La trigonometrie dans le triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (un angle de 90°). C'est la base de toute la trigonométrie que nous allons étudier.

Voici les éléments clés d'un triangle rectangle :

• Angle droit : L'angle qui mesure 90°.
• Hypoténuse : C'est le côté le plus long du triangle rectangle. Il est toujours opposé à l'angle droit.
• Côtés de l'angle droit (ou cathètes) : Ce sont les deux autres côtés du triangle.

Par exemple, dans le triangle ABC, si l'angle en A est droit :

• Le côté [BC] est l'hypoténuse.
• Les côtés [AB] et [AC] sont les côtés de l'angle droit.

Pour appliquer la trigonométrie, il est essentiel de bien identifier les côtés du triangle rectangle par rapport à un angle aigu donné (un angle inférieur à 90°).

Prenons un angle aigu $\alpha$ dans un triangle rectangle :

• Le côté opposé à l'angle $\alpha$ est le côté qui ne touche pas l'angle $\alpha$.
• Le côté adjacent à l'angle $\alpha$ est le côté qui touche l'angle $\alpha$, mais qui n'est pas l'hypoténuse.
• L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit. Elle ne change jamais de nom, quel que soit l'angle aigu que l'on considère.

Exemple : Dans un triangle ABC rectangle en A :

• Pour l'angle $\widehat{B}$ :
  • Côté opposé : [AC]
  • Côté adjacent : [AB]
  • Hypoténuse : [BC]
• Pour l'angle $\widehat{C}$ :
  • Côté opposé : [AB]
  • Côté adjacent : [AC]
  • Hypoténuse : [BC]

La somme des angles dans n'importe quel triangle est toujours égale à 180°. Dans un triangle rectangle, un angle mesure déjà 90°. Donc, la somme des deux autres angles (les angles aigus) doit être $180° - 90° = 90°$.

Deux angles dont la somme est 90° sont dits complémentaires. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont toujours complémentaires. Si un angle aigu mesure $x$, l'autre angle aigu mesurera $90° - x$.

Le cosinus d'un angle aigu (noté $\cos$) est le rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et la longueur de l'hypoténuse.

$\cos(\text{angle}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$

• Le cosinus est toujours un nombre compris entre 0 et 1 (car le côté adjacent est toujours plus petit que l'hypoténuse).
• Il n'a pas d'unité.

Le sinus d'un angle aigu (noté $\sin$) est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur de l'hypoténuse.

$\sin(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$

• Le sinus est toujours un nombre compris entre 0 et 1 (car le côté opposé est toujours plus petit que l'hypoténuse).
• Il n'a pas d'unité.

La tangente d'un angle aigu (notée $\tan$) est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur du côté adjacent à cet angle.

$\tan(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

• La tangente peut prendre n'importe quelle valeur positive.
• Elle n'a pas d'unité.

Pour se souvenir facilement des définitions des rapports trigonométriques, il existe un moyen mnémotechnique très utile : SOH CAH TOA.

• SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse
• CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
• TOA : Tangente = Opposé / Adjacent

Ce moyen mnémotechnique est très efficace pour identifier rapidement la formule à utiliser.

1. Identifier le triangle rectangle et l'angle aigu connu.
2. Repérer les côtés connus et inconnus par rapport à cet angle (opposé, adjacent, hypoténuse).
3. Choisir le rapport trigonométrique (sin, cos ou tan) qui utilise les côtés repérés (en utilisant SOH CAH TOA).
4. Écrire l'équation et la résoudre pour trouver la longueur inconnue.

Exemple : Soit un triangle ABC rectangle en B. L'angle $\widehat{C} = 30°$ et l'hypoténuse AC = 10 cm. Calculer AB.

• Pour l'angle $\widehat{C}$, AB est le côté opposé et AC est l'hypoténuse.
• On utilise le sinus (SOH).
• $\sin(\widehat{C}) = \frac{AB}{AC}$
• $\sin(30°) = \frac{AB}{10}$
• $AB = 10 \times \sin(30°)$

Pour calculer les valeurs de $\sin$, $\cos$ ou $\tan$ d'un angle, il faut utiliser une calculatrice scientifique. CRITICAL : Assurez-vous que votre calculatrice est en mode degrés (DEG). C'est essentiel pour obtenir les bons résultats.

• Pour $\sin(30°)$, tapez sin(30) ou 30 sin selon le modèle de votre calculatrice.
• Les résultats sont souvent des nombres décimaux qu'il faudra arrondir selon la précision demandée.

Exemple précédent : $AB = 10 \times \sin(30°) = 10 \times 0,5 = 5$ cm.

