Distribuciones de probabilidad

En el estudio de la probabilidad, a menudo no nos interesa el resultado cualitativo de un experimento (como "cara" o "cruz"), sino un valor numérico asociado. Una variable aleatoria (V.A.) es una función que asigna un número real a cada resultado posible de un experimento aleatorio.

Existen dos tipos principales que debemos distinguir:

1. Variables discretas: Aquellas que solo pueden tomar valores aislados (generalmente números enteros). Ejemplo: número de hijos, resultado de lanzar un dado.
2. Variables continuas: Aquellas que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Ejemplo: la altura de una persona, el tiempo de espera del autobús.

Una variable aleatoria transforma eventos abstractos en datos numéricos manejables matemáticamente.

Para una variable discreta, la función de probabilidad $P(X = x_i)$ asigna a cada valor posible la probabilidad de que ocurra. Esta función debe cumplir dos condiciones críticas:

• Todas las probabilidades deben ser mayores o iguales a cero: $P(x_i) \geq 0$.
• La suma de todas las probabilidades de los valores posibles debe ser exactamente 1: $\sum P(x_i) = 1$.

Visualmente, estas distribuciones se representan mediante diagramas de barras, donde la altura de cada barra indica la probabilidad del valor en el eje X.

Al igual que en estadística descriptiva, necesitamos valores que resuman la información de la distribución:

• Esperanza Matemática (Media, $\mu$): Es el valor promedio que esperaríamos obtener si repitiéramos el experimento muchas veces. $\mu = E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
• Varianza ($\sigma^2$): Mide la dispersión de los datos respecto a la media. $\sigma^2 = \sum (x_i^2 \cdot P(x_i)) - \mu^2$
• Desviación típica ($\sigma$): Es la raíz cuadrada de la varianza. Nos da una idea de cuánto se alejan, en promedio, los valores de la media en las mismas unidades que la variable original.

El pilar de la distribución binomial es el ensayo de Bernoulli. Es un experimento aleatorio con solo dos resultados posibles: éxito (suceso A) y fracaso (suceso contrario $\bar{A}$).

• $p$: probabilidad de éxito.
• $q = 1 - p$: probabilidad de fracaso.
• La probabilidad $p$ debe mantenerse constante en cada repetición del experimento.

La distribución binomial aparece cuando repetimos $n$ veces un experimento de Bernoulli de forma independiente. Decimos que una variable $X$ sigue una distribución binomial de parámetros $n$ y $p$, y se denota como $X \sim B(n, p)$.

La probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos en $n$ ensayos se calcula mediante la fórmula: $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ Donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ es el número combinatorio que indica las formas de ordenar los éxitos.

Los parámetros de esta distribución son muy sencillos de calcular:

• Media: $\mu = n \cdot p$
• Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$

Si $p = 0.5$, la distribución es perfectamente simétrica. Si $p < 0.5$, la distribución está sesgada a la derecha, y si $p > 0.5$, a la izquierda. Para valores grandes de $n$, la forma de la binomial empieza a parecerse a una campana.

A diferencia de las discretas, las variables continuas pueden tomar infinitos valores en un intervalo. Por ello, la probabilidad de que la variable tome un valor exacto es cero: $P(X = k) = 0$. En su lugar, hablamos de la función de densidad. La probabilidad se calcula como el área bajo la curva de esta función en un intervalo determinado $[a, b]$. El área total bajo la curva de densidad siempre es igual a 1.

La distribución continua más importante es la Distribución Normal, cuya representación gráfica es la famosa Campana de Gauss. Sus características principales son:

• Es simétrica respecto a la media ($\mu$).
• La media, la mediana y la moda coinciden en el centro.
• Es asintótica al eje X (se acerca pero nunca lo toca).
• Los puntos de inflexión se encuentran en $\mu - \sigma$ y $\mu + \sigma$.

Viene definida por dos parámetros: la media $\mu$ (que desplaza la campana a izquierda o derecha) y la desviación típica $\sigma$ (que la hace más alta y estrecha o más baja y ancha). Es fundamental porque muchos fenómenos naturales (estatura, peso, errores de medida) siguen este modelo. Existe una regla empírica clave:

• En el intervalo $(\mu - \sigma, \mu + \sigma)$ se encuentra el 68.2% de los datos.
• En el intervalo $(\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma)$ se encuentra el 95.4% de los datos.
• En el intervalo $(\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma)$ se encuentra el 99.7% de los datos.

Como existen infinitas distribuciones normales, se utiliza una de referencia llamada Normal Estándar, denotada por la letra $Z$, donde $\mu = 0$ y $\sigma = 1$. Las probabilidades de $Z$ están tabuladas. Las tablas suelen ofrecer el valor de $P(Z < k)$, es decir, la probabilidad acumulada a la izquierda de un valor positivo $k$.

Para calcular probabilidades de una variable $X \sim N(\mu, \sigma)$ usando las tablas, debemos realizar un cambio de variable llamado tipificación: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ Tipificar permite transformar cualquier problema de una normal genérica en un problema de la normal estándar $N(0, 1)$.

Ejemplo de uso de simetría:

• $P(Z > a) = 1 - P(Z < a)$
• $P(Z < -a) = P(Z > a)$ (por simetría)

En la vida real, la tipificación permite comparar sujetos de poblaciones distintas. Por ejemplo, si queremos saber quién es más alto en relación a su grupo: un hombre de 185 cm ($\mu=175, \sigma=8$) o una mujer de 175 cm ($\mu=163, \sigma=7$). Calculando sus valores $Z$, el que tenga el valor más alto estará en un percentil superior.

Cuando en una distribución binomial $B(n, p)$ el número de ensayos $n$ es muy grande, el cálculo con números combinatorios se vuelve extremadamente difícil. Abraham de Moivre demostró que, bajo ciertas condiciones, la binomial se comporta como una normal. Las condiciones de seguridad para realizar esta aproximación son:

1. $n \cdot p \geq 5$
2. $n \cdot q \geq 5$

Si se cumplen, podemos decir que $X \sim B(n, p)$ se aproxima a una $X' \sim N(\mu, \sigma)$ donde:

• $\mu = n \cdot p$
• $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$

Al pasar de una variable discreta (puntos aislados) a una continua (área), cometemos un error. Para minimizarlo, aplicamos la corrección de Yates, sumando o restando 0.5 a los límites del intervalo.

• Si buscamos $P(X = k)$ en la binomial, calculamos $P(k - 0.5 < X' < k + 0.5)$ en la normal.
• Si buscamos $P(X \leq k)$, calculamos $P(X' \leq k + 0.5)$.

Esta corrección es vital para mantener la precisión cuando $n$ no es excesivamente grande.