Distribuciones de probabilidad: Binomial y Normal

Una variable aleatoria (V.A.) es una función que asigna un número real a cada resultado posible de un experimento aleatorio. Es, en esencia, la formalización numérica del azar.

• Variable Aleatoria Discreta: Es aquella que solo puede tomar valores aislados (generalmente números enteros). Ejemplos: el número de caras al lanzar 3 monedas $\{0, 1, 2, 3\}$ o el número de hijos en una familia.
• Variable Aleatoria Continua: Puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo de la recta real. Ejemplos: la altura de una persona, el tiempo de espera de un autobús o el peso de una fruta.

El recorrido es el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la variable.

Para una variable discreta, definimos la función de probabilidad $P(X = x_i)$, también llamada función de cuantía, que asigna a cada valor su probabilidad de ocurrir. Debe cumplir dos condiciones:

1. $0 \leq P(X = x_i) \leq 1$
2. $\sum P(X = x_i) = 1$ (La suma de todas las probabilidades es igual a la unidad).

La función de distribución $F(x)$ indica la probabilidad acumulada: $F(x) = P(X \leq x)$. Gráficamente, las distribuciones discretas se representan mediante diagramas de barras, donde la altura de cada barra indica la probabilidad del valor.

Al igual que en estadística descriptiva, necesitamos valores que resuman la información:

• Esperanza Matemática (Media, $\mu$): Es el valor medio esperado tras muchas repeticiones. $\mu = E[X] = \sum x_i \cdot P(X = x_i)$
• Varianza ($\sigma^2$): Mide la dispersión de los datos respecto a la media. $\sigma^2 = \sum (x_i^2 \cdot P(X = x_i)) - \mu^2$
• Desviación Típica ($\sigma$): Es la raíz cuadrada de la varianza. Indica cuánto se alejan, de media, los valores del centro.

Un experimento de Bernoulli es aquel que solo tiene dos resultados posibles: éxito (suceso $A$) o fracaso (suceso $\bar{A}$).

• $P(\text{éxito}) = p$
• $P(\text{fracaso}) = q = 1 - p$

La clave del modelo es que las pruebas deben ser independientes y la probabilidad $p$ debe mantenerse constante en cada repetición.

Si repetimos $n$ veces un experimento de Bernoulli, la variable $X$ que cuenta el "número de éxitos" sigue una distribución Binomial. Se denota como $X \sim B(n, p)$.

La probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos se calcula con la fórmula: $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ Donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ es el número combinatorio que indica las formas de ordenar los éxitos.

Los parámetros centrales son muy sencillos de calcular:

• Media: $\mu = n \cdot p$
• Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$

Ejemplo práctico: Si lanzamos un dado 10 veces y queremos contar cuántos "6" salen, tenemos una $B(10, 1/6)$. Para hallar la probabilidad de sacar exactamente dos seises: $P(X=2) = \binom{10}{2} (1/6)^2 (5/6)^8$.

A diferencia de las discretas, en las variables continuas la probabilidad de que la variable tome un valor exacto es cero: $P(X = k) = 0$. Esto ocurre porque hay infinitos valores posibles. Por tanto, trabajamos con probabilidades en intervalos $P(a < X < b)$.

La función de densidad $f(x)$ es una curva tal que el área total bajo ella es igual a 1. La probabilidad es el área bajo la curva en un intervalo determinado.

La distribución Normal es el modelo continuo más importante. Su gráfica es la famosa Campana de Gauss, definida por la media $\mu$ y la desviación típica $\sigma$. Se denota como $X \sim N(\mu, \sigma)$.

• Es simétrica respecto a la media $\mu$.
• La media, mediana y moda coinciden.
• El área total bajo la curva es 1.
• Los puntos de inflexión se encuentran en $\mu - \sigma$ y $\mu + \sigma$.

Para facilitar los cálculos, se utiliza la Normal Estándar $Z \sim N(0, 1)$, que tiene media 0 y desviación típica 1. Existen tablas matemáticas que nos dan el área acumulada $P(Z \leq z)$ para cualquier valor positivo de $z$.

Como no existen tablas para cada posible $N(\mu, \sigma)$, transformamos nuestra variable $X$ en una $Z$ mediante la tipificación: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ Esto nos permite comparar datos de poblaciones distintas (por ejemplo, notas de exámenes de diferentes niveles) llevándolos a una escala común.

Al usar la tabla de la $N(0, 1)$, debemos tener en cuenta la simetría:

1. Menor que un valor positivo: $P(Z < a)$ se busca directamente en la tabla.
2. Mayor que un valor: $P(Z > a) = 1 - P(Z < a)$.
3. Entre dos valores: $P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)$.
4. Valores negativos: Por simetría, $P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z < a)$.

A veces conocemos la probabilidad (o el percentil) y queremos hallar el valor de la variable.

• Ejemplo: ¿Qué altura marca el límite del 10% de las personas más altas?
• Buscamos en el interior de la tabla el valor más cercano a $0,90$ y obtenemos el valor de $z$ correspondiente. Luego, destipificamos usando $X = \mu + z \cdot \sigma$.

Cuando en una distribución Binomial $B(n, p)$ el número de pruebas $n$ es muy grande, el cálculo de probabilidades con números combinatorios se vuelve impracticable. Abraham de Moivre y Pierre-Simon Laplace demostraron que, bajo ciertas condiciones, la Binomial se comporta como una Normal.

Las condiciones para realizar la aproximación son:

1. $n \cdot p \geq 5$
2. $n \cdot q \geq 5$ (Algunos autores exigen que ambos sean mayores que 10 para mayor precisión).

Si se cumplen, entonces: $X \sim B(n, p) \approx X' \sim N(n \cdot p, \sqrt{n \cdot p \cdot q})$.

Al pasar de una variable discreta (puntos aislados) a una continua (área), cometemos un error. Para minimizarlo, aplicamos la corrección de Yates, que consiste en ampliar el intervalo en 0,5 unidades:

• $P(X = k) \rightarrow P(k - 0,5 < X' < k + 0,5)$
• $P(X \leq k) \rightarrow P(X' < k + 0,5)$
• $P(X < k) \rightarrow P(X' < k - 0,5)$

En los exámenes, es vital identificar si el problema pide una probabilidad exacta de pocos sucesos (Binomial pura) o si el número de repeticiones es elevado (Aproximación por Normal).

Pasos críticos para el éxito:

1. Identificar $n$ y $p$.
2. Verificar si $n \cdot p$ y $n \cdot q$ son $\geq 5$.
3. Calcular la nueva $\mu$ y $\sigma$.
4. Aplicar la corrección de continuidad.
5. Tipificar y usar la tabla de la Normal.

Este proceso permite resolver problemas de gran escala, como el control de calidad en fábricas o estudios epidemiológicos, con una precisión asombrosa.