Nombres et calculs

En mathématiques, les nombres sont classés en différentes familles, appelées ensembles de nombres. Imagine des poupées russes, chaque ensemble contient le précédent !

• Nombres entiers naturels ($\mathbb{N}$) : Ce sont les nombres pour compter des objets, des nombres positifs sans virgule. Exemples : $0, 1, 2, 3, 100, ...$

• Nombres entiers relatifs ($\mathbb{Z}$) : Ce sont les nombres entiers naturels, auxquels on ajoute leurs opposés (les nombres négatifs). Ils n'ont pas de virgule. Exemples : $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$

• Nombres décimaux ($\mathbb{D}$) : Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Ils peuvent être positifs ou négatifs. Exemples : $0,5$, $-3,25$, $17,0$, $0,3333$ (non, car il y a une infinité de 3) On peut les écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ où $a$ est un entier relatif et $n$ un entier naturel.

• Nombres rationnels ($\mathbb{Q}$) : Ce sont tous les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction $\frac{a}{b}$, où $a$ est un entier relatif et $b$ un entier relatif non nul. Exemples : $\frac{1}{2}$ ($0,5$), $\frac{-3}{4}$ ($-0,75$), $\frac{1}{3}$ ($0,333...$), $5$ ($\frac{5}{1}$) Tout nombre décimal est un nombre rationnel, mais l'inverse n'est pas toujours vrai !

• Nombres réels ($\mathbb{R}$) : C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utilisons en 3ème. Ils incluent tous les rationnels et les nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction (appelés nombres irrationnels). Exemples : $\pi$ ($3,14159...$), $\sqrt{2}$ ($1,41421...$)

  Relation entre les ensembles : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

• Diviseurs et multiples :

  • Un nombre $a$ est un diviseur d'un nombre $b$ si la division de $b$ par $a$ donne un reste de $0$.
  • Un nombre $b$ est un multiple d'un nombre $a$ si $b = k \times a$ où $k$ est un entier.
  • Exemple : $3$ est un diviseur de $12$, et $12$ est un multiple de $3$ ($12 = 3 \times 4$).

  Critères de divisibilité (très utiles pour simplifier !) :

  • Par $2$ : le nombre se termine par $0, 2, 4, 6, 8$.
  • Par $3$ : la somme de ses chiffres est un multiple de $3$.
  • Par $4$ : le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de $4$.
  • Par $5$ : le nombre se termine par $0$ ou $5$.
  • Par $9$ : la somme de ses chiffres est un multiple de $9$.
  • Par $10$ : le nombre se termine par $0$.

• Nombres premiers : Un nombre premier est un nombre entier naturel qui n'a que deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même. Exemples : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...$ (Attention, $1$ n'est pas premier !)

• Décomposition en facteurs premiers : Tout nombre entier non premier peut s'écrire de manière unique comme un produit de nombres premiers. C'est très utile pour simplifier les fractions ou calculer PGCD/PPCM. Exemple : $60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$.

• PGCD et PPCM :

  • Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux nombres est le plus grand nombre qui divise ces deux nombres.
  • Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de deux nombres est le plus petit multiple commun à ces deux nombres.
  • Pour les trouver, la décomposition en facteurs premiers est la méthode la plus fiable.
  • Exemple avec $12$ et $18$ : $12 = 2^2 \times 3$ $18 = 2 \times 3^2$ PGCD$(12, 18)$ = $2^1 \times 3^1 = 6$ (on prend les facteurs communs avec la plus petite puissance) PPCM$(12, 18)$ = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$ (on prend tous les facteurs avec la plus grande puissance)

Les nombres relatifs sont les nombres positifs et négatifs.

