $5 - 3$.
   • $(-2) + (+7)$ devient $-2 + 7$.
   • $(+4) - (-6)$ devient $4 + 6$.
   • $(-8) - (+1)$ devient $-8 - 1$.
2. Regrouper les termes positifs et les termes négatifs ensemble.

Exemple : $A = 5 - 3 + 7 - 10 + 2$ $A = (5 + 7 + 2) + (-3 - 10)$ (regrouper les positifs et les négatifs) $A = 14 + (-13)$ $A = 14 - 13 = 1$

Priorité des opérations : Les règles vues précédemment (parenthèses, multiplications/divisions avant additions/soustractions) s'appliquent toujours.

La règle des signes est fondamentale pour la multiplication et la division de nombres relatifs.

1. Produit de deux nombres de même signe :

   • $(+) \times (+) = (+)$ : Le produit de deux nombres positifs est positif. Ex: $3 \times 5 = 15$.
   • $(-) \times (-) = (+)$ : Le produit de deux nombres négatifs est positif. Ex: $(-3) \times (-5) = +15$.
   • Retiens : "Moins par moins donne plus !"

2. Produit de deux nombres de signes différents :

   • $(+) \times (-) = (-)$ : Le produit d'un positif et d'un négatif est négatif. Ex: $3 \times (-5) = -15$.
   • $(-) \times (+) = (-)$ : Le produit d'un négatif et d'un positif est négatif. Ex: $(-3) \times 5 = -15$.

Pour calculer un produit :

1. Détermine d'abord le signe du résultat avec la règle des signes.
2. Multiplie ensuite les distances à zéro.

Pour multiplier plus de deux nombres relatifs :

1. Déterminer le signe du produit : Compte le nombre de facteurs négatifs.
   • S'il y a un nombre pair de facteurs négatifs, le produit est positif.
   • S'il y a un nombre impair de facteurs négatifs, le produit est négatif.
2. Calculer la valeur absolue : Multiplie toutes les distances à zéro entre elles.

Exemples complexes :

• $A = (-2) \times 3 \times (-4)$
  • Il y a 2 facteurs négatifs (pair). Le signe sera $+$.
  • $2 \times 3 \times 4 = 24$.
  • Donc, $A = +24$.
• $B = (-1) \times (-5) \times (-2) \times 10$
  • Il y a 3 facteurs négatifs (impair). Le signe sera $-$.
  • $1 \times 5 \times 2 \times 10 = 100$.
  • Donc, $B = -100$.

La règle des signes pour la division est exactement la même que pour la multiplication.

1. Quotient de deux nombres de même signe : Le résultat est positif.

   • $(+) \div (+) = (+)$ Ex: $10 \div 2 = 5$.
   • $(-) \div (-) = (+)$ Ex: $(-10) \div (-2) = +5$.

2. Quotient de deux nombres de signes différents : Le résultat est négatif.

   • $(+) \div (-) = (-)$ Ex: $10 \div (-2) = -5$.
   • $(-) \div (+) = (-)$ Ex: $(-10) \div 2 = -5$.

Pour calculer un quotient :

1. Détermine d'abord le signe du résultat.
2. Divise ensuite les distances à zéro.

Exemples de divisions :

• $(-24) \div 6 = -4$
• $45 \div (-9) = -5$
• $(-30) \div (-5) = +6$
• $100 \div 25 = 4$

Sur une droite graduée, la position d'un point est donnée par un unique nombre relatif appelé son abscisse.

• Si le point A est associé au nombre $-3$, on dit que l'abscisse de A est $-3$, et on note $A(-3)$.
• L'origine $O$ a pour abscisse $0$.

Calcul de distances sur une droite : Pour calculer la distance entre deux points A et B d'abscisses respectives $x_A$ et $x_B$, on utilise la formule : $AB = |x_B - x_A|$ ou $AB = |x_A - x_B|$. C'est la valeur absolue de la différence de leurs abscisses.

Exemple : Soient $A(-2)$ et $B(5)$. $AB = |5 - (-2)| = |5 + 2| = |7| = 7$. Ou $AB = |-2 - 5| = |-7| = 7$. La distance est toujours positive.

Pour se repérer dans un plan, on utilise un repère orthogonal (ou cartésien), composé de deux droites graduées perpendiculaires :

• L'axe des abscisses (horizontal).
• L'axe des ordonnées (vertical).
• Le point d'intersection de ces deux axes est l'origine $O(0;0)$.