La trigonométrie est très utile dans la vie courante pour :

• Calculer la hauteur d'un arbre ou d'un bâtiment.
• Déterminer la longueur d'une rampe d'accès.
• Calculer des distances inaccessibles.

Exercice : Un observateur se trouve à 50 mètres d'un immeuble. Il voit le sommet de l'immeuble sous un angle de 25° par rapport à l'horizontale. Quelle est la hauteur de l'immeuble ?

• On a le côté adjacent (50 m) et l'angle (25°). On cherche le côté opposé (hauteur).
• On utilise la tangente (TOA).
• $\tan(25°) = \frac{\text{hauteur}}{50}$
• Hauteur = $50 \times \tan(25°)$. Avec la calculatrice, hauteur $\approx 50 \times 0,466 \approx 23,3$ mètres.

1. Identifier le triangle rectangle.
2. Repérer les deux côtés connus par rapport à l'angle inconnu que l'on cherche (opposé, adjacent, hypoténuse).
3. Choisir le rapport trigonométrique (sin, cos ou tan) qui utilise ces deux côtés.
4. Écrire l'équation.
5. Utiliser la fonction réciproque correspondante pour trouver l'angle.

Les fonctions réciproques sont :

• $\arccos$ (ou $\cos^{-1}$) pour le cosinus.
• $\arcsin$ (ou $\sin^{-1}$) pour le sinus.
• $\arctan$ (ou $\tan^{-1}$) pour la tangente.

Exemple : Dans un triangle DEF rectangle en E, DE = 4 cm et DF = 8 cm. Calculer l'angle $\widehat{F}$.

• Pour l'angle $\widehat{F}$, DE est le côté opposé et DF est l'hypoténuse.
• On utilise le sinus (SOH).
• $\sin(\widehat{F}) = \frac{DE}{DF} = \frac{4}{8} = 0,5$
• $\widehat{F} = \arcsin(0,5)$

Pour trouver un angle à partir de son sinus, cosinus ou tangente, il faut utiliser les fonctions réciproques (souvent indiquées par $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$ ou Asin, Acos, Atan sur votre calculatrice). CRITICAL : Votre calculatrice doit toujours être en mode degrés (DEG).

• Pour $\arcsin(0,5)$, tapez 2nde sin (0.5) ou shift sin (0.5).
• Le résultat est directement la mesure de l'angle en degrés.

Exemple précédent : $\widehat{F} = \arcsin(0,5) = 30°$.

Calculer des angles est utile pour :

• Déterminer la pente d'une route ou d'un toit.
• Trouver l'angle d'une échelle appuyée contre un mur.

Exercice : Une échelle de 6 mètres est appuyée contre un mur. Le pied de l'échelle est à 2 mètres du mur. Quel est l'angle que fait l'échelle avec le sol ?

• On a l'hypoténuse (6 m) et le côté adjacent à l'angle cherché (2 m).
• On utilise le cosinus (CAH).
• $\cos(\text{angle}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,333$
• Angle = $\arccos(1/3)$. Avec la calculatrice, angle $\approx 70,5°$.

Pour tout angle aigu $x$, la relation fondamentale est : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ Cela signifie que le carré du cosinus de l'angle, ajouté au carré du sinus du même angle, est toujours égal à 1. Cette relation est une conséquence directe du théorème de Pythagore appliqué aux rapports trigonométriques. Elle est très utile pour trouver l'un des rapports si l'on connaît l'autre. Par exemple, si $\sin(x) = 0,6$, alors $\cos^2(x) + (0,6)^2 = 1 \implies \cos^2(x) + 0,36 = 1 \implies \cos^2(x) = 0,64 \implies \cos(x) = \sqrt{0,64} = 0,8$.

Pour tout angle aigu $x$, la tangente peut être exprimée en fonction du sinus et du cosinus : $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ Cette relation découle directement des définitions des rapports : $\tan(x) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$ $\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\text{côté opposé / hypoténuse}}{\text{côté adjacent / hypoténuse}} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$ Cette relation est très pratique pour calculer la tangente si l'on connaît le sinus et le cosinus, ou pour simplifier des expressions trigonométriques.

Si $x$ est un angle aigu, alors son angle complémentaire est $(90° - x)$. Il existe des relations entre les rapports trigonométriques de ces deux angles :

• $==\cos(90° - x) = \sin(x)==$
• $==\sin(90° - x) = \cos(x)==$
• $==\tan(90° - x) = \frac{1}{\tan(x)}==$ (ou $\cot(x)$ pour cotangente)

Ces relations montrent que le cosinus d'un angle est égal au sinus de son complémentaire, et vice-versa. Par exemple, $\cos(60°) = \sin(30°)$ et $\sin(60°) = \cos(30°)$.