• Addition et soustraction :

  • Pour additionner deux nombres de même signe, on garde le signe et on additionne les distances à zéro. Ex : $(-3) + (-5) = -8$
  • Pour additionner deux nombres de signes différents, on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro, et on soustrait les distances à zéro. Ex : $(-7) + 4 = -3$
  • Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : $a - b = a + (-b)$. Ex : $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$

• Multiplication et division :

  • Règles des signes :
    • $(+) \times (+) = (+)$
    • $(-) \times (-) = (+)$
    • $(+) \times (-) = (-)$
    • $(-) \times (+) = (-)$
  • Ces règles s'appliquent aussi pour la division.
  • Ex : $(-4) \times (-5) = 20$ ; $15 \div (-3) = -5$

• Priorités opératoires : Il est crucial de respecter l'ordre des opérations !

  1. Parenthèses (et crochets)
  2. Puissances et racines carrées
  3. Multiplications et Divisions (de gauche à droite)
  4. Additions et Soustractions (de gauche à droite) Moyen mnémotechnique : PEMDAS (ou Parenthèses, Exposants, Multiplications, Divisions, Additions, Soustraction).

  Exemple : $5 + 2 \times (7 - 4)^2$ $= 5 + 2 \times (3)^2$ (parenthèse) $= 5 + 2 \times 9$ (puissance) $= 5 + 18$ (multiplication) $= 23$ (addition)

• Fraction irréductible : Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autre diviseur commun que $1$. Pour la rendre irréductible, divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Exemple : $\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$.

• Mise au même dénominateur : Pour comparer ou additionner des fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur. On cherche un multiple commun aux dénominateurs (souvent le PPCM). Exemple : Comparer $\frac{3}{4}$ et $\frac{5}{6}$. PPCM$(4, 6) = 12$. $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$ $\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$ Comme $9 < 10$, alors $\frac{9}{12} < \frac{10}{12}$, donc $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$.

• Représentation sur une droite graduée : Chaque fraction peut être placée sur une droite numérique. C'est une bonne manière de visualiser leur ordre.

• Addition et soustraction de fractions :

  1. Mettre les fractions au même dénominateur.
  2. Additionner (ou soustraire) les numérateurs en gardant le dénominateur commun.
  3. Simplifier le résultat si possible. Exemple : $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$.

• Multiplication de fractions :

  1. Multiplier les numérateurs entre eux.
  2. Multiplier les dénominateurs entre eux.
  3. Simplifier le résultat si possible (on peut simplifier avant de multiplier pour faciliter le calcul). Exemple : $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$. Exemple avec simplification : $\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{3 \times (4 \times 2)}{4 \times (3 \times 3)} = \frac{2}{3}$.

• Division de fractions : Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. L'inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$. Exemple : $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

• Calculs avec des expressions fractionnaires : Respecte toujours les priorités opératoires !

• Prendre une fraction d'une quantité : Pour calculer $\frac{a}{b}$ d'une quantité $C$, on multiplie $\frac{a}{b} \times C$. Exemple : Les $\frac{2}{3}$ de $150$ € sont $\frac{2}{3} \times 150 = \frac{300}{3} = 100$ €.

• Calculer une proportion : Si tu as une partie et un tout, la proportion est $\frac{\text{partie}}{\text{tout}}$. Exemple : Dans une classe de $25$ élèves, $10$ sont des filles. La proportion de filles est $\frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.

• Pourcentages et fractions : Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est $100$. Exemple : $25\%$ peut s'écrire $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$. Calculer $20\%$ de $80$ revient à faire $\frac{20}{100} \times 80 = 0,20 \times 80 = 16$.

• Définition d'une puissance : $a^n$ (lire "$a$ puissance $n$") est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$. $a^n = a \times a \times ... \times a$ ($n$ fois) $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$), $a^1 = a$. $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (pour $a \neq 0$). Exemples : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$. $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

• Puissances de 10 : Très utiles pour l'écriture scientifique. $10^n = 1 \underbrace{00...0}_{n \text{ zéros}}$. Ex : $10^3 = 1000$. $10^{-n} = \underbrace{0,0...0}_{n \text{ zéros}}1$. Ex : $10^{-2} = 0,01$.

