Angles et triangles

Un angle est une figure géométrique formée par deux demi-droites ayant la même origine.

• L'origine commune s'appelle le sommet de l'angle.
• Les deux demi-droites sont les côtés de l'angle.

Pour nommer un angle, on utilise généralement trois lettres : la lettre du milieu représente le sommet, et les deux autres lettres désignent un point sur chaque côté. On peut aussi le nommer par son sommet seul si aucune ambiguïté n'est possible, ou par une lettre minuscule.

• Notation : L'angle dont le sommet est A et les côtés passent par B et C peut se noter $\widehat{BAC}$ ou $\widehat{CAB}$. Si son sommet est A et qu'il n'y a pas d'ambiguïté, on peut aussi le noter $\widehat{A}$.
• Exemple : Dans l'angle $\widehat{BAC}$, A est le sommet, et [AB) et [AC) sont les côtés.

L'unité de mesure principale pour les angles est le degré (°).

• Un cercle complet mesure 360°.
• On utilise un instrument appelé rapporteur pour mesurer ou tracer des angles avec précision.
• Estimer la mesure d'un angle est une compétence utile :
  • Un angle droit ressemble à un coin de feuille.
  • Un angle aigu est "plus fermé" qu'un angle droit.
  • Un angle obtus est "plus ouvert" qu'un angle droit.

Il existe plusieurs types d'angles, classés selon leur mesure :

• Angle aigu : Sa mesure est comprise entre 0° et 90° (ex: 30°, 75°).
• Angle droit : Sa mesure est exactement 90°. On le symbolise par un petit carré à son sommet.
• Angle obtus : Sa mesure est comprise entre 90° et 180° (ex: 110°, 160°).
• Angle plat : Sa mesure est exactement 180°. Ses côtés forment une ligne droite.
• Angle plein : Sa mesure est exactement 360°. Il correspond à un tour complet.

• Angles adjacents : Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun, et sont situés de part et d'autre de ce côté commun.

  • Exemple : $\widehat{AOB}$ et $\widehat{BOC}$ sont adjacents si [OB) est leur côté commun.

• Angles complémentaires : Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90°.

  • Exemple : Un angle de 30° et un angle de 60° sont complémentaires car $30° + 60° = 90°$.

• Angles supplémentaires : Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180°.

  • Exemple : Un angle de 70° et un angle de 110° sont supplémentaires car $70° + 110° = 180°$. Les angles supplémentaires forment souvent un angle plat.

Quand deux droites se coupent, elles forment quatre angles. Deux angles sont dits opposés par le sommet s'ils ont le même sommet et si leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre.

• Propriété fondamentale : Deux angles opposés par le sommet ont toujours la même mesure.
  • Si $\widehat{AOC}$ et $\widehat{BOD}$ sont opposés par le sommet, alors $\widehat{AOC} = \widehat{BOD}$.

Ces types d'angles apparaissent lorsque deux droites sont coupées par une troisième droite, appelée sécante.

• Angles alternes-internes : Ils sont situés de part et d'autre de la sécante et entre les deux droites.

  • Propriété : Si les deux droites coupées par la sécante sont parallèles, alors les angles alternes-internes ont la même mesure.

• Angles correspondants : Ils sont situés du même côté de la sécante, l'un à l'intérieur des deux droites, l'autre à l'extérieur.

  • Propriété : Si les deux droites coupées par la sécante sont parallèles, alors les angles correspondants ont la même mesure.

• Identification sur une figure : Imagine un "Z" pour les alternes-internes et un "F" pour les correspondants lorsque les droites sont parallèles.

Un triangle est un polygone à trois côtés. C'est la figure plane la plus simple.

• Il possède trois sommets (généralement notés A, B, C).
• Il possède trois côtés (segments [AB], [BC], [CA]).
• Il possède trois angles intérieurs ($\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ ou $\widehat{CAB}$, $\widehat{ABC}$, $\widehat{BCA}$).

Les triangles sont classés en fonction de la longueur de leurs côtés :

• Triangle quelconque : Tous ses côtés ont des longueurs différentes. Tous ses angles ont des mesures différentes.
• Triangle isocèle : Il a au moins deux côtés de même longueur.
  • Le sommet opposé au côté de longueur différente est appelé le sommet principal.
  • Les deux angles à la base (opposés aux côtés égaux) sont égaux.
• Triangle équilatéral : Tous ses trois côtés ont la même longueur.
  • Il a aussi ses trois angles égaux.

