Proporcionalidad y porcentajes

En matemáticas, una razón es el cociente entre dos números o cantidades comparables. Se escribe en forma de fracción $\frac{a}{b}$, pero se lee "a es a b".

• Diferencia con la fracción: Mientras que una fracción suele representar una parte de un todo (como 2 trozos de 8 de una pizza), una razón puede comparar cualquier cosa, como 2 profesores por cada 25 alumnos.
• Proporción: Es la igualdad entre dos razones. Decimos que $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ forman una proporción si el resultado de ambas divisiones es el mismo.

Esta propiedad es la herramienta más potente para resolver problemas de proporcionalidad. Dice que, en toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Si tenemos $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, entonces se cumple que: $a \cdot d = b \cdot c$

Cálculo del término desconocido: Si nos falta un dato (llamémoslo $x$), podemos despejarlo fácilmente.

• Ejemplo: $\frac{4}{10} = \frac{x}{60} \implies 4 \cdot 60 = 10 \cdot x \implies 240 = 10x \implies x = 24$.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una (doble, triple...), la otra aumenta de la misma manera (doble, triple...), o si al disminuir una, la otra disminuye proporcionalmente.

• Constante de proporcionalidad ($k$): Es el número fijo que resulta de dividir cualquier valor de la segunda magnitud por su correspondiente de la primera.
• Ejemplo: Si 1 kg de manzanas cuesta 2€, 2 kg cuestan 4€. La constante es $k = \frac{2}{1} = \frac{4}{2} = 2$.

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Una forma excelente de organizar la información es mediante tablas. En ellas, relacionamos los valores de dos magnitudes $A$ y $B$.

Para que la tabla sea proporcional, el cociente entre las filas debe ser siempre igual: $\frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \frac{15}{5} = 3$.

Este método consiste en calcular primero cuánto vale una sola unidad de la magnitud para luego multiplicar por el número deseado.

1. Paso 1: Dividimos para hallar el valor unitario.
2. Paso 2: Multiplicamos ese valor por la cantidad que nos pide el problema.

Ejemplo: Si 5 cuadernos cuestan 10€, ¿cuánto cuestan 8?

• 1 cuaderno cuesta $10 : 5 = 2€$.
• 8 cuadernos cuestan $8 \cdot 2 = 16€$.

Es un procedimiento mecánico para resolver problemas de proporcionalidad. Se basa en colocar los datos en un esquema:

• Si $A \longrightarrow B$
• Entonces $C \longrightarrow x$

La fórmula directa es: ==$x = \frac{B \cdot C}{A}$==. Siempre debemos comprobar que los resultados sean coherentes (si compro más, debo pagar más).

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Un porcentaje es una razón cuyo denominador es siempre 100. Representa una parte de un total dividido en 100 partes iguales. El símbolo es $\%$.

• Fracción: $25\% = \frac{25}{100}$
• Decimal: $25\% = 0,25$
• Gráficamente: Si tenemos una cuadrícula de $10 \times 10$, el $25\%$ sería colorear 25 cuadraditos.

Existen tres situaciones comunes que debemos saber resolver:

1. Calcular el porcentaje de una cantidad: Multiplicamos la cantidad por el porcentaje y dividimos por 100.
   • $15\%$ de $200 = \frac{15 \cdot 200}{100} = 30$.
2. Calcular el total: Si sabemos que el $20\%$ es 40, el total es $\frac{40 \cdot 100}{20} = 200$.
3. Calcular el porcentaje: Si en una clase de 30 alumnos hay 15 chicas, el porcentaje es $\frac{15}{30} \cdot 100 = 50\%$.

Para agilizar el cálculo mental, es muy útil conocer las equivalencias en fracciones simples:

• 50% es la mitad ($\frac{1}{2}$). Dividir entre 2.
• 25% es la cuarta parte ($\frac{1}{4}$). Dividir entre 4.
• 10% es la décima parte ($\frac{1}{10}$). Dividir entre 10 (mover la coma un lugar).
• 75% son las tres cuartas partes ($\frac{3}{4}$).

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Ocurren cuando sumamos una parte al valor inicial, como al añadir el IVA a un producto o cuando sube el precio del alquiler.

• Método: Calculamos el porcentaje y se lo sumamos al valor original.
• Índice de variación: Para un aumento del $21\%$, podemos multiplicar directamente el precio por $1,21$.

Se aplican cuando restamos una parte al valor inicial, típico en las rebajas o descuentos por fidelidad.

• Ejemplo: Un pantalón de 40€ tiene un $20\%$ de descuento.
  • Descuento: $20\%$ de $40 = 8€$.
  • Precio final: $40 - 8 = 32€$.
• Atajo: Si descuentan el $20\%$, realmente estás pagando el $80\%$ del precio ($40 \cdot 0,80 = 32€$).

Para resolver problemas complejos, sigue estos pasos:

1. Leer con atención: ¿Es un aumento o un descuento?
2. Identificar los datos y qué nos preguntan (¿el descuento o el precio final?).
3. Analizar la solución: Si un producto de 100€ tiene un descuento, el resultado nunca puede ser mayor que 100.

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La escala es la relación de proporcionalidad entre las medidas de un dibujo (mapa o plano) y las medidas reales.

• Escala numérica: Se expresa como $1:50.000$. Significa que 1 cm en el mapa equivale a 50.000 cm en la realidad.
• Escala gráfica: Es una recta graduada donde se indica la distancia real que corresponde a un segmento del dibujo.

Para pasar de la medida del mapa a la realidad, multiplicamos por el denominador de la escala.

• Problema: En un mapa $1:200.000$, dos ciudades están a 5 cm. ¿Cuál es la distancia real?
  • $5 \text{ cm} \cdot 200.000 = 1.000.000 \text{ cm}$.
  • Convertimos a unidades mayores: $1.000.000 \text{ cm} = 10.000 \text{ m} = 10 \text{ km}$.

Al dibujar un plano de tu habitación o de tu casa, debes elegir una escala adecuada para que el dibujo quepa en el papel.

1. Mide las paredes reales en metros.
2. Elige una escala (ejemplo $1:50$, donde 1 cm son 50 cm reales).
3. Divide todas las medidas reales por el factor de escala antes de dibujar.

Recuerda: Mantener la misma escala en todo el dibujo es fundamental para que la representación sea fiel a la realidad.