• Règles de calcul sur les puissances (à connaître par cœur !) :

  • $a^m \times a^n = a^{m+n}$ (Ex : $2^3 \times 2^4 = 2^7$)
  • $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (Ex : $\frac{5^6}{5^2} = 5^4$)
  • $(a^m)^n = a^{m \times n}$ (Ex : $(3^2)^3 = 3^6$)
  • $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ (Ex : $(2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3$)
  • $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (Ex : $(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2}$)

• Écriture scientifique : Un nombre est en écriture scientifique s'il est de la forme $a \times 10^n$, où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \le |a| < 10$, et $n$ est un entier relatif. Exemple : $12300 = 1,23 \times 10^4$. $0,00045 = 4,5 \times 10^{-4}$.

• Définition d'une racine carrée : La racine carrée d'un nombre positif $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif dont le carré est $a$. Autrement dit, $(\sqrt{a})^2 = a$. Exemple : $\sqrt{25} = 5$ car $5^2 = 25$. $\sqrt{0} = 0$. On ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif !

• Valeur exacte et valeur approchée :

  • $\sqrt{9} = 3$ est une valeur exacte.
  • $\sqrt{2} \approx 1,414$ est une valeur approchée (les calculatrices donnent souvent des valeurs approchées pour les racines non exactes).

• Simplification de racines carrées : On cherche à écrire $\sqrt{a}$ sous la forme $b\sqrt{c}$ où $c$ est le plus petit entier possible. Pour cela, on décompose $a$ en facteurs, en cherchant les carrés parfaits. Exemple : $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

• Opérations avec les racines carrées :

  • $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ (pour $a \ge 0, b \ge 0$)
  • $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (pour $a \ge 0, b > 0$)
  • Attention : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ et $\sqrt{a-b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b}$
  • Pour additionner ou soustraire des racines, elles doivent avoir le même "radical" (le nombre sous la racine). C'est comme réduire des termes semblables. Exemple : $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. $\sqrt{18} + \sqrt{8} = \sqrt{9 \times 2} + \sqrt{4 \times 2} = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

• Priorités opératoires : Toujours les respecter ! Les puissances et racines ont la même priorité, avant les multiplications/divisions. Exemple : $3 \times \sqrt{4} + 2^3 = 3 \times 2 + 8 = 6 + 8 = 14$.

• Utilisation de la calculatrice : Entraîne-toi à utiliser les fonctions puissance ($x^y$ ou $\wedge$) et racine carrée ($\sqrt{x}$) de ta calculatrice.

• Expression littérale : Une expression qui contient au moins une lettre. Exemple : $3x + 5y - 2$.

• Distributivité simple et double :

  • Simple : $k(a+b) = ka + kb$ Exemple : $3(x+2) = 3x + 6$.
  • Double : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ Exemple : $(x+3)(y+5) = xy + 5x + 3y + 15$.
  • Développer signifie transformer un produit en une somme (ou une différence).

• Réduction de termes semblables : Regrouper les termes qui ont la même partie littérale et la même puissance. Exemple : $5x + 3 - 2x + 7 = (5-2)x + (3+7) = 3x + 10$.

• Substitution et calcul de valeur : Remplacer les lettres par des nombres pour calculer la valeur numérique d'une expression. Exemple : Si $x=2$ dans $3x+5$, alors $3(2)+5 = 6+5 = 11$.

Ce sont trois formules de développement et de factorisation à connaître par cœur, car elles accélèrent énormément les calculs !

1. Carré d'une somme : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ Exemple : $(x+3)^2 = x^2 + 2(x)(3) + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.

2. Carré d'une différence : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ Exemple : $(2x-5)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(5) + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25$.

3. Produit d'une somme par une différence : $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ Exemple : $(y-7)(y+7) = y^2 - 7^2 = y^2 - 49$. Ces identités sont fondamentales pour le développement et la factorisation.

