Estadística unidimensional y bidimensional

Para comenzar cualquier estudio, debemos definir sobre qué o quiénes vamos a recoger datos:

• Población: Conjunto total de elementos objeto de estudio.
• Muestra: Subconjunto representativo de la población.
• Individuo: Cada uno de los elementos que componen la población.

Las variables pueden ser cualitativas (cualidades no numéricas, como el color de ojos) o cuantitativas (cantidades numéricas). Estas últimas se dividen en discretas (valores aislados, como número de hermanos) y continuas (pueden tomar cualquier valor en un intervalo, como la altura).

El recuento se organiza en tablas de frecuencias:

1. Frecuencia absoluta ($f_i$): Número de veces que aparece un valor $x_i$.
2. Frecuencia relativa ($h_i$): Cociente $\frac{f_i}{N}$, donde $N$ es el total de datos.
3. Frecuencia acumulada ($F_i$): Suma de las frecuencias absolutas de los valores inferiores o iguales al dado.

Cuando la variable es continua o existen demasiados valores distintos, agrupamos los datos en intervalos o clases.

• Límites de intervalo: Valores extremo que delimitan la clase $[L_i, L_{i+1})$.
• Amplitud ($a_i$): Diferencia entre el límite superior e inferior.
• Marca de clase ($x_i$): El punto medio del intervalo, calculado como $x_i = \frac{L_i + L_{i+1}}{2}$. Este valor representará a todo el intervalo en los cálculos de parámetros.

La visualización de datos es fundamental para comprender su distribución:

• Histograma: Se usa para variables agrupadas. Son rectángulos cuya área es proporcional a la frecuencia.
• Polígono de frecuencias: Línea que une los puntos medios de las partes superiores de las barras del histograma.
• Diagrama de caja y bigotes (Box-plot): Representación basada en los cuartiles que muestra la dispersión, la simetría y la existencia de valores atípicos (outliers).

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Indican en torno a qué valores se agrupan los datos:

1. Media aritmética ($\bar{x}$): Suma de todos los valores dividida por el número total. Para datos agrupados: $\bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot f_i}{N}$
2. Mediana ($Me$): Valor que deja al 50% de los datos por debajo y al 50% por encima.
3. Moda ($Mo$): Valor con mayor frecuencia absoluta.

La media es muy sensible a valores extremos, por lo que en ocasiones la mediana es una medida más representativa de la realidad.

Informan sobre cuánto se alejan los datos respecto al centro:

• Rango o Recorrido: Diferencia entre el valor máximo y el mínimo.
• Varianza ($\sigma^2$): Promedio de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. $\sigma^2 = \frac{\sum f_i \cdot x_i^2}{N} - \bar{x}^2$
• Desviación típica ($\sigma$): Raíz cuadrada positiva de la varianza. Se expresa en las mismas unidades que la variable.

• Coeficiente de variación ($CV$): Se define como $CV = \frac{\sigma}{|\bar{x}|}$. Es adimensional y sirve para comparar la dispersión de dos poblaciones con distintas unidades o medias muy diferentes.
• Medidas de posición (Cuantiles): Dividen la serie de datos en partes iguales. Los más comunes son los Cuartiles ($Q_1, Q_2, Q_3$), que dividen los datos en cuatro partes del 25% cada una.
• Tipificación: Proceso de transformar una variable $X$ en otra $Z$ con media 0 y desviación típica 1 mediante la fórmula $z = \frac{x - \bar{x}}{\sigma}$.

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Los datos se representan como pares ordenados $(x_i, y_i)$.

• Nube de puntos: Representación en el plano cartesiano de los pares de datos. Permite visualizar visualmente si existe relación.
• Distribuciones marginales: Son las distribuciones unidimensionales de cada variable por separado (la columna del total y la fila del total en una tabla de doble entrada).
• Distribuciones condicionadas: El estudio de una variable cuando la otra toma un valor fijo (ej. altura de los alumnos que pesan exactamente 70kg).

La covarianza ($\sigma_{xy}$) mide la variación conjunta de las dos variables: $\sigma_{xy} = \frac{\sum f_i \cdot x_i \cdot y_i}{N} - \bar{x} \cdot \bar{y}$

• Si $\sigma_{xy} > 0$: Relación directa (al aumentar $X$, aumenta $Y$).
• Si $\sigma_{xy} < 0$: Relación inversa (al aumentar $X$, disminuye $Y$).
• Si $\sigma_{xy} = 0$: No hay relación lineal.

El coeficiente $r$ de Pearson escala la covarianza para que su valor esté siempre entre -1 y 1: $r = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y}$ Interpretación:

• $|r| \approx 1$: Correlación muy fuerte (puntos casi alineados).
• $|r| \approx 0$: Correlación inexistente o nula.
• $r = 1$ o $r = -1$: Correlación funcional (todos los puntos están exactamente sobre una recta).

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Utilizamos el método de mínimos cuadrados, que minimiza la suma de los cuadrados de los errores verticales u horizontales.

• Recta de regresión de $Y$ sobre $X$: Se usa para predecir $Y$ conociendo $X$. $y - \bar{y} = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}(x - \bar{x})$ La pendiente $m = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}$ se denomina coeficiente de regresión.

Podemos usar la recta para estimar valores que no tenemos. Sin embargo, la fiabilidad de la predicción depende del coeficiente de determinación $R^2$ (que en regresión lineal simple es $r^2$).

• Interpolación: Predecir valores dentro del rango de datos conocidos (fiable si $r$ es alto).
• Extrapolación: Predecir valores fuera del rango observado (poco fiable, debe usarse con extrema precaución).

El residuo o error es la diferencia entre el valor real observado $y_i$ y el valor estimado por la recta $\hat{y}_i$: $e_i = y_i - \hat{y}_i$.

• Bondad del ajuste: Si los residuos son pequeños y se distribuyen aleatoriamente, el modelo lineal es adecuado.
• Centro de gravedad: La recta de regresión siempre pasa por el punto $(\bar{x}, \bar{y})$, que representa el promedio conjunto de la distribución.