Chaque point du plan est repéré par un couple de nombres relatifs appelés coordonnées $(x;y)$ :

• $x$ est l'abscisse du point (lecture sur l'axe horizontal).
• $y$ est l'ordonnée du point (lecture sur l'axe vertical).

Placer des points dans un repère : Pour placer le point $M(3;-2)$ :

1. Je me déplace de $3$ unités sur l'axe des abscisses (vers la droite si positif, vers la gauche si négatif).
2. À partir de là, je me déplace de $-2$ unités sur l'axe des ordonnées (vers le haut si positif, vers le bas si négatif).

Les nombres relatifs aident à comprendre la symétrie.

• Symétrie par rapport à l'origine : Si un point $M(x;y)$ a pour symétrique $M'(x';y')$ par rapport à l'origine $O(0;0)$, alors leurs coordonnées sont opposées : $x' = -x$ et $y' = -y$. Donc $M'(-x;-y)$. Exemple : Le symétrique de $A(2;-3)$ par rapport à l'origine est $A'(-2;3)$.

• Symétrie par rapport à l'axe des abscisses (axe (Ox)) : Si un point $M(x;y)$ a pour symétrique $M'(x';y')$ par rapport à l'axe (Ox), alors : $x' = x$ et $y' = -y$. Donc $M'(x;-y)$. Exemple : Le symétrique de $B(4;1)$ par rapport à l'axe (Ox) est $B'(4;-1)$.

• Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées (axe (Oy)) : Si un point $M(x;y)$ a pour symétrique $M'(x';y')$ par rapport à l'axe (Oy), alors : $x' = -x$ et $y' = y$. Donc $M'(-x;y)$. Exemple : Le symétrique de $C(-5;-2)$ par rapport à l'axe (Oy) est $C'(5;-2)$.

Pour résoudre un problème avec des nombres relatifs :

1. Lire attentivement l'énoncé.
2. Identifier les quantités positives et négatives.
3. Traduire l'énoncé en un calcul avec des nombres relatifs.
4. Effectuer le calcul en respectant les règles d'addition, soustraction, multiplication et division.
5. Vérifier la cohérence du résultat avec la situation.

Exemple : Un sous-marin est à $-150$ mètres. Il descend de $70$ mètres, puis remonte de $30$ mètres. Quelle est sa nouvelle profondeur ? Calcul : $(-150) + (-70) + (+30) = -150 - 70 + 30 = -220 + 30 = -190$. Le sous-marin est à $-190$ mètres.

• Températures et variations :
  • La température est de $-5^\circ C$. Elle augmente de $8^\circ C$. Quelle est la nouvelle température ?
  • Calcul : $-5 + 8 = 3$. La nouvelle température est $3^\circ C$.
• Altitude et profondeur :
  • Un avion vole à $10000$ m d'altitude. Un dauphin nage à $-200$ m. Quelle est la différence d'altitude entre l'avion et le dauphin ?
  • Calcul : $10000 - (-200) = 10000 + 200 = 10200$ m.
• Comptes bancaires :
  • J'ai $120$ € sur mon compte. Je fais un achat de $150$ €. Quel est le solde de mon compte ?
  • Calcul : $120 - 150 = -30$. Mon compte est à découvert de $30$ €.

Les nombres relatifs s'appliquent aussi aux expressions littérales (expressions contenant des lettres).

Substitution de valeurs : Si $A = x - y$, calcule $A$ pour $x = -5$ et $y = 3$. $A = (-5) - (3) = -5 - 3 = -8$.

Si $B = 2x + (-3y)$, calcule $B$ pour $x = 4$ et $y = -2$. $B = 2 \times 4 + (-3) \times (-2)$ $B = 8 + 6$ $B = 14$.

Simplification d'expressions : On peut simplifier des expressions en regroupant les termes de même nature. $C = 3a - 5b + 2a + b$ $C = (3a + 2a) + (-5b + b)$ $C = 5a - 4b$.

Priorités des opérations : Toujours les mêmes règles : parenthèses, multiplications/divisions, puis additions/soustractions. Exemple : $D = (-4) \times (3 - 7) + 10 \div (-2)$ $D = (-4) \times (-4) + (-5)$ $D = 16 - 5$ $D = 11$.