Curvas cónicas y técnicas

Las curvas cónicas son las secciones resultantes de la intersección de un plano con una superficie cónica de revolución. Una superficie cónica se genera al hacer girar una recta (generatriz) alrededor de un eje que se corta en un punto fijo (vértice).

El tipo de curva obtenida depende del ángulo de inclinación del plano de corte ($\alpha$) respecto al eje del cono, en comparación con el ángulo de la generatriz ($\beta$):

1. Elipse: El plano corta a todas las generatrices. $\alpha > \beta$. Es una curva cerrada.
2. Parábola: El plano es paralelo a una generatriz. $\alpha = \beta$. Es una curva abierta de una rama.
3. Hipérbola: El plano es paralelo al eje o corta a ambos mantos del cono. $\alpha < \beta$. Es una curva abierta de dos ramas.

Todas las cónicas comparten elementos geométricos que definen su forma y posición:

• Focos ($F$): Puntos fijos fundamentales para la definición métrica.
• Ejes de simetría: Rectas que dividen a la curva en partes especulares. El eje que contiene a los focos se denomina eje real o mayor.
• Directrices: Rectas fijas tales que la razón de distancias de cualquier punto de la curva al foco y a la directriz es constante.
• Circunferencia Focal ($C_f$): Lugar geométrico de los puntos simétricos de un foco respecto a todas las tangentes a la curva. Su radio es $2a$ (en elipse e hipérbola).
• Circunferencia Principal ($C_p$): Lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes. Su radio es $a$.

El Teorema de Dandelin vincula la sección plana con la geometría del cono mediante esferas tangentes. Los focos de la cónica son los puntos de tangencia del plano de corte con las esferas inscritas en el cono que a su vez son tangentes al plano. Las directrices son las rectas de intersección del plano de la cónica con los planos que contienen a las circunferencias de contacto de las esferas con el cono.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos $F$ y $F'$) es constante e igual a la longitud del eje mayor ($2a$).

$d(P, F) + d(P, F') = 2a$

Relación fundamental: Se establece un triángulo rectángulo entre el semieje mayor ($a$), el semieje menor ($b$) y la semidistancia focal ($c$): $a^2 = b^2 + c^2$ La excentricidad ($e = c/a$) mide el "achatamiento". En la elipse, siempre se cumple que $0 < e < 1$.

1. Método de los puntos (radios vectores): Se basa en la definición métrica. Tomando puntos aleatorios en el eje mayor, se trazan arcos con radios $r_1$ y $r_2$ tales que $r_1 + r_2 = 2a$.
2. Método de haces proyectivos: Se divide el rectángulo que circunscribe a la elipse en partes proporcionales, uniendo los puntos con los vértices opuestos.
3. Afinidad con la circunferencia: La elipse se puede entender como una circunferencia de radio $a$ que ha sufrido una homología afin de factor $b/a$.

• Tangente en un punto de la curva: Es la bisectriz exterior del ángulo que forman los radios vectores que pasan por ese punto.
• Intersección con una recta: Se suele resolver mediante el uso de la circunferencia focal, transformando el problema en uno de tangencias o potencias.

La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco ($F$) y de una recta fija llamada directriz ($d$).

$d(P, F) = d(P, d)$

Su excentricidad es siempre $e = 1$. El parámetro $p$ es la distancia del foco a la directriz. El vértice ($V$) es el punto medio del segmento que une el foco con la directriz de forma perpendicular.

1. Construcción por puntos: Se trazan paralelas a la directriz. Para una distancia $h$, se hace centro en $F$ con radio $h$ para cortar la paralela.
2. Haces proyectivos: Se utiliza un marco rectangular o una red de divisiones proporcionales sobre el eje y la tangente en el vértice.
3. Trazado continuo: Utilizando una escuadra y una cuerda de longitud fija apoyada en la directriz.

La tangente en cualquier punto de la parábola es la bisectriz del ángulo formado por el radio vector que va al foco y la perpendicular a la directriz.

• Propiedad reflectora: Cualquier rayo paralelo al eje que incida en la parábola será reflejado hacia el foco. Esta propiedad es la base de las antenas parabólicas y faros de automóviles.
• Tangente en el vértice: Es la recta perpendicular al eje que pasa por $V$.

Es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante e igual a $2a$.

$|d(P, F) - d(P, F')| = 2a$

Relación fundamental: A diferencia de la elipse, aquí la hipotenusa es la semidistancia focal ($c$): $c^2 = a^2 + b^2$ La excentricidad es siempre $e > 1$.

1. Por puntos: Similar a la elipse, pero usando la diferencia de radios vectores.
2. Asíntotas: Son las rectas hacia las cuales la curva se aproxima en el infinito. Su pendiente es $\pm b/a$. Si $a=b$, la hipérbola se llama equilátera y sus asíntotas son perpendiculares.

La tangente en un punto de la hipérbola es la bisectriz del ángulo que forman sus radios vectores. Para hallar tangentes desde un punto exterior, se utiliza la circunferencia focal con centro en uno de los focos.

• Óvalo: Curva cerrada y plana compuesta por cuatro arcos de circunferencia tangentes entre sí, con dos ejes de simetría.
• Ovoide: Curva cerrada con un solo eje de simetría, compuesta por un arco de circunferencia mayor, dos arcos laterales y un arco menor.
  • Aplicación: Diseño de arcos arquitectónicos y depósitos de presión.

Es la trayectoria de un punto que se mueve con velocidad constante sobre una recta, mientras esta gira uniformemente alrededor de uno de sus puntos.

• Paso de la espiral: Distancia que avanza el punto en una vuelta completa.
• Construcción: Se divide la circunferencia en $n$ partes y el radio (paso) en otras $n$ partes, uniendo las intersecciones correspondientes.

Son las trayectorias de un punto de una circunferencia (rueda) que rueda sin deslizar sobre una línea (base).

1. Cicloide: La base es una recta.
2. Epicicloide: La base es el exterior de otra circunferencia.
3. Hipocicloide: La base es el interior de otra circunferencia. Las curvas cíclicas son esenciales en ingeniería mecánica para el diseño de perfiles de engranajes, ya que minimizan el rozamiento.

La evolvente de la circunferencia es la curva que describe el extremo de un hilo tenso mientras se desenrolla de un cilindro.

• Rectificación: La construcción requiere rectificar arcos de circunferencia sobre la tangente.
• Uso técnico: Es el perfil más común para los dientes de engranajes modernos debido a su eficiencia en la transmisión de potencia.