Números naturales y divisibilidad

El sistema que utilizamos para contar es el Sistema de Numeración Decimal. Se llama así porque utiliza 10 símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) y porque las unidades se agrupan de diez en diez.

Es un sistema posicional, lo que significa que el valor de una cifra depende del lugar que ocupa en el número. Los órdenes de unidades son:

• Unidades (U): 1 unidad.
• Decenas (D): 10 unidades.
• Centenas (C): 100 unidades.
• Unidades de Millar (UM): 1.000 unidades.
• Decenas de Millar (DM): 10.000 unidades.

Por ejemplo, en el número $4.527$:

• El $7$ vale 7 unidades.
• El $2$ vale 20 unidades (2 decenas).
• El $5$ vale 500 unidades (5 centenas).
• El $4$ vale 4.000 unidades (4 unidades de millar).

El valor de una cifra se multiplica por 10 al desplazarse una posición hacia la izquierda.

Cuando resolvemos expresiones matemáticas con varias operaciones, debemos seguir un orden estricto llamado jerarquía de operaciones. Si no lo hacemos, el resultado será incorrecto.

1. Paréntesis y corchetes: Se resuelve primero lo que está dentro.
2. Potencias y raíces: (Las veremos en la siguiente sección).
3. Multiplicaciones y divisiones: De izquierda a derecha.
4. Sumas y restas: De izquierda a derecha.

Ejemplo: $15 + 2 \cdot (8 - 3)$ Primero el paréntesis: $15 + 2 \cdot 5$ Luego la multiplicación: $15 + 10 = 25$

La propiedad distributiva es muy útil aquí: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Nos permite "repartir" la multiplicación sobre la suma.

A veces no necesitamos el valor exacto de un número, sino uno cercano que sea más fácil de manejar.

• Redondeo: Nos fijamos en la cifra a la derecha de la posición que queremos redondear. Si es 5 o mayor, sumamos uno a nuestra cifra; si es menor que 5, la dejamos igual. El resto de cifras a la derecha se convierten en ceros.
  • Ejemplo: Redondear $3.472$ a las centenas → $3.500$ (porque después del 4 hay un 7).
• Truncamiento: Consiste en eliminar las cifras a partir de un orden determinado, sustituyéndolas por ceros, sin importar su valor.
  • Ejemplo: Truncar $3.472$ a las centenas → $3.400$.

La estimación consiste en redondear los datos de un problema antes de operar para obtener un resultado aproximado rápidamente.

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. $a^n = a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a \text{ (n veces)}$

• Base ($a$): El número que se repite.
• Exponente ($n$): Cuántas veces se multiplica la base por sí misma.

Las potencias de base 10 son especialmente sencillas: el resultado es un 1 seguido de tantos ceros como indique el exponente. Ejemplo: $10^4 = 10.000$.

==Cualquier número (distinto de cero) elevado a 0 es igual a 1 ($a^0 = 1$)==.

Existen reglas para simplificar cálculos con potencias:

1. Producto de potencias de igual base: Se deja la base y se suman los exponentes. $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$.
2. Cociente de potencias de igual base: Se deja la base y se restan los exponentes. $a^n : a^m = a^{n-m}$.
3. Potencia de una potencia: Se multiplican los exponentes. $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$.
4. Potencia de un producto/cociente: El exponente afecta a cada factor. $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado. $\sqrt{a} = b \iff b^2 = a$

• Cuadrados perfectos: Son números cuya raíz cuadrada es exacta (ej. 4, 9, 16, 25...).
• Raíz entera: Si un número no es un cuadrado perfecto, su raíz entera es el mayor número cuyo cuadrado no lo supera. El resto es la diferencia entre el número y ese cuadrado.
  • Ejemplo: $\sqrt{20}$. Como $4^2 = 16$ y $5^2 = 25$, la raíz entera es $4$ y el resto es $20 - 16 = 4$.

Decimos que dos números están relacionados por divisibilidad si al dividir el mayor entre el menor la división es exacta (resto 0).

• Múltiplos: Se obtienen multiplicando un número por los números naturales ($1, 2, 3...$). Un número tiene infinitos múltiplos.
• Divisores: Son los números que dividen a otro de forma exacta. Un número tiene un conjunto finito de divisores.
  • Para hallar los divisores de 12, buscamos parejas cuyo producto sea 12: $(1, 12), (2, 6), (3, 4)$. Divisores: $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.

Son reglas rápidas para saber si un número es divisible por otro sin hacer la división:

• Por 2: Si termina en 0 o cifra par (2, 4, 6, 8).
• Por 3: Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
• Por 5: Si termina en 0 o 5.
• Por 9: Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
• Por 10: Si termina en 0.
• Por 11: Si la diferencia entre la suma de las cifras en posición impar y la suma de las cifras en posición par es 0 o múltiplo de 11.

• Número primo: Aquel que solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo (ej. 2, 3, 5, 7, 11...).
• Número compuesto: Aquel que tiene más de dos divisores.

La Criba de Eratóstenes es un método para encontrar números primos tachando los múltiplos de los números primos conocidos en una tabla.

Factorizar un número es escribirlo como un producto de números primos. Se utiliza el método de la raya vertical:

1. Escribimos el número y trazamos una línea a su derecha.
2. Dividimos el número por el menor primo posible (2, 3, 5...).
3. Escribimos el cociente debajo del número original.
4. Repetimos hasta llegar al 1.

Ejemplo de $60$: $60 | 2$ $30 | 2$ $15 | 3$ $5 | 5$ $1$ Expresión: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Es el mayor de los divisores comunes a varios números. Cálculo:

1. Descomponemos los números en factores primos.
2. Elegimos los factores comunes elevados al menor exponente.

Ejemplo: M.C.D.($12, 18$) $12 = 2^2 \cdot 3$ $18 = 2 \cdot 3^2$ Comunes con menor exponente: $2^1 \cdot 3^1 = 6$.

Es el menor de los múltiplos comunes (distinto de cero) a varios números. Cálculo:

1. Descomponemos los números en factores primos.
2. Elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

Ejemplo: m.c.m.($12, 18$) $12 = 2^2 \cdot 3$ $18 = 2 \cdot 3^2$ Factores: $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Para saber qué herramienta usar, analiza la pregunta:

Estrategia: Una vez obtenido el resultado, comprueba si tiene sentido. El M.C.D. siempre será igual o menor que los números originales, mientras que el m.c.m. siempre será igual o mayor.