Les triangles sont aussi classés en fonction de la mesure de leurs angles :

• Triangle rectangle : Il possède un angle droit (90°).
  • Le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse (c'est le plus long côté).
  • Les deux autres côtés sont les cathètes.
• Triangle acutangle : Tous ses angles sont aigus (mesure inférieure à 90°).
• Triangle obtusangle : Il possède un angle obtus (mesure supérieure à 90°).

C'est une propriété fondamentale et très importante :

• Règle : La somme des mesures des trois angles intérieurs d'un triangle est toujours égale à 180°.
  • Pour un triangle ABC, on a toujours $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$.
• Démonstration intuitive : Imagine que tu "arraches" les trois angles d'un triangle et que tu les places côte à côte. Ils formeront un angle plat, c'est-à-dire 180°.
• Calcul d'un angle manquant : Si tu connais la mesure de deux angles d'un triangle, tu peux facilement trouver la mesure du troisième en utilisant cette propriété.
  • Exemple : Si $\widehat{A} = 50°$ et $\widehat{B} = 70°$, alors $\widehat{C} = 180° - (50° + 70°) = 180° - 120° = 60°$.

Ces propriétés découlent de la somme des angles et des définitions :

• Triangle isocèle : Si un triangle est isocèle en A (AB = AC), alors les angles à sa base, $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$, sont égaux.
  • Si $\widehat{A} = 40°$, alors $\widehat{B} = \widehat{C} = (180° - 40°) / 2 = 140° / 2 = 70°$.
• Triangle équilatéral : Puisque ses trois côtés sont égaux, ses trois angles sont aussi égaux.
  • Chaque angle d'un triangle équilatéral mesure donc $180° / 3 = 60°$.
• Utilisation des propriétés : Ces propriétés sont très utiles pour résoudre des problèmes de géométrie, trouver des mesures d'angles inconnues ou prouver qu'un triangle est d'un certain type.

Pour construire un triangle, tu as besoin de certaines informations :

• Construction à partir de 3 côtés (CCC) :
  1. Trace le plus grand côté.
  2. Avec le compas, trace un arc de cercle depuis une extrémité du segment (rayon = 2ème côté).
  3. Trace un autre arc de cercle depuis l'autre extrémité (rayon = 3ème côté).
  4. Le point d'intersection des arcs est le troisième sommet.
• Construction à partir de 2 côtés et 1 angle (CAC) : L'angle doit être compris entre les deux côtés.
  1. Trace un des côtés.
  2. Au sommet où l'angle est connu, trace cet angle avec le rapporteur.
  3. Reporte la longueur du deuxième côté sur la demi-droite formant l'angle.
  4. Relie les extrémités pour former le troisième côté.
• Construction à partir de 1 côté et 2 angles (ACA) : Le côté doit être compris entre les deux angles.
  1. Trace le côté connu.
  2. À chaque extrémité de ce segment, trace l'angle correspondant avec le rapporteur.
  3. Le point d'intersection des demi-droites est le troisième sommet.

• Définition : La médiatrice d'un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu.
• Construction au compas et à la règle :
  1. Ouvre le compas à une distance supérieure à la moitié du segment.
  2. Trace deux arcs de cercle depuis chaque extrémité du segment.
  3. La droite passant par les deux points d'intersection des arcs est la médiatrice.
• Propriété des points de la médiatrice : Tout point situé sur la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.

• Définition : Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement).
• Un triangle a trois hauteurs.
• Construction : Utilise l'équerre pour tracer la perpendiculaire depuis un sommet au côté opposé.
• Orthocentre : Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un point unique appelé l'orthocentre.

• Définition : Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.
• Un triangle a trois médianes.
• Construction : Trouve le milieu d'un côté (avec le compas pour la médiatrice ou en mesurant), puis trace la droite reliant ce milieu au sommet opposé.
• Centre de gravité : Les trois médianes d'un triangle se coupent en un point unique appelé le centre de gravité (ou isobarycentre). Ce point est toujours à l'intérieur du triangle. Il est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.