Números enteros

Hasta ahora, en matemáticas has utilizado los números naturales ($1, 2, 3...$) para contar objetos. Sin embargo, en el mundo real, los números naturales se quedan cortos para expresar ciertas situaciones.

Imagina que estás en un ascensor. Si subes tres plantas, es fácil representarlo con un $3$. Pero, ¿qué pasa si el edificio tiene sótanos y bajas dos plantas por debajo de la entrada? Aquí es donde aparecen los números negativos.

Situaciones cotidianas que requieren números negativos:

• Temperaturas: En invierno, la temperatura puede bajar de los $0^{\circ}C$. Decimos que hace "4 grados bajo cero" o $-4^{\circ}C$.
• Economía: Si tienes 10 euros pero le debes 15 a un amigo, tu saldo real no es cero, sino que "debes 5". Lo representamos como $-5 €$.
• Altitud: El nivel del mar se considera el punto $0$. Las montañas tienen altitudes positivas, mientras que las fosas marinas tienen altitudes negativas.

El conjunto de los números enteros se representa con la letra $\mathbb{Z}$ (del alemán Zahlen, que significa números). Este conjunto incluye:

1. Los enteros positivos ($+1, +2, +3...$), que son los mismos que los naturales.
2. Los enteros negativos ($-1, -2, -3...$).
3. El cero ($0$), que actúa como elemento neutro (no es ni positivo ni negativo).

Representación en la recta numérica: Para visualizar los enteros, dibujamos una línea horizontal:

• Situamos el $0$ en el centro.
• Los números positivos a la derecha del cero.
• Los números negativos a la izquierda del cero.

Para comparar números enteros, debemos fijarnos en su posición en la recta numérica. Cualquier número situado a la derecha de otro es mayor.

Conceptos clave para comparar:

• Valor absoluto: Es la distancia de un número al cero, sin tener en cuenta su signo. Se escribe entre barras: $|-5| = 5$ y $|+5| = 5$.
• Números opuestos: Dos números son opuestos si tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo. Por ejemplo, el opuesto de $+8$ es $-8$.

Criterios de comparación:

1. Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
2. El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo.
3. Entre dos números negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto (el que está más cerca del cero). Ejemplo: $-2 > -10$.

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Cuando sumamos dos números que tienen el mismo signo, el proceso es muy sencillo:

1. Sumamos sus valores absolutos.
2. Mantenemos el signo común.

Ejemplos:

• $(+5) + (+3) = +8$ (Tengo 5 y me dan 3, tengo 8).
• $(-4) + (-2) = -6$ (Debo 4 y pido prestados otros 2, debo 6).

En la recta numérica, sumar un positivo es desplazarse a la derecha, y sumar un negativo es desplazarse a la izquierda.

Cuando los números tienen signos diferentes, ocurre una "pelea" entre ellos. El resultado dependerá de cuál sea más fuerte (tenga mayor valor absoluto).

1. Restamos sus valores absolutos (el mayor menos el menor).
2. Ponemos al resultado el signo del número que tenga mayor valor absoluto.

Ejemplos:

• $(+10) + (-3) = +7$ (El 10 es positivo y es mayor que 3, el resultado es positivo).
• $(+4) + (-9) = -5$ (El 9 es mayor que 4 y es negativo, el resultado es negativo).

Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto. $\text{a} - \text{b} = \text{a} + (-\text{b})$

Para simplificar expresiones, usamos la regla de los signos para eliminar paréntesis:

• $+(+a) = +a$
• $+(-a) = -a$
• $-(-a) = +a$ (Menos por menos es más)
• $-(+a) = -a$

Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de todo lo que hay dentro.

Para resolver expresiones largas como $5 - 8 + 4 - 2 + 1$, podemos seguir dos estrategias:

1. De izquierda a derecha: Ir resolviendo paso a paso.
2. Agrupación: Sumar todos los positivos por un lado y todos los negativos por otro, y luego restar los resultados.

Ejemplo por agrupación: $10 - 5 + 3 - 8$ Positivos: $10 + 3 = 13$ Negativos: $5 + 8 = 13$ Resultado: $13 - 13 = 0$

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Para multiplicar o dividir enteros, primero operamos los números y luego aplicamos la regla de los signos:

Resumen: Signos iguales dan positivo, signos diferentes dan negativo.

Cuando multiplicamos más de dos números, el signo final depende del número de factores negativos:

• Si hay un número par de signos negativos, el resultado es positivo.
• Si hay un número impar de signos negativos, el resultado es negativo.

Propiedades importantes:

• Elemento neutro: El $1$. Cualquier número multiplicado por $1$ se queda igual.
• Elemento absorbente: El $0$. Cualquier número multiplicado por $0$ es igual a $0$.

La división funciona exactamente igual que la multiplicación respecto a los signos.

• $(+15) : (-3) = -5$
• $(-20) : (-4) = +5$

Recuerda que en el conjunto $\mathbb{Z}$, solo estudiamos por ahora la división exacta (donde el resto es cero).

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Cuando tenemos operaciones mezcladas, debemos seguir un orden estricto para no equivocarnos. Es la regla de jerarquía:

1. Paréntesis y corchetes (de dentro hacia afuera).
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y Divisiones (de izquierda a derecha).
4. Sumas y Restas.

Una potencia es multiplicar la base por sí misma tantas veces como diga el exponente. Con bases negativas, el resultado depende del exponente:

• Exponente par: El resultado siempre es positivo. Ejemplo: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = +9$.
• Exponente impar: El resultado conserva el signo negativo. Ejemplo: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.

Cuidado: No es lo mismo $(-2)^4$ que $-2^4$. En el primer caso, el menos está dentro de la potencia y da $+16$. En el segundo, el menos está fuera y el resultado es $-16$.

La raíz cuadrada busca un número que, al elevarlo al cuadrado, dé el radicando.

• $\sqrt{25} = 5$ porque $5^2 = 25$.
• Importante: En el conjunto de los números enteros, no existe la raíz cuadrada de un número negativo (como $\sqrt{-16}$), porque ningún número al cuadrado da negativo.

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Para calcular la diferencia entre dos momentos o temperaturas, restamos el valor final menos el valor inicial: $\text{Variación} = T_{final} - T_{inicial}$.

Ejemplo cronológico: Si una persona nació en el año 20 a.C. ($-20$) y murió en el 30 d.C. ($+30$), ¿cuántos años vivió? Operación: $30 - (-20) = 30 + 20 = 50$ años.

En economía, los ingresos son positivos y los gastos o deudas son negativos. Ejemplo: Si tengo $50 €$, pago un recibo de $60 €$ e ingreso un cheque de $20 €$: $50 - 60 + 20 = -10 + 20 = +10 €$.

En ascensores, subir plantas es sumar y bajar (o estar en sótanos) es restar.

Para resolver cualquier problema de enteros, sigue estos pasos:

1. Identificar los datos: Asigna un signo $+$ o $-$ a cada cantidad según el contexto.
2. Plantear la operación: Escribe la expresión matemática siguiendo la lógica del problema.
3. Operar con cuidado: Aplica la jerarquía y la regla de los signos.
4. Verificar: ¿Tiene sentido que el resultado sea negativo? (Por ejemplo, una edad no puede ser negativa, pero una temperatura sí).