• Application au calcul mental : Exemple : $101^2 = (100+1)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$. Exemple : $49 \times 51 = (50-1)(50+1) = 50^2 - 1^2 = 2500 - 1 = 2499$.

• Factoriser signifie transformer une somme (ou une différence) en un produit. C'est l'inverse du développement.

• Facteur commun : La méthode la plus simple. On cherche un terme (nombre ou expression littérale) qui apparaît dans tous les termes de la somme. Exemple : $3x + 6 = 3(x+2)$. Exemple : $x^2 + 5x = x(x+5)$. Exemple : $(x+1)(x+2) + (x+1)(x+3) = (x+1)[(x+2)+(x+3)] = (x+1)(2x+5)$.

• Utilisation des identités remarquables : Si tu reconnais une forme $a^2+2ab+b^2$, $a^2-2ab+b^2$ ou $a^2-b^2$, tu peux factoriser. Exemple : $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$. Exemple : $4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x-3)(2x+3)$. La factorisation est essentielle pour résoudre des équations plus tard.

• Définition d'une équation : Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues (souvent notées $x$). Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.

• Méthodes de résolution : L'objectif est d'isoler l'inconnue.

  • On peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres de l'équation.
  • On peut multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre non nul. Exemple : $x + 5 = 12 \implies x = 12 - 5 \implies x = 7$. Exemple : $3x = 15 \implies x = \frac{15}{3} \implies x = 5$. Exemple : $2x - 7 = 3x + 1 \implies 2x - 3x = 1 + 7 \implies -x = 8 \implies x = -8$.

• Équations avec parenthèses et fractions :

  • Développer les parenthèses en premier.
  • Si des fractions sont présentes, on peut mettre au même dénominateur l'ensemble de l'équation puis "supprimer" les dénominateurs, ou multiplier chaque terme par le PPCM des dénominateurs. Exemple : $\frac{x}{2} + 1 = \frac{3}{4} \implies \frac{2x}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4} \implies 2x + 4 = 3 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$.

• Vérification des solutions : Toujours remplacer l'inconnue par la solution trouvée dans l'équation de départ pour vérifier que l'égalité est bien respectée.

1. Choix de l'inconnue : Définir clairement ce que représente $x$.
2. Mise en équation : Traduire l'énoncé du problème en une équation mathématique.
3. Résolution de l'équation.
4. Vérification : La solution de l'équation a-t-elle un sens dans le contexte du problème ?
5. Phrase réponse : Répondre clairement à la question posée par l'énoncé.

• Problèmes de géométrie : Utilisation de formules de périmètre, aire, volume.
• Problèmes de pourcentages : Traduire les pourcentages en fractions ou nombres décimaux.

• Définition d'une inéquation : Une inéquation est une inégalité qui contient une ou plusieurs inconnues. On remplace le signe $=$ par $<, >, \le$ ou $\ge$.

• Règles de résolution : Elles sont similaires aux équations, avec une différence cruciale :

  • On peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres.
  • On peut multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre positif.
  • Si l'on multiplie ou divise par un nombre négatif, on DOIT changer le sens de l'inégalité. Exemple : $x + 3 < 7 \implies x < 4$. Exemple : $-2x \le 6 \implies x \ge \frac{6}{-2} \implies x \ge -3$ (on a changé le sens de l'inégalité !).

• Représentation des solutions sur une droite : Les solutions d'une inéquation sont souvent un intervalle de nombres. On les représente sur une droite numérique.

  • $x > a$ : partie de la droite à droite de $a$, $a$ exclu (crochet tourné vers l'extérieur).
  • $x \le b$ : partie de la droite à gauche de $b$, $b$ inclus (crochet tourné vers l'intérieur).

• Inéquations simples : Entraîne-toi avec des inéquations du premier degré pour bien maîtriser le changement de sens.