Tangencias y enlaces

Para que dos elementos sean tangentes, deben cumplirse de forma estricta las siguientes propiedades geométricas:

1. Recta y circunferencia: Una recta es tangente a una circunferencia cuando la distancia del centro de la circunferencia a la recta es igual al radio ($d = r$). El punto de tangencia $T$ siempre se encuentra en la perpendicular a la recta trazada desde el centro $O$.
2. Dos circunferencias: Si dos circunferencias son tangentes entre sí, el punto de contacto $T$ debe estar obligatoriamente en la línea que une sus centros ($O_1$ y $O_2$).
   • Tangencia exterior: $d(O_1, O_2) = r_1 + r_2$.
   • Tangencia interior: $d(O_1, O_2) = |r_1 - r_2|$.
3. Punto de contacto único: Por definición, la tangencia implica un único punto común. En el momento en que hay dos puntos de contacto, hablamos de secantes.

La resolución de tangencias consiste, en esencia, en encontrar el centro de una circunferencia que cumpla ciertas condiciones. Para ello usamos:

• La mediatriz: Es el lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias que pasan por dos puntos dados ($A$ y $B$).
• La bisectriz: Es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan.
• Circunferencias concéntricas: Si buscamos una circunferencia de radio $R$ tangente a otra de radio $r$, el centro buscado estará en una circunferencia concéntrica de radio $R \pm r$.
• Arco capaz: Se utiliza cuando necesitamos que desde un segmento se vea un ángulo determinado, muy útil en problemas de tangencia que involucran condiciones angulares o distancias específicas.

Para localizar los centros de las circunferencias solución, realizamos operaciones aritméticas sobre los radios:

• Suma de radios ($R + r$): Se aplica para buscar tangencias exteriores. El centro buscado se aleja del centro dado.
• Diferencia de radios ($R - r$): Se aplica para tangencias interiores. El centro buscado se sitúa "dentro" del área de influencia del radio mayor.
• Localización de $T$: Una vez hallado el centro solución, es obligatorio marcar el punto de tangencia $T$ mediante una perpendicular a la recta o uniendo los centros, antes de trazar el arco.

• Desde un punto exterior $P$: Se une $P$ con el centro $O$. Se halla el punto medio del segmento $PO$ y se traza una circunferencia auxiliar (arco capaz de 90º). Los puntos donde esta corta a la circunferencia original son los puntos de tangencia $T_1$ y $T_2$.
• Tangentes comunes exteriores a dos circunferencias: Se reduce el problema restando el radio menor al mayor ($R - r$). Se trazan las tangentes desde el centro de la pequeña a la circunferencia auxiliar resultante.
• Tangentes comunes interiores: El procedimiento es análogo, pero sumando los radios ($R + r$) para crear la circunferencia auxiliar.

El caso más común es hallar circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan (el incentro del triángulo formado). Si las rectas son paralelas, el centro estará en la paralela media y el diámetro será la distancia entre ellas. En todos estos casos, la clave es utilizar las bisectrices como lugares geométricos donde se cruzan las condiciones de tangencia.

La potencia de un punto $P$ respecto a una circunferencia se define como $K = d^2 - r^2$.

• Eje radical: Recta que contiene los puntos con igual potencia respecto a dos circunferencias. Es siempre perpendicular a la línea de centros.
• Centro radical: Punto con igual potencia respecto a tres circunferencias. Es el lugar donde se cortan los ejes radicales de las circunferencias tomadas dos a dos. Este concepto permite resolver casos donde no conocemos el radio, pero sí una condición de igualdad de distancias tangenciales.

Cuando buscamos una circunferencia de radio conocido $R$ tangente a otras dos, trazamos arcos con radios $R \pm r_1$ y $R \pm r_2$. El punto de intersección de estos arcos será el centro de la solución. Dependiendo de si sumamos o restamos, obtendremos soluciones interiores, exteriores o mixtas.

• Punto-Punto-Circunferencia (PPC): Se resuelve mediante el concepto de potencia, buscando el eje radical y utilizando una circunferencia auxiliar que pase por los dos puntos.
• Recta-Recta-Circunferencia (RRC): Se suele resolver mediante dilatación. Se reduce el radio de la circunferencia dada a cero (convirtiéndola en un punto) y se desplazan las rectas una distancia igual a su radio $r$.
• Reducción de casos: La estrategia general en 2º de Bachillerato es transformar problemas complejos en otros más sencillos (como el caso Punto-Punto-Recta) mediante simetría o dilatación.

La inversión es una transformación que permite convertir circunferencias en rectas, facilitando problemas como el de Circunferencia-Circunferencia-Circunferencia (CCC). En la inversión, una circunferencia que pasa por el centro de inversión se transforma en una recta. Si elegimos el centro de inversión en un punto de tangencia potencial, el problema se simplifica drásticamente a un trazado de rectas tangentes.

Para enlazar dos rectas paralelas mediante dos arcos de igual radio, se utiliza una construcción basada en la mediatriz del segmento que une los puntos de tangencia previstos. La clave de la continuidad es que en el punto de unión, ambos arcos compartan la misma recta tangente.

Son curvas cerradas compuestas por arcos de circunferencia tangentes entre sí:

• Óvalo: Posee dos ejes de simetría. Se construye a partir de cuatro centros. Es la representación simplificada de una elipse.
• Ovoide: Posee un solo eje de simetría y una forma similar a un huevo. Combina una semicircunferencia con arcos de diferentes radios que cierran en un arco menor.

Son curvas abiertas generadas por el enlace de arcos cuyos centros van rotando sobre un polígono (núcleo).

• Espiral de dos centros: Los centros alternan sobre un segmento.
• Voluta jónica: Requiere un trazado más complejo donde los centros se sitúan en un pequeño cuadrado o círculo central, aumentando el radio en cada cuadrante.

En los exámenes, se suelen presentar piezas industriales (como ganchos, bielas o soportes) que deben ser dibujadas a partir de una serie de centros y radios.

1. Identificar los centros conocidos.
2. Determinar los enlaces (¿Suma o resta de radios?).
3. Localizar todos los puntos de tangencia antes de entintar o marcar el resultado final.

Para tener éxito en la EBAU, sigue estos consejos:

• Precisión: Un error de 1 mm en el centro puede desplazar el punto de tangencia varios milímetros.
• Justificación: En muchos exámenes se pide una breve explicación razonada. Usa términos como "lugar geométrico", "eje radical" o "dilatación".
• Verificación: Antes de dar el ejercicio por acabado, comprueba que todos los centros y puntos de tangencia están alineados según las propiedades fundamentales.

La clave del éxito en tangencias es no trazar ningún arco sin haber determinado previamente su centro y sus puntos de inicio y fin (T).