Le cosinus

Un triangle rectangle est un type de triangle très spécial. Sa particularité principale est de posséder un angle droit, c'est-à-dire un angle de 90°. C'est la base de nombreuses notions en géométrie !

Dans un triangle rectangle, les côtés ont des noms spécifiques :

• L'hypoténuse : C'est le côté le plus long du triangle et il est toujours opposé à l'angle droit. C'est le côté "en face" de l'angle droit.
• Les côtés de l'angle droit : Ce sont les deux autres côtés qui forment l'angle droit. Pour un angle aigu donné, on les nomme différemment :
  • Le côté adjacent : C'est le côté qui touche l'angle aigu considéré, mais ce n'est pas l'hypoténuse. Il est "à côté" de l'angle.
  • Le côté opposé : C'est le côté qui est "en face" de l'angle aigu considéré.

Soit un triangle ABC rectangle en A.

• L'hypoténuse est le côté [BC].
• Pour l'angle $\widehat{ABC}$ (en B) :
  • Le côté adjacent est [AB].
  • Le côté opposé est [AC].
• Pour l'angle $\widehat{ACB}$ (en C) :
  • Le côté adjacent est [AC].
  • Le côté opposé est [AB].

Le cosinus est un outil mathématique qui permet de faire le lien entre les angles et les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Il s'applique uniquement aux angles aigus (angles de moins de 90°) d'un triangle rectangle.

Le cosinus d'un angle aigu est défini comme un rapport de longueurs. C'est le rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et la longueur de l'hypoténuse. Ce rapport est toujours le même pour un angle donné, peu importe la taille du triangle rectangle ! C'est ce qui le rend si utile.

Pour bien comprendre et utiliser le cosinus, voici le vocabulaire essentiel :

• Angle aigu : Un angle dont la mesure est strictement inférieure à 90°.
• Côté adjacent : Le côté qui "touche" l'angle aigu, mais qui n'est pas l'hypoténuse.
• Hypoténuse : Le côté le plus long, opposé à l'angle droit.

La notation standard pour le cosinus d'un angle est cos(angle). Par exemple, si l'angle s'appelle $\alpha$ (alpha), on écrira $\cos(\alpha)$.

La formule fondamentale à connaître pour le cosinus est :

$\text{cos(angle aigu)} = \frac{\text{Côté adjacent à l'angle}}{\text{Hypoténuse}}$

Un bon moyen mnémotechnique pour s'en souvenir est "CAH" : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse.

Comment l'utiliser ?

1. Identifiez l'angle aigu qui vous intéresse.
2. Identifiez le côté adjacent à cet angle.
3. Identifiez l'hypoténuse.
4. Divisez la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse.

Le résultat sera toujours un nombre compris entre 0 et 1 (inclus).

Votre calculatrice est indispensable pour travailler avec le cosinus.

1. Mode Degrés (DEG) : Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "Degrés" (souvent indiqué par "DEG" ou "D" sur l'écran). C'est crucial car il existe d'autres modes (radians, grades) qui donneraient des résultats erronés pour la géométrie que nous étudions.
2. Touche cos : Cherchez la touche marquée "cos" sur votre calculatrice.
3. Calcul du cosinus d'un angle : Pour trouver le cosinus de 30°, tapez cos(30) et appuyez sur =. Vous devriez obtenir environ 0,866.
4. Arrondir un résultat : Les cosinus sont souvent des nombres décimaux longs. Il est important d'arrondir le résultat à la précision demandée (par exemple, au centième, au millième).

Soit un triangle DEF rectangle en E. Si DE = 4 cm et DF = 5 cm. Calculons $\cos(\widehat{DFE})$.

• Angle aigu : $\widehat{DFE}$
• Côté adjacent à $\widehat{DFE}$ : [EF] (on ne le connaît pas directement, il faut utiliser Pythagore si besoin, ou plutôt calculer $\cos(\widehat{EDF})$ ici pour l'exemple)

Calculons plutôt $\cos(\widehat{EDF})$ :

• Angle aigu : $\widehat{EDF}$
• Côté adjacent à $\widehat{EDF}$ : [DE] = 4 cm
• Hypoténuse : [DF] = 5 cm $\cos(\widehat{EDF}) = \frac{DE}{DF} = \frac{4}{5} = 0,8$ Avec la calculatrice, cela correspond à un angle d'environ 36,87°.

Si vous connaissez un angle aigu et la longueur du côté adjacent à cet angle, vous pouvez trouver l'hypoténuse. À partir de la formule $\cos(\text{angle}) = \frac{\text{Côté adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$, on peut réarranger pour trouver l'hypoténuse :

$\text{Hypoténuse} = \frac{\text{Côté adjacent}}{\text{cos(angle)}}$

$HI = \frac{GH}{\cos(\widehat{G})} = \frac{6}{\cos(30^\circ)}$ $HI \approx \frac{6}{0,866} \approx 6,93 \text{ cm}$

Si vous connaissez l'hypoténuse et un angle aigu, vous pouvez trouver la longueur du côté adjacent à cet angle. En réarrangeant la formule :

$\text{Côté adjacent} = \text{Hypoténuse} \times \text{cos(angle)}$

Calculons le côté adjacent JK. $JK = JL \times \cos(\widehat{J}) = 10 \times \cos(60^\circ)$ $JK = 10 \times 0,5 = 5 \text{ cm}$

Pour résoudre un problème de calcul de longueur avec le cosinus :

1. Dessinez la figure (même un croquis) et nommez les sommets et les côtés.
2. Identifiez le triangle rectangle : C'est la condition essentielle.
3. Identifiez l'angle connu et le côté connu (hypoténuse ou côté adjacent).
4. Identifiez le côté inconnu que vous cherchez (hypoténuse ou côté adjacent).
5. Écrivez la formule du cosinus : $\cos(\text{angle}) = \frac{\text{Côté adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$.
6. Remplacez les valeurs connues et résolvez l'équation pour trouver la longueur inconnue.
7. N'oubliez pas d'indiquer l'unité et d'arrondir si nécessaire.

Parfois, on connaît les longueurs des côtés et on veut trouver la mesure de l'angle. Pour cela, on utilise la fonction réciproque du cosinus, appelée arc cosinus ou cos⁻¹.

Sur votre calculatrice, cette fonction est souvent accessible en appuyant sur "SHIFT" ou "2nde" puis sur la touche "cos". Elle est notée $\cos^{-1}$ ou "acos".

Elle permet de "remonter" de la valeur du cosinus à la mesure de l'angle. Si $\cos(\text{angle}) = x$, alors $\text{angle} = \cos^{-1}(x)$.

1. Calculer le rapport : Identifiez l'angle dont vous voulez connaître la mesure. Calculez le rapport $\frac{\text{Côté adjacent à l'angle}}{\text{Hypoténuse}}$.
2. Appliquer la fonction cos⁻¹ : Utilisez la touche $\cos^{-1}$ de votre calculatrice sur le rapport que vous venez de calculer.
3. Arrondir l'angle : Arrondissez l'angle au degré près ou à la précision demandée.

Calculons l'angle $\widehat{MOM}$.

• Côté adjacent à $\widehat{MOM}$ : [MN] = 3 cm
• Hypoténuse : [MO] = 6 cm $\cos(\widehat{MOM}) = \frac{MN}{MO} = \frac{3}{6} = 0,5$ Maintenant, pour trouver l'angle : $\widehat{MOM} = \cos^{-1}(0,5)$ Avec la calculatrice, $\widehat{MOM} = 60^\circ$.

Le calcul d'angle est utile pour :

• Déterminer des angles manquants dans des figures géométriques.
• Résoudre des problèmes concrets où l'on connaît des distances et où l'on cherche une inclinaison ou un angle de vue.
• Vérifier la cohérence d'une construction ou d'un dessin.

Certains angles ont des cosinus "remarquables" qu'il peut être utile de connaître :

On observe que plus l'angle aigu augmente, plus son cosinus diminue. Le cosinus est maximum (1) pour un angle de 0° (le côté adjacent et l'hypoténuse se superposent) et minimum (0) pour un angle de 90° (le côté adjacent "disparaît" par rapport à l'hypoténuse).

Le cosinus et le théorème de Pythagore sont deux outils fondamentaux pour les triangles rectangles. Ils sont complémentaires :

• Le théorème de Pythagore relie les longueurs des trois côtés d'un triangle rectangle ($a^2 + b^2 = c^2$).
• Le cosinus relie un angle aigu et deux longueurs (côté adjacent et hypoténuse).

Ils peuvent être utilisés ensemble pour résoudre des problèmes plus complexes où vous pourriez avoir besoin de trouver une longueur avec le cosinus, puis une autre avec Pythagore, ou inversement.

Le cosinus a de nombreuses applications pratiques dans la vie quotidienne et dans divers domaines professionnels :

• Architecture et ingénierie : Calculer la pente d'un toit, la longueur d'une rampe, la hauteur d'un mur avec un angle d'inclinaison.
• Géographie et topographie : Mesurer des distances inaccessibles (largeur d'une rivière), déterminer des altitudes.
• Navigation : Calculer des distances ou des caps.
• Physique : Décomposer des forces en composantes, notamment avec les vecteurs.

Par exemple, pour calculer la hauteur d'un arbre sans le couper, on peut mesurer la distance horizontale à l'arbre et l'angle d'élévation de son sommet, puis utiliser le cosinus (ou la tangente/sinus qui sont d'autres rapports trigonométriques) pour trouver la hauteur.