Potencias y raíces cuadradas

Cuando trabajamos con números enteros, el signo del resultado depende de la base y de si el exponente es par o impar:

1. Base positiva: El resultado siempre es positivo. Ejemplo: $3^2 = 9$.
2. Base negativa:
   • Si el exponente es par, el resultado es positivo. Ejemplo: $(-2)^4 = 16$.
   • Si el exponente es impar, el resultado es negativo. Ejemplo: $(-2)^3 = -8$.

Recuerda: $(-3)^2$ no es lo mismo que $-3^2$. En el primer caso, el signo está dentro de la potencia ($(-3) \cdot (-3) = 9$); en el segundo, el menos afecta al resultado de la potencia ($-(3 \cdot 3) = -9$).

Una potencia con exponente negativo representa el inverso multiplicativo de la base. No significa que el resultado sea un número negativo, sino que la base "pasa al denominador".

• Para números enteros: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Ejemplo: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
• Para fracciones: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$. Ejemplo: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.

Las potencias de base 10 son herramientas clave para manejar números muy grandes o muy pequeños:

• Exponente positivo: Indica cuántos ceros siguen a la unidad. $10^4 = 10.000$.
• Exponente negativo: Indica cuántas cifras decimales tiene el número. $10^{-3} = 0,001$.

Esto nos permite realizar la descomposición polinómica de un número. Por ejemplo: $4.527 = 4 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0$.

Cuando operamos con potencias, debemos distinguir si tienen la misma base o el mismo exponente:

1. Misma base:
   • Producto: Se mantiene la base y se suman los exponentes. $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$.
   • Cociente: Se mantiene la base y se restan los exponentes. $a^n : a^m = a^{n-m}$.
2. Mismo exponente:
   • Producto: Se multiplican las bases y se deja el mismo exponente. $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
   • Cociente: Se dividen las bases y se deja el mismo exponente. $a^n : b^n = (a : b)^n$.

Para elevar una potencia a otro exponente, mantenemos la base y multiplicamos los exponentes: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$ Ejemplo: $(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$. Es vital no confundir esto con la suma de exponentes del producto.

El exponente es "distributivo" respecto a la multiplicación y la división, pero nunca respecto a la suma o la resta.

• $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
• $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Importante: $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$. Esta es una de las fuentes de error más comunes en matemáticas.

Un número en notación científica tiene la forma: $a \cdot 10^n$ Donde:

• $a$ (Mantisa): Es un número decimal mayor o igual que 1 y menor que 10 ($1 \leq a < 10$).
• $10^n$: Es una potencia de base 10 con exponente entero.

Para convertir un número, desplazamos la coma decimal hasta que solo quede una cifra distinta de cero a su izquierda:

1. Números grandes: Movemos la coma hacia la izquierda. El exponente será positivo.
   • $520.000.000 = 5,2 \cdot 10^8$
2. Números pequeños: Movemos la coma hacia la derecha. El exponente será negativo.
   • $0,000074 = 7,4 \cdot 10^{-5}$

• Multiplicación: Se multiplican las mantisas y se suman los exponentes de las potencias de 10.
  • $(2 \cdot 10^4) \cdot (3 \cdot 10^5) = 6 \cdot 10^9$
• División: Se dividen las mantisas y se restan los exponentes.
  • $(8 \cdot 10^7) : (2 \cdot 10^3) = 4 \cdot 10^4$

Si el resultado de la mantisa no está entre 1 y 10, debemos reajustar el exponente al final.

• Raíz exacta: Ocurre cuando el radicando es un cuadrado perfecto.
  • $\sqrt{49} = 7$ porque $7^2 = 49$.
• Raíz entera: Si el número no es un cuadrado perfecto, buscamos el mayor entero cuyo cuadrado no lo supere. La diferencia se llama resto.
  • $\sqrt{20}$: El cuadrado perfecto más cercano por debajo es $16$ ($4^2$). Por tanto, la raíz entera es $4$ y el resto es $20 - 16 = 4$.

Propiedad del resto: El resto de una raíz cuadrada siempre debe ser menor o igual al doble de la raíz más uno.

Para calcular raíces de números grandes manualmente, seguimos estos pasos:

1. Separamos las cifras del número de dos en dos desde la derecha (la coma decimal).
2. Buscamos la raíz del primer grupo de la izquierda.
3. Restamos el cuadrado y bajamos el siguiente par de cifras.
4. Duplicamos la raíz hallada y buscamos una cifra $x$ tal que $(2 \cdot \text{raíz} \text{ seguido de } x) \cdot x$ se acerque al valor actual sin pasarse.

Al resolver expresiones combinadas, debemos seguir estrictamente este orden para no cometer errores:

Ejemplo resuelto: $5 + 2 \cdot \sqrt{16} - 3^2$

1. Resolvemos raíz y potencia: $5 + 2 \cdot 4 - 9$
2. Resolvemos la multiplicación: $5 + 8 - 9$
3. Sumamos y restamos: $13 - 9 = 4$

Dominar este orden es la clave para tener éxito en cualquier ejercicio de aritmética en 2º